河北省沧州市任丘市第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题及答案

河北省沧州市任丘市第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知点，则点关于轴的对称点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

3．直线，（，a、）的图象可能是（    ）．

A． B．

C． D．

4．已知圆（a，b为常数）与．若圆心与关于直线对称，则圆与的位置关系为（    ）

A．内含 B．相交 C．相切 D．外离

5．在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ）

A． B． C． D．

6．已知双曲线与椭圆：的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

7．已知圆，直线，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（    ）

A．1 B． C． D．2

二、多选题

9．已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（    ）

A．的长轴长与的实轴长相等 B．的短轴长与的虚轴长相等

C．焦距相等 D．离心率不相等

10．下列说法正确的有（    ）

A．直线过定点（－，0）

B．过点（2，0）作圆的切线l，则l的方程为

C．圆上存在两个点到直线的距离为2

D．若圆与圆有唯一公切线，则

11．如图，正方体中E，F，G分别为的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面平行

C．点与点到平面的距离相等

D．平面截正方体所得大小两部分的体积比为

12．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．当n过时，光由所经过的路程为13

C．射线n所在直线的斜率为k，则

D．若，直线PT与C相切，则

三、填空题

13．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为________．

14．设P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值为________．

15．已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为______.

16．已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，右焦点为，且是等腰三角形，则椭圆的离心率为___________．

四、解答题

17．在中，，，与BC斜率的积是．

(1)求点的轨迹方程；

(2)，求PC的中点的轨迹方程．

18．已知圆经过点，，且______．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答．

①与轴相切；②圆恒被直线平分；③过直线与直线的交点C．

(1)求圆的方程；

(2)求过点的圆的切线方程．

19．已知直线与双曲线．

(1)若，求l与C相交所得的弦长；

(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的实轴长的取值范围．

20．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，E为PC中点．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值．

21．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

22．已知椭圆的离心率为，短轴长为4．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．

参考答案：

1．D

【分析】关于轴对称，则坐标值不变，坐标变为互为相反数即可.

【详解】解：因为关于轴对称，则坐标值不变，坐标变为互为相反数

所以，点关于轴的对称点的坐标为

故选：D.

2．B

【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程.

【详解】直线方程可化为，

则两条平行线之间距离，即圆的半径，

所求圆的方程为：.

故选：B.

3．D

【分析】首先假定每个选项中的图象正确，则可得正负，由此可确定图象所经过的象限，对比选项中的图象即可得到结果.

【详解】将化为，

将化为.

对于A，若图象正确，则，，图象经过第一、二、四象限，A不正确；

对于B，若图象正确，则，，图象经过第一、二、三象限，B不正确；

对于C，若图象正确，则，则，，图象经过第一、二、四象限，C不正确；

对于D，若图象正确，则，，图象经过第二、三、四象限，D正确.

故选：D.

4．B

【分析】根据条件求出 的圆心 ，再根据 圆心的距离即可判断.

【详解】依题意，所以，又，，，，

，所以两个圆相交；

故选：B.

5．B

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量可求线面角的正弦值.

【详解】

因为平面，而平面，

故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则且，

故，

故，，，

设平面的法向量为，则：

由可得，取，则，

设直线与平面所成角为，

则.

故选：B.

6．A

【分析】由椭圆方程可得双曲线的半焦距c，再由顶点坐标可得a，然后可解.

【详解】椭圆：的半焦距为

所以双曲线的半焦距，

又双曲线一个顶点坐标为，所以

所以

因为双曲线焦点在x轴上，所以渐近线方程为.

故选：A

7．C

【分析】求出圆心到直线的距离，数形结合判断出圆上到直线的距离等于1的点的个数.

【详解】圆心到直线的距离为，

所以直线与圆相交，设交点分别为，则劣弧上的点到直线的最大距离为，

故在劣弧上只有一个点到直线的距离等于1，优弧上到直线的距离就一定有2个，

所以..

故选：C

8．C

【分析】根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径.

【详解】解：椭圆中，，，则，、∴，，

∴．∵，，∴，

∵，∴，

解得．

故选：C．

9．CD

【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.

【详解】由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，

离心率为，

当时，，，

双曲线的焦点在轴上，其实轴长为，虚轴长为，

焦距为，离心率为.

故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，

与的焦距相等，离心率不相等．

故选：CD．

10．AC

【分析】A.将直线变形，观察可得定点；

B.分斜率存在和不存在求出切线方程；

C.通过圆心到直线的距离来判断；

D.由已知的两圆内切，根据圆心距离等于半径差列式计算.

【详解】对于A：直线变形为，

令，则，直线过定点（－，0），A正确；

对于B：（1）当斜率存在时，设直线

∵直线与圆相切

∴圆心到直线的距离

∴

∴直线方程为；

（2）当斜率不存在时，，B错误；

对于C：圆的半径，圆心到直线的距离，所以存在两点到直线距离为2，C正确；

对于D：圆与圆

两圆有唯一公切线，所以两圆相内切，

∴或者

∴或者

解得．D错误.

故选：AC.

11．BD

【分析】本题对线线角通过转化找到其异面直线夹角，对线面平行转化成证明线线平行，对点到平面距离是否相等，通过反证法，得到与其矛盾的结论，对组合体体积进行合理分割求解即可.

【详解】对于A，由正方体,得,

是直线与直线所成角，

连接，而平面，，

在中，不可能是直角，

直线与直线不垂直，故A错误；

对于B，连接，则，，

平面，平面，平面，

平面，故B正确；

对于C，若点与点到平面的距离相等，

则平面必过的中点,

连接于,且不是的中点，

则平面不过的中点,

即点与点到平面的距离不相等,故C错误；

对于D，，，

等腰梯形即为平面截正方体所得截面，

正方体被平面所截的后半部分，即较小的那部分空间几何体，设其体积为，它是由四棱锥和三棱锥组成，易得

，

剩余部分体积，，故D正确；

故选：BD.

【点睛】本题难度较大，综合性较强，主要考察在正方体中的线线关系，线面关系，点到平面距离，空间几何体体积等，尤其D选项中的组合体体积，需要对其进行合理分割再去求解.

12．CD

【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.

【详解】对于A：若，则.

因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：

二者联立解得：.故A错误；

对于B：光由所经过的路程为.

故B错误；

对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：

当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.

因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.

故C正确.

对于D：设直线PT的方程为.

，消去y可得：.

其中，即，解得

代入，有，解得：x=9.

由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.

所以.

故D正确

故选：CD

13．-4

【分析】首先根据垂直得出 求出的值，再由 再直线和 求出的值，算出结果．

【详解】 直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y ＋b＝0互相垂直

，得

在直线上，带入求得

故答案为

14．

【分析】利用抛物线的定义进行求解即可.

【详解】设抛物线的焦点为，因为直线是该抛物线的准线，所以点P到直线的距离等于，所以当在同一条直线上时，点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小，最小值为，

故答案为：

15．

【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案．

【详解】解：圆，圆心为，半径为4，

因为线段的垂直平分线交于点，所以，

所以．

所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为．

故答案为：．

16．

【分析】先根据椭圆方程确定题中三点的坐标，并求出的三边长，再根据是等腰三角形列等式求解可得，从而椭圆的离心率为.

【详解】根据椭圆方程，可得，，，

，，，

有，，

若是等腰三角形，则，

有，两边平方整理得，

把，代入得，

又，所以，.

离心率.

故答案为：.

17．(1)

(2)

【分析】（1）设点C坐标，根据题意直接列方程可得；

（2）由相关点法可得.

【详解】（1）设点C坐标为，由题知

整理得点的轨迹方程为

（2）设点M坐标为，点C坐标为

由中点坐标公式得，即

将代入得点的轨迹方程为：，即

18．(1)任选一条件，方程都为

(2)或

【分析】(1) 选①，设圆的方程为，根据题意列出方程组，求解即可；

选②，由题意可得直线恒过为圆的圆心，代入A点坐标即可求解；

选③，求出两直线的交点为，根据圆过A，B，C三点求解即可；

(2)先判断出点P在圆外，再分切线的斜率存在与不存在分别求解即可.

【详解】（1）解：选①，设圆的方程为，

由题意可得，解得，则圆的方程为；

选②，直线恒过，

而圆恒被直线平分，

所以恒过圆心，因为直线过定点，

所以圆心为，可设圆的标准方程为，

由圆经过点，得，

则圆的方程为．

选③，由条件易知，

设圆的方程为，

由题意可得，解得，

则圆的方程为，即．

综上所述，圆的方程为；

（2）解：因为，所以点P在圆外，

若直线斜率存在，设切线的斜率为，

则切线方程为，即

所以，解得．

所以切线方程为，

若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意．

综上过点的圆的切线方程为或．

19．(1)；

(2).

【分析】（1）联立直线与双曲线，应用韦达定理、弦长公式求l与C相交所得的弦长；

（2）联立直线与双曲线得，由已知讨论、，结合判别式求参数a的范围，进而可得实轴长的取值范围．

【详解】（1）由题设，联立直线与双曲线并整理得：，

若交点为、，则，，

所以相交弦长.

（2）由，直线代入整理得：，

当时，则l与C仅有一个交点，不合题意；

当时，，可得且；

综上，实轴长.

20．(1)证明见解析；

(2).

【分析】(1)由题意可得，又由三角形为等腰直角三角形，E为PC中点，可得，即可证明；

(2)建立以D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】（1）证明：∵平面，平面，

∴，

又∵正方形中，，，

∴平面，

又∵平面，

∴，

∵，是的中点，

，，

且平面，平面．

∴平面PCB．

（2）解：以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知：，，，，

则，，

设平面BDE的法向量为，

则，所以，

令，得到，，

∴

又∵，，则，

因为平面，平面，

∴，

又∵正方形中，，，

所以平面PDB，

∴平面PDB的一个法向量为．

则．

设二面角的平面角为，

所以．

∴．

所以二面角的正弦值为．

21．（1）；（2）.

【分析】（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.

【详解】（1）设直线方程为：，，

由抛物线焦半径公式可知：    

联立得：

则    

，解得：

直线的方程为：，即：

（2）设，则可设直线方程为：

联立得：

则    

，

        ，    

则

【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.

22．(1)；

(2).

【分析】（1）根据离心率及短轴长及求出，，求出椭圆方程；

（2）先考虑直线AB的斜率不存在时的值，再考虑直线AB的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立后得到两根之和，两根之积，从而求出，从而求出的取值范围.

【详解】（1），，

∴，

又，即，

解得：，，

椭圆的标准方程为；

（2）当直线AB的斜率不存在时，，

不妨设，则

当直线AB的斜率存在时，设，

由，

恒成立，

故，

∴

，

综上：，

故的取值范围为．