河北省沧州市任丘市第一中学2022-2023学年高一上学期第一次阶段考数学试题及答案

河北省沧州市任丘市第一中学2022-2023学年高一上学期第一次阶段考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．有下列说法：

（1）0与表示同一个集合

（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；

（3）方程的所有解的集合可表示为；

（4）集合是有限集.

其中正确的说法是（    ）

A．（1）､（4） B．（1）､（3）､（4） C．（2） D．（3）

2．下列关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．若，，则是的条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

5．①，②，③，④满足的集合A的个数是4个，以上叙述正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知集合，，则中所含元素的个数为（    ）

A．6 B．12 C．16 D．20

7．设全集，，，则图中阴影部分对应的集合为

A． B． C． D．

8．若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件其中与命题等价的有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

9．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A．a≥9 B．a≤9

C．a≥10 D．a≤10

10．已知集合，，若，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

11．设集合，若,则满足条件的实数的值是 （     ）

A． B． C． D．

12．若全集，集合，则中的元素有（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

13．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

14．设集合，，，则下列说法中正确的是（    ）

A．Ü B．Ü

C． D．

15．已知集合或，则的必要不充分条件可能是（    ）

A． B． C． D．

16．设A为非空实数集，若，都有，则称A为封闭集．其中正确结论的是（    ）

A．集合为封闭集

B．集合为封闭集

C．若集合A1，为封闭集，则为封闭集

D．若A为封闭集，则一定有

三、填空题

17．已知 或，则__________.

18．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为_______．

四、双空题

19．若集合，则________，_________．

20．设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个．

21．已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为.设集合的累积值为.

（1）若，则这样的集合共有___________个；

（2）若为偶数，则这样的集合共有___________个.

五、解答题

22．设，若，求实数a的值构成的集合．

23．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合

(1)当时，求A∪B：

(2)若___________，求实数a的取值范围．

24．设集合，集合．

(1)若，求和

(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

25．已知M是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则.

（1）判断是否正确，说明理由；

（2）证明：；

（3）证明：若，则且.

参考答案：

1．C

【分析】根据集合性质依次判断各选项即可得出结果.

【详解】（1）不正确：是数字不是集合，但；

（2）正确：集合元素满足无序性，即；

（3）不正确:集合元素具有互异性,方程的解集应为；

（4）不正确:满足不等式的有无数个,所以集合是无限集．

故选：C.

2．C

【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，结合常见数集，可得答案.

【详解】对于A，由为无理数，而指的是有理数集，则，故A错误；

对于B，由为数集，而指的是整数集，则，故B错误；

对于C，由为数集，而指的是自然数集，则，故C正确；

对于D，由是以为元素的数集，而是以为元素的点集，则，故D错误.

故选：C.

3．C

【分析】由特称命题的否定为全称命题：将变并否定原结论，即可写出题设命题的否定.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：题设命题的否定为，.

故选：C

4．A

【分析】利用充分性与必要性定义判断即可.

【详解】由题意可得

∴是的充分不必要条件

故选A

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

5．A

【分析】利用集合与元素的关系，以及集合与集合的关系，逐一判断4个命题即可.

【详解】解：对于①：不含任何元素，，所以①错误；

对于②：是以为元素的集合，所以正确，则②正确；

对于③：不含任何元素，而的元素是0，所以两者不相等，则③错误；

对于④：因为，所以集合A中必有1和2，可能含有3或 4，

所以共3个，则④错误；

所以正确的只有1个，

故选：A.

6．D

【分析】列举法分类列出B中所有元素.

【详解】B中元素：

x=1，y=2，3，4，5 即：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）

x=2，y=1，3，4，5 即：（2，1）、（2，3）、（2，4）、（2，5）

x=3，y=1，2，4，5 即：（3，1）、（3，2）、（3，4）、（3，5）

x=4，y=1，2，3，5 即：（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，5）

x=5，y=1，2，3，4 即：（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）

所以B中元素共有20个.

故选：D.

7．A

【分析】根据图可知：阴影部分对应的集合为，利用数轴先求出，而后求出即可.

【详解】图中阴影部分对应的集合为，因为，

所以，故本题选A.

【点睛】本题考查了识图能力，考查了集合的交集、补集的运算，把图形语言转化为符号语言是解题的关键，运用数轴解决数集之间的运算是常见的方法.

8．B

【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项.

【详解】解：由得韦恩图：

或

对于①，等价于，故①正确；

对于②，等价于，故②不正确；

对于③，等价于，故③正确；

对于④，与A、B是全集的真子集相矛盾，故④不正确；

对于⑤，是的必要不充分条件等价于BA，故⑤不正确，

所以与命题等价的有①③，共2个，

故选：B.

9．C

【分析】先把“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题转化为a≥9，再用集合法求解.

【详解】命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a.

从集合的包含关系可以判断， a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．

故选：C.

【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．

10．C

【分析】由得到，然后分和两种情况求解，将集合间的包含关 系转化为不等式或不等式组求解，可得a的取值范围.

【详解】解：因为，所以，

①当时，满足，

此时，解得；

②当时，由，得，解得；

综上所述，，

故选：C.

11．ACD

【分析】由得，根据子集的概念分类求解．

【详解】因为，所以，

若，则，满足题意，

若，则或，不合题意，满足题意．

故选：ACD．

12．ABD

【分析】化简M、N，进行集合运算即可判断.

【详解】，

，.

故选：ABD

13．AB

【解析】求出集合、，判断、的包含关系，进而可得出结论.

【详解】，，

所以，，则，.

故AB选项正确，CD选项错误.

故选：AB.

【点睛】本题考查与集合命题真假的判断，求出两个集合并判断两个集合的包含关系是解题的关键，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

14．CD

【解析】求出集合以及，可判断出各选项的正误.

【详解】，

，

当时，为奇数，为偶数，

则，，，.

故选：CD.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将集合、分别变形为，，结合两个集合中元素的表示形式来进行判断.

15．AB

【分析】分别在、的情况下，根据求得的范围，即为的充要条件，再根据选项即可得解．

【详解】解：因为集合或，

当时，，解得，此时，

当时，，解得，若，则，解得，

又，则，

则的充要条件为，

所以的必要不充分条件可能是，，

故选：AB．

16．BD

【分析】根据集合的并集、元素与集合的关系，由封闭集定义出发，结合子集概念分析元素与集合的关系，即可分析正误.

【详解】解：对于A，集合，当，时，，

故不是封闭集，A选项错误；

对于B，集合，代表偶数集，

因为任何两个偶数的和、差、积仍然是偶数，

所以集合是封闭集，B选项正确；

对于C，举反例：，，

取，，但，

所以，虽然集合为封闭集，但不一定是封闭集，C选项错误；

对于D，若为封闭集，则取得，D选项正确；

故选：BD.

17．

【分析】先求得集合A的补集，然后结合数轴利用并集的定义求得两个集合的并集.

【详解】解：.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查集合的补集及并集运算，属基础题.

18．184.

【解析】将已知条件用Venn图表示出来，由此确定听讲座的人数.

【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图所示，

所以听讲座的人数为.

故答案为：184.

19．     .      1.

【详解】分析：由集合相等的概念分类讨论．

详解：由已知∵，∴，，从而，即，∴．

故答案为－1，1．

点睛：本题考查集合相等的概念，两个集合相等，则这两个集合中的元素一样，因此本题有，，从而易得结论．

20．     5     6

【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可；

②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的集合即可.

【详解】解：①对于1，，则1不是“孤立元”；

对于2，，且，则2不是“孤立元”；

对于3，，则3不是“孤立元”；

对于5，，且，则5是“孤立元”；

②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，

所以由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有，，，，，，共6个，

故答案为：5；6.

21．         

【分析】（1）列举出符合条件的集合，即可得解；

（2）求出集合的子集个数，除去“累积值”为奇数的子集，即可得解.

【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有个；

（2）因为集合的子集共有个，

其中“累积值”为奇数的子集为、、，共个，

所以“累积值”为偶数的集合共有个.

故答案为：（1）；（2）.

22．

【分析】化简A，B为空集或元素只有一个，由分类讨论B的元素即可.

【详解】，由得B为空集或元素只有一个，且.

当，则；

当，则；

当，则.

故实数a的值构成的集合为.

23．(1)；

(2)选①②，；选③，.

【分析】（1）按定义进行并集运算；

（2）等价于；“”是“”的充分不必要条件等价于A B. 运用集合间的关系列不等式求解即可

【详解】（1），；

（2）且，

选①，，则，则，故a的取值范围为；

选②，“”是“”的充分不必要条件，则A B，∴，故a的取值范围为；

选③，，则或，故a的取值范围为.

24．(1)，

(2)

【分析】（1）当，所以，再求和即可求出答案.

（2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案.

【详解】（1），因为，所以，

所以，．

（2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，

当时，，得

当时，．

解得 ，

所以实数的取值范围是

25．（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）根据定义确定包含元素；

（2）根据定义依次确定包含元素；

（3）根据定义确定包含元素，即得结论；根据定义依次确定包含元素,即得结论．

【详解】（1）正确，证明如下：由①知，

由②可得；

（2）证明：由（1）知，又

∴，

由③得；

（3）证明：由①知

由题知，∴由②可得

又∵，∴，即；

证明：由，，

当时，则；

当时，则；

当且时，由②可得，

再由③可得，

∴即，

∴即，

∴即当，

又因为当，，∴，∴

∴当，可得

∴．

【点睛】关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．