【期末模拟检测】人教A版(2019)数学选择性必修第一册-高二上学期——期末模拟题（二）

高二上册数学期末模拟题（二）-人教A版（2019）新高考

一、单选题

1．在数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B．

C． D．

3．如图，在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，则（ ）

A． B．

C． D．

4．圆关于直线对称的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，，，其中，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知数列满足，则数列的前10项和是（    ）

A． B． C． D．

7．已知为双曲线的左､右焦点，点在双曲线的右支上，点是平面内一定点.若对任意实数，直线与双曲线的渐近线平行，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．若曲线存在到直线距离相等的点，则称相对直线“互关”.已知曲线相对直线“互关”，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（    ）

A． B．若，则

C．点A关于平面对称的点的坐标为 D．

10．已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（    ）

A．当时，则曲线是一个圆

B．当时，则曲线是一个双曲线

C．若时，则曲线是焦点为的椭圆

D．若曲线是离心率为的椭圆，则

11．已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（    ）

A．数列的通项公式

B．

C．数列的通项公式为

D．的取值范围是

12．函数的值域为，则下列选项中一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，CC1的中点，则异面直线A1E与BF所成角的余弦值为___________.

14．在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的圆中，半径最大的圆的标准方程为______

15．已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则的内切圆面积的最大值为___________.

16．定义在上的函数满足，当时，.设在上最小值为，则___________.

四、解答题

17．已知数列的前n项和为，且，．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式；

18．已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点．

（1）求与所成角的大小；

（2）求与平面所成角的余弦值．

19．在平面直角坐标系xOy中，已知两定点A(－2，2)，B(0，2)，动点P满足．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点(0，1)的直线l与轨迹C相交于M、N两点，且，求直线l的方程．

20．已知是曲线上任一点，过点作轴的垂线，垂足为，动点 满足

（1）求点的轨迹的方程;

（2）若点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点分别为，，求使四边形面积最小时的值.

21．已知数列满足a1＝1，an＋1＝

（1）从下面两个条件中选一个，写出b1，b2，并求数列的通项公式；

①bn＝a2n－1＋3；②bn＝a2n＋1－a2n－1．

（2）求数列的前n项和为Sn．

22．已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若有两个零点，且，证明.

参考答案

1．B

【分析】

分别将，，代入递推关系式求出，，的值即可求解.

【详解】

数列中，，，

令，可得，

令，可得，

令，可得，

故选：B.

2．B

【分析】

求出、的值，即可得出双曲线的渐近线方程.

【详解】

在双曲线中，，，所以，该双曲线的渐近线方程为.

故选：B.

3．A

【分析】

结合空间线段的关系以及空间向量的线性运算即可求出结果.

【详解】

在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，连接OG，

则

．

故选：A．

4．C

【分析】

圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程.

【详解】

圆的圆心 半径为 ，由得设对称点的坐标为 ，利用两圆心的连线与直线垂直，两圆心的中点在直线上列方程求解， ，化简得，解得所以对称圆的方程为.

故选:C.

5．C

【分析】

先令函数，求导判断函数的单调性，并作出函数的图像，由函数的单调性判断，再由对称性可得.

【详解】

由，则，同理，，

令，则，当；当，∴在上单调递减，单调递增，所以，即可得，又，，
 

由图的对称性可知，.

故选：C

6．C

【分析】

用替换已知式中的，然后两式相减求得，然后由裂项相消法求和．

【详解】

因为，

所以时，，

两式相减得，，

又，满足此式，所以，

，

所以数列的前10项和为．

故选：C．

7．A

【分析】

根据双曲线的性质可得直线与双曲线的渐近线方程为，重合或平行，即可求出，再利用双曲线的定义转化可求最小值.

【详解】

∵双曲线C：，∴双曲线的渐近线方程为，

∵对任意实数m，直线与双曲线C的渐近线平行，

∴直线与双曲线的渐近线方程为平行，

∴，∴，∴为，

∵，∴，

∴，

∴的最小值为.

故选：A.

8．B

【分析】

由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而得出圆上点到直线的最大距离，当时满足题意；当时，利用导数的几何意义求出曲线的切点坐标，根据点到直线的距离公式求出切点到直线的距离，结合计算即可.

【详解】

由题意知，

圆的圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以圆上的点到直线的最大距离为；

当时，为开口向上的抛物线，、存在到直线l距离相等的点，符合题意；

当时，由，得，设点为曲线上的一点，

则曲线上过点P的切线方程的斜率为，

又过点P且与直线平行的切线方程的斜率为1，所以=1，，所以切点，

此时切点到直线的距离为，

由，得，即，

解得，所以

综上所述，

故选：B

9．AB

【分析】

利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果.

【详解】

，

,，

A正确,D错误.

若，则,则,B正确，

点A关于平面对称的点的坐标为，故C错误，

故选：AB.

10．ABC

【分析】

根据曲线方程，结合各选项给定的参数值，将方程转为为的形式判断曲线的性质即知A、B、C的正误，由椭圆的离心率求参数m判断D.

【详解】

A：时，曲线可整理为，即曲线是一个圆，正确；

B：时，曲线可整理为，即曲线是一个双曲线，正确；

C：时，曲线可整理为，即曲线是焦点为的椭圆，正确；

D：由上分析知：若曲线是离心率为的椭圆，则或，可得或，错误.

故选：ABC.

11．ABD

【分析】

根据已知条件求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和；利用裂项相消法可得和，讨论数列的单调性，即可得出的范围.

【详解】

A：由可得，所以等比数列的公比，所以.

由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以A正确；

B：，所以B正确；

C：，所以C不正确；

D：所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确.

故选：ABD.

12．ACD

【分析】

判断函数在上的单调性，再根据函数的值域即可求出的范围，即可判断A；根据函数在上的单调性即可判断B；利用导数判断函数在上的单调性，令，求出函数在上的单调性，即可判断与的大小，从而可判断C；令，求出函数在上的单调性，再根据函数在上的单调性即可判断D.

【详解】

解：当时，，则，

所以函数在上递增，，

当时，在上递减，

则，解得，故A正确；

则，所以，故B错误；

则，故，

令，

则，所以函数在上递增，

所以，

所以，即，

所以，故C正确；

令，则，

当时，，所以函数在上递增，

所以，即，

所以，故D正确.

故选：ACD.

13．

【分析】

建立如图所示空间直角坐标系，利用数量积可求夹角的余弦值.

【详解】

如图，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，

则，故.

故答案为：

14．

【分析】

把直线方程化为点斜式，根据题意知，当切点为P点时，半径最大且为CP，结合两点间的距离公式即可求解.

【详解】

根据题意，直线，即，恒过定点，记P为 设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为， 其与直线相切的所有圆中，当切点为P点时，半径最大且为CP，

所以，=2，

则所求圆的方程为

故答案为：．

15．

【分析】

设直线AB的方程为，，，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，由示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值．

【详解】

解：直线AB的斜率不能为0，但可不存在.

设直线AB的方程为，，，

由，得，，，

则

（当且仅当时等号成立）.

设的内切圆半径为r，，

则，

，

则的内切圆面积的最大值为.

故答案为：．

16．

【分析】

根据基本不等式可知时，又，可得，进而可求出时，由此可知时，可得，由此可证数列是以为首项，3为公差的等差数列，再根据等差数列的的通项公式，即可求出结果.

【详解】

当时，

因为，

所以

当且仅当，即时，取等号；

所以当时，；

又

所以；

当时，则，

所以；

又在上最小值为，所以

当时，则

所以

即，所以

所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，即

所以.

故答案为：.

17．

（1）证明见解析；

（2），.

【分析】

（1）由题设可得，即可证明结论；

（2）由（1）可知，再根据计算可得；

（1）

由，，

∴，整理得：，而，

∴以为首项，1为公差的等差数列，得证.

（2）

由（1）得：，

①当时，；

②当时，，

综上，时成立，

∴，.

18．

（1）60°；

（2）.

【分析】

（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；

（1）

以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则，，，，

所以，，设与EF所成角的大小为，

则，

因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°．

（2）

设平面的法向量为，与平面所成角为，．

因为，，所以，，

所以，令，得为平面的一个法向量，又因为，

所以，

所以．

19．

（1）；

（2）x＝0或3x＋4y－4＝0﹒

【分析】

(1)设动点的坐标，直接利用已知的等式，代入化简即可；

(2)分直线斜率存在和不存在两种情况进行分析，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可．

（1）

设动点的坐标为，

则，

整理得，

故动点的轨迹是圆，方程为；

（2）

由(1)知动点的轨迹是圆心为，半径的圆．

设为中点，则，得，

圆心到直线的距离，

当直线的斜率不存在时，的方程为，

此时，符合题意；

当直线的斜率存在时，

设的方程为，即，

由题意得，解得；

故直线的方程为，

综上直线的方程为或．

20．

（1）；

（2）.

【分析】

（1）设，，则，由可得，再代入化简即可求解；

（2）由圆的切线的性质可得，，，求出圆心到直线的距离即为的最小值，进而可得面积的最小值，再由即可得的值.

（1）

设，，则，

由可得，

所以，所以，

因为点在椭圆上，所以，

所以，整理可得：，

所以点的轨迹方程为.

（2）

由圆的切线性质知，切线长，，

所以四边形面积，

所以当最小时，面积最小，

而的最小值即为点到直线的距离，

此时，

又因为，可得，

所以四边形面积最小时的值为.

21．

（1）所选条件见解析，；；

（2）.

【分析】

（1）分为奇数和为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.

（2）分为奇数和为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果.

（1）

当为奇数时，，则，且，则，即，

当为偶数时，，则，且，，则，即，

若选①，则，则；

若选②，则，则，

（2）

当为偶数时，

当为奇数时，

.

22．

（1）单调增区间是，单调减区间是

（2）证明见解析

【分析】

（1）当时，，结合导数正负判断函数单调区间即可；

（2）因是函数零点，得，分离得，令，构造，代换成关于的函数表达式，通过求出最值，进而得证.

（1）

当时，,

令得，令得，

的单调增区间是，单调减区间是；

（2）

若有两个零点，则，

得.

，令，则，

得，

则，

令，则，

令，则，

在上单调递增，.

，则在上单调递增，

，即，

.