【期末模拟检测】人教A版(2019)数学选择性必修第一册-高二上学期——期末模拟题（六）

高二上册数学期末模拟题（六）-人教A版（2019）新高考

一、单选题

1．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．抛物线的焦准距是（    ）

A．1 B．2 C． D．

3．在等差数列中，，表示数列的前项和，则（    ）

A．43 B．44 C．45 D．46

4．已知函数的导数为，且，则（    ）

A． B． C．1 D．

5．已知在直角坐标系xOy中，点Q(4，0)，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足.则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线相交，直线平面

D．直线与直线异面，直线平面

7．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．2

8．设，若为函数的极大值点，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（多选）等比数列中，，，则与的等比中项可能是（    ）

A． B．4 C． D．

10．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

12．设函数，则（    ）

A．在上单调递增

B．的最大值为，最小值为

C．方程有无数个解

D．若恒成立，则

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程为__________．

14．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为___________（结果保留两位小数）.

15．设等比数列满足，则___________.

16．如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点作椭圆的切线，切点为T，若M为x轴上的点，满足，则点M的坐标为______.

四、解答题

17．平面内，动点M与两个定点，的距离之比为，记动点M的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）若直线与曲线C交于D，E两点，求线段DE的长.

18．某河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9 m，拱圈内水面宽30 m，一条船在水面以上部分高7 m，船顶部宽6 m．

（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；

（2）近日由于水位暴涨了2.46 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？（精确到0.1 m）

19．如图，，，平面，，，．

（1）证明：；

（2）求二面角的正弦值．

20．已知为数列的前项和，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求．

21．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.

（1）求实数的值，并判断函数的单调性

（2）记，若在上单调递减，求的取值范围.

22．圆．

（1）求证：不论为何值，圆必过两定点；

（2）已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）．过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，，问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．

考答案

1．A

【分析】

方程化为圆锥曲线（椭圆与双曲线）标准方程的形式，然后由方程表示双曲线可得不等关系．

【详解】

解：方程可化为，它表示双曲线，则，解得.

故选：A．

2．A

【分析】

根据抛物线方程可求出焦点坐标和准线方程，由此即可求出结果.

【详解】

抛物线的焦点坐标为，准线为

所以抛物线的焦准距为.

故选：A.

3．C

【分析】

根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】

由等差数列中，满足，

根据等差数列的性质，可得，所以，则.

故选：C.

4．B

【分析】

直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解.

【详解】

由得，当时，，解得，所以，.

故选：B

5．A

【分析】

根据给定直线设出点P的坐标，再借助列出关于的不等式，然后由不等式有解即可计算作答.

【详解】

因点P在直线l：上，则设，于是有，

而，因此，，

即，依题意，上述关于的一元二次不等式有实数解，

从而有，解得，

所以实数m的取值范围是.

故选：A

6．A

【分析】

由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.

【详解】

连，在正方体中，

M是的中点，所以为中点，

又N是的中点，所以，

平面平面，

所以平面.

因为不垂直，所以不垂直

则不垂直平面，所以选项B,D不正确；

在正方体中，，

平面，所以，

，所以平面，

平面，所以，

且直线是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

7．A

【分析】

设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．

【详解】

设点，因为，，所以

，

而，所以当时，的最大值为．

故选：A．

【点睛】

本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．

8．D

【分析】

先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】

若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

综上所述，成立.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

视频
 

9．AB

【分析】

利用等比中项的定义求解即可

【详解】

设与的等比中项是．由等比数列的性质可得，则．

故选:AB．

10．BC

【分析】

根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】

设正方体的棱长为，

对于A，如图（1）所示，连接，则，

故（或其补角）为异面直线所成的角，

在直角三角形，，，故，

故不成立，故A错误.

对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，

由正方体可得平面，而平面，

故，而，故平面，

又平面，，而，

所以平面，而平面，故，故B正确.

对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，

故，故C正确.

对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，

则，

因为，故，故，

所以或其补角为异面直线所成的角，

因为正方体的棱长为2，故，，

，，故不是直角，

故不垂直，故D错误.

故选：BC.

11．ABD

【分析】

转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.

【详解】

圆心到直线l的距离，

若点在圆C上，则，所以，

则直线l与圆C相切，故A正确；

若点在圆C内，则，所以，

则直线l与圆C相离，故B正确；

若点在圆C外，则，所以，

则直线l与圆C相交，故C错误；

若点在直线l上，则即，

所以，直线l与圆C相切，故D正确.

故选：ABD.

12．BD

【分析】

求导判断函数单调性确定AB正误，函数放缩判断C,构造函数最值判断D

【详解】

在单调递减，单调递增，

当x越大，分母越来越大，具有周期性故只可能在取到最大值错，B正确

C.当时，令 即，又，则，从而无解，错.

D. 令，

要使总成立，只需，

先考虑时，对求导，可得，

令，则

所以在，上为减函数，而，，所以，；

对分类讨论：

①当时，恒成立，所以在，上为增函数，

所以，即，

由，解得：，故，无解；

②当时，在上有实根，

因为在，上为减函数，所以当，时，，

所以，不符合题意；

③当时，恒成立，所以在，上为减函数，

则，故成立；综上，可得实数的取值范围是，．

当，<1-故

故选：BD

13．

【分析】

先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

【详解】

由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．

14．

【分析】

根据导数的几何意义求出切线方程进行求解即可.

【详解】

由，，所以在处的切线方程为：，令，

可得：，所以在处的切线方程为：，令，

故答案为：

15．

【分析】

由已知求出通项公式，再结合对数化简式和等差数列前n项和公式即可求解.

【详解】

因为等比数列满足，所以，

又，解得，故，，所以.

故答案为：

16．（，0）或（，0）

【分析】

通过联立椭圆和切线方程，可解出坐标，进而利用，建立等式条件，解出点M的坐标

【详解】

设的方程等于,不妨设在轴上方，即.

则联立与椭圆的方程，得,整理得，令，解得,此时方程为,解得

因此可知,由椭圆方程可知，所以,又因为，所以，，

（如图）过T做x轴的垂线，记垂足为N，则可知,因此,设 ,则, , 在中，由正弦定理，,

即，解得或

故答案为：（，0）或（，0）

17．

（1）

（2）

【分析】

（1）设，由题意得到关于，的等量关系，然后整理变形可得轨迹方程；

（2）求出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离及垂径定理与勾股定理计算可得；

（1）

解：设，由题意可得：，即，所以，即，所以，

即动点的轨迹方程为．

（2）

解：由（1）可知曲线的方程为，表示以为圆心，为半径的圆，

圆心到直线的距离，

所以弦．

18．

（1）x2＝﹣25y；

（2）0.9 m．

【分析】

(1)根据对称性，设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，以AB垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出A，B坐标，可求出拱桥所在抛物线的方程；

(2)根据(1)中抛物线方程，求出x=3时，y的值为-0.36 ，水位暴涨了2.46 m后，根据几何关系可知船身至少应该降低7＋2．46﹣(9﹣0.36)﹒

（1）

设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，

以AB垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则A（﹣15，﹣9），B（15，﹣9），

设拱桥所在的抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），

因点A（﹣15，﹣9）在抛物线上，代入解得2p＝25，

故拱桥所在的抛物线方程是x2＝﹣25y；

（2）

因x2＝﹣25y，故当x＝3时，y＝﹣0.36，

故当水位暴涨2.46 m后，船身至少应降低7＋2.46﹣(9﹣0.36)＝0.82，

因精确到0.1 m，故船身应降低0.9 m．

故船身应降低0.9 m，才能安全通过桥洞.

19．

（1）证明见解析

（2）

【分析】

（1）由平面，证得平面平面，证得平面，

得到，证得平面，得到，从而证得，进而证得平面，即可得到.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角即可.

（1）

取D为线段BC中点，连接AD与DB1，

平面，平面，

平面平面，

平面平面．

又是以BC为斜边的等腰直角三角形，

，平面．

平面，

．

，平面，

平面，

平面，

，，

与都为直角三角形，又，．

，，，

，．

平面，平面，，

平面，平面，．

（2）

，平面，

，，又．

以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，．

轴平面，

取平面一个法向量．

设平面一个法向量为，

，，

由，，

可得．

．

二面角的正弦值为．

20．

（1）

（2）

【分析】

（1）利用与的关系可得，再利用等差数列的定义及条件即求；

（2）由题可得，再分组求和即得.

（1）

当时，，又，所以；

当时，，所以，即，

所以，

所以，

化简，得，即当时，，

所以为等差数列，

又，，

所以公差，所以．

（2）

由（1）知为以为首项，为公差的等差数列，所以，

所以，

所以

．

21．

（1），在上为增函数，在上为减函数

（2）

【分析】

（1）根据曲线在点处的切线与直线平行，即，即可求得实数的值，再根据导函数的符号即可求得函数的单调区间；

（2）若在上单调递减，即，利用导数求得函数的最大值即可得出答案.

（1）

解：由，得，

曲线在点处的切线与直线平行，，解得，

，

，

当时，，在上为增函数，

当时，，在上为减函数；

（2）

解：由题意，得，

，

令，，令，解得，

当时，单调递增；当时，单调递减，

，即.

在上单调递减，，，解得，

的取值范围为.

22．

（1）证明见解析；

（2）存在；.

【分析】

（1）将圆的方程整理为，解方程组即可得圆必过两定点；

（2）令可得，，设，，直线的方程为代入圆可得，，由求得的值即可求解.

（1）

由圆可得，

联立方程组：可得：，或，

则圆恒过定点和．

（2）

因为圆

将代入，可得，

变形得，所以或，

因为，点在点的左侧，所以，，

因为直线的倾斜角不为，所以可设直线的方程为，

代入圆的方程可得，整理为：，

因为直线上点在圆内部，所以该直线与圆必然有两个交点，

并设两交点坐标为，，

由韦达定理可得，，

因为直线的方程为，

所以，，若，

则直线与直线关于轴对称，所以，

所以，整理得：，

将，，代入，可得，

即对任意恒成立，所以，

所以存在，使得．