吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学（理）试题及答案

这是一份吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学（理）试题及答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知全集，集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
3．已知函数 ，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．集合，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数的部分图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是奇函数，且当时，.若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
9．若函数在上存在极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则（ ）．
A．B．0
C．D．2021
11．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知定义在上的奇函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．某班有学生56人，经调查发现，参加了羽毛球协会的学生有35人，参加了乒乓球协会的学生有20人，其中既参加了羽毛球协会，又参加了乒乓球协会的学生有10人，则该班学生中既没参加羽毛球协会，又没参加乒乓球协会的有______人.
14．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号表示不超过x的最大整数，如：．若函，则的值域为_________．
15．已知曲线与曲线有相同的切线，则________．
16．已知函数若，则的最小值为__________．
三、解答题
17．已知，；，.
(1)若是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是假命题，是真命题，求实数a的取值范围.
18．已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
19．某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本万元，每加工万千克该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每千克售价为元，且加工后的该农产品能全部销售完.
（1）求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系式；
（2）求加工后的该农产品利润的最大值.
20．已知函数（且）是奇函数，且．
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的值域．
21．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论的零点个数.
22．已知函数（其中为实数）的图象在点处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）求函数的最小值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围､
参考答案：
1．A
【分析】全称命题的否定为特称命题，条件不变，只进行结论的否定.
【详解】全称命题的否定为特称命题，条件不变，只进行结论的否定.只有A选项符合题意.
故选：A
2．C
【分析】求出集合以及集合，再由集合的交、补运算即可求解.
【详解】因为且，
，
所以．
故选：C
3．B
【分析】根据分段函数的解析式，先计算的值，再求得的值即可.
【详解】由题意，所以，
故，
故选：B.
4．A
【分析】代入计算得到充分性，当时，也成立，不是必要条件，得到答案.
【详解】当时，，故“”是“”的充分条件；
当时，也成立，故“”不是“”的必要条件.
故选：A
5．C
【分析】求出集合，再根据，列不等式组求出的取值范围.
【详解】
若，，则，解得
故选：C.
6．D
【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数小于0，即可求得答案.
【详解】由题意函数的定义域为 ，
，当时， ，
故函数的单调递减区间是，
故选：D.
7．A
【分析】计算，排除BD，利用均值不等式得到时，，排除C，得到答案.
【详解】，，排除BD.
当时，，当时等号成立，排除C；
故选：A
8．B
【分析】根据奇函数性质可得，代入时的函数解析式，即可求得答案.
【详解】因为是奇函数，故由可得，
又当时，，所以，
即，则 ，故，
故选：B.
9．D
【分析】求出函数的导数，令，讨论a的取值范围，结合在上存在极大值点，结合二次函数性质列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
令，则 ，
当时，，当时，，递增，
当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；
当时，图象对称轴为，
此时要使函数在上存在极大值点，需满足，
即，则，
此时，在上递减，存在 ，使得，
则当时，，递增，当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；
当时，图象开口向下，对称轴为，
此时要使函数在上存在极大值点，需满足，
即，则，同上同理可说明此时符合题意，
综合上述，可知的取值范围为，
故选：D
10．C
【分析】先根据奇偶性和对称性得到是周期为的周期函数，然后计算出一个周期内函数值的和即，结合周期性可求原式的值.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
则，
故是周期为4的周期函数．
又当时，，
所以，
，
解得，，
故当时，．
因为，
所以．
故选：C.
11．D
【分析】根据函数的图像得到在内有两不等实根，根据二次方程根的分布问题列不等式求解.
【详解】画出函数的图像
要方程关于的方程有4个不同的实数根，
令，
则在内有两不等实根，
，解得
故选：D.
12．B
【分析】令，，得到是奇函数，单调递增，再利用函数的单调性和奇偶性分析判断得解.
【详解】因为，所以
，
令，，则，
所以单调递增，
所以，
所以为奇函数，，
所以，即，
所以A，C错误；
因为，所以，又因为为奇函数，所以，所以B正确；
因为，所以．又因为为奇函数，所以，所以D错误．
故选：B
13．11
【分析】根据题意结合集合的性质分析即可.
【详解】由题意，参加了羽毛球协会或者参加了乒乓球协会的学生有人，故该班学生中既没参加羽毛球协会，又没参加乒乓球协会的有人.
故答案为：
14．
【分析】先求出的值，再根据高斯函数的定义即可求出答案.
【详解】当或时，
；
当时，；
故的值域为．
故答案为：.
15．0
【分析】设切点分别为，．利用导数的几何意义可得，则 ．由，，计算可得，进而求得点坐标代入方程即可求得结果.
【详解】设切点分别为，．
由题意可得，则，即．
因为，，所以，即，解得，
所以，则，解得．
故答案为：0
16．
【分析】由，得到，从而得到，令，用导数法求解.
【详解】函数的图象如图所示：
可知，．
因为，
所以，即，则．
令，则，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
即的最小值为．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）设，根据函数的单调性计算最值得到范围.
（2）确定p和q中一个是真命题，一个是假命题，考虑p为真命题，q为假命题和p为假命题，q为真命题两种情况，计算得到答案.
【详解】（1）设，则在上单调递增.
若q是真命题，则，，，解得，
即实数a的取值范围是.
（2）若p是真命题，则或，解得.
因为是假命题，是真命题，所以p和q中一个是真命题，一个是假命题.
若p为真命题，q为假命题，则，解得；
若p为假命题，q为真命题，则或，解得.
综上所述：实数a的取值范围是.
18．(1)，或
(2)或
【分析】（1）求出集合，再根据交集，并集，补集的概念求解即可；
（2）因为，所以，分和讨论求解实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，或，
又，
所以，或
（2）因为，所以.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上实数的取值范围是或
19．（1）；（2）最大值万元.
【分析】（1）根据利润=收入-固定成本-投入成本，分与两种情况即可求解；
（2）当时由二次函数的性质求最值，当时用基本不等式求最值，最后比较即可求解
【详解】（1）当时，.
当时，.
故加工后该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系式为
（2）当时， ，
当时，取得最大值万元；
当时，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以当时，取得最大值万元.
因为，
所以当时，取得最大值万元.
20．（1）；（2）．
【分析】（1）由为奇函数，可得，可求出的值，再由可求出，从而可求出函数的解析式，
（2）函数与在为减函数，所以在上为减函数，从而可求出函数的值域
【详解】解：（1）因为，所以．
又是奇函数，所以，则．
故，解得或（舍去）．
又，所以．
（2）因为函数与在上为减函数，
所以在上为减函数．
又，
所以在区间上的值域为．
21．(1)单调递增区间是和，单调递减区间是
(2)时， 有1个零点；
或时， 有2个零点；
时，有3个零点.
【分析】（1）求解函数的导数，再运用导数求解函数的单调区间即可；
（2）根据导数分析原函数的极值，进而讨论其零点个数.
【详解】（1）因为，所以
由，得或；由，得.
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）由（1）可知的极小值是，极大值是.
①当时，方程有且仅有1个实根，即有1个零点；
②当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；
③当时，方程有3个不同实根，即有3个零点；
④当时，方程有2个不同实根，即有2个零点；
⑤当时，方程有1个实根，即有1个零点.
综上，当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.
22．（1）；（2）最小值为；（3）.
【分析】（1）求导得到，根据题意得到，解得答案。
（2）计算得到，求导得到，令，则，讨论和的情况，得到在上单调递减和在上单调递增，得到函数的最小值。
（3）当时，不等式恒成立，当时，等价于，令，，考虑和，结合（2）结论根据函数的单调性得到最值，同理时类似，计算得到答案。
【详解】解：因为，所以，
由题意得解得.
由（1）知
所以，令，则
当时，由，得，
所以在上单调递减，无最小值.
当时，由，得，所以在上单调递增，
故，所以在上单调递增，所以.
综上，的最小值为.
对分情况讨论如下：
当时，对任意的，不等式恒成立.
当时，不等式等价于，即
令，则.
当时，由（2）知，
所以单调递增，从而，满足题意.
当时.由知在上单调递增，
易证，故，
从而.
又，所以存在唯一实数，使得，
且当时，单调递减，所以当时，不满足题意.
当时，不等式等价于，
同上，令，则.
当时，由（2）可知，所以单调递增，故，满足题意
综上，可得入的取值范围是.