【期末模拟测试】人教A版(2019)高一数学必修第一册：期末测试卷（三）

期末测试卷（三）

说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。

3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。

第I卷(选择题  共60分)

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1．设集合，，则集合　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】集合或，

，

集合，．

故选：．

2．幂函数的图像经过点，，若，则　　

A．2 B． C． D．

【解析】设，幂函数的图像经过点，，

，，，，，．

故选：．

3．设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】由函数在上是减函数可得，此时函数在上是增函数，

若在上是增函数，则，即，在上单调性不确定，

故函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”充分不必要条件．

故选：．

4．下列函数中，在区间上为增函数的是　　

A． B． C． D．

【解析】根据指数函数的性质可知，在区间上为减函数，不符合题意；

根据对数函数的性质可知，在区间上为增函数，符合题意；

根据幂函数的性质可知，在区间上为减函数，不符合题意；

根二次函数的性质可知，在区间上先减后增，不符合题意．

故选：．

5．函数的定义域为　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】要使原函数有意义，则，解得．

函数的定义域为，．

故选：．

6．已知函数且的图象过定点，则　　

A．5 B．6 C． D．8

【解析】，当时，（2），

过定点，即，，

故．

故选：．

7．在同一坐标系中，函数与且的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【解析】当时，直线的斜率大于1，函数且在上是增函数，选项满足条件．

当时，直线的斜率大于0且小于1，函数且在上是减函数，没有选项满足条件．

故选：．

8．若函数在，上有最大值，则实数的值为　　

A．1 B． C．1或 D．1或

【解析】设，当时，函数在，上单调递增，

而函数是单调递减函数，由复合函数单调性可得函数在，上单调递减，

此时当时，函数有最大值为，解得或（舍去），

所以，

当时，函数在，上单调递减，而函数的单调递减函数，

由复合函数的单调性可得函数在，上单调递增，此时函数没有最大值，

综上，实数的值为1，

故选：．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知函数的图象经过点，若，下列性质正确的有　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解析】的图象经过点，

，，，，

在上为减函数，错误，

，，，错误，

，正确，

，，

，，，正确，

故选：．

10．已知函数，实数，满足（a）（b），则下列结论正确的有　　

A． B．，，使 

C． D．

【解析】函数，作图如下：

（a）（b），

，

，故错误，正确；

又，，即，

，故错误，正确，

故选：．

11．已知函数，，且，的图像如图所示，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【解析】由图像可知，所以，故选：．

12．已知函数，则　　

A．的最小正周期为 

B．的图象关于直线对称 

C．在区间，上单调递减 

D．的图象关于点，对称

【解析】由于；

对于：函数的最小正周期为，故正确；

对于：当时，，故错误；

对于：由于，，故，故函数在该区间上单调递减，故正确；

对于：当时，，故正确．

故选：．

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数，满足的的取值范围是 　   　．

【解析】①时，，得；

②时，，即，得，

综上的取值范围是或．

故答案为：或

14．已知函数，则关于实数的不等式的解集为 　　．

【解析】当时，单调递增，当时单调递增，且函数在处连续，

故函数在上单调递增，

由得，

解得．

故答案为：．

15．已知，，，，1，2，，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则　　．

【解析】因为，，，，1，2，，

由幂函数为奇函数，在上单调递减，

所以为奇数，且，

所以．

故答案为：．

16．已知函数，，的图象如图所示，则函数　　．

【解析】由图象可得，又由图象得，即，

则，，又图象过，，则，

得，又，，所以，

故答案为：．

四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．计算下列各式的值；

（1）；

（2）．

【解析】（1）原式．

（2）原式．

18．已知函数是上的奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在区间上恒有解，求实数的取值范围．

【解析】（1）是上的奇函数，，即．

当时，，，

为上的奇函数，

故；

（2）方程在区间上恒有解，

即方程在区间上恒有解，

在区间上恒有解，

令，，再令，则．

则，

，又在，上单调递减，在，上单调递增，

，，

即，．

则实数的取值范围是，．

19．已知函数，其中且．

（1）求函数的定义域；

（2）判断的奇偶性，并说明理由；

（3）若，求使成立的的集合．

【解析】（1）要使函数有意义，则，

解得，

即函数的定义域为；

（2），

是奇函数．

（3）若，

，

解得：，

，

若，则，

，

解得，

故不等式的解集为．

20．设函数，．

（1）求函数的最小正周期和单调增区间；

（2）求函数在区间上的最小值和最大值．

【解析】（1）因为

所以函数的最小正周期为，

因为的单调递增区间为．

所以，．

所以，．

所以函数的单调递增区间为．

（2）因为，

所以．

所以当，即时，取得最小值．

当，即时，取得最大值2．

21．已知函数且函数相邻两个对称轴之间的距离为．

（1）求的解析式及最小正周期；

（2）当时，对于恒成立，求的取值范围．

【解析】（1），

函数相邻两个对称轴之间的距离为，

，解得，

，最小正周期为．

（2）当时，对于恒成立等价于当时，，

，

，

在处取得最小值，即，

故的取值范围为．

22．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数．该款冰雪运动装备的日销售量（套与时间的部分数据如表所示：

已知第24天该商品的日销售收入为32400元．

（1）求的值．

（2）给出以下三种函数模型：①；②；③．请你依据如表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量与时间的关系，说明你选择的理由．根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入，（元在哪一天达到最低．

【解析】（1）由题意可得，，解得．

（2）表格中对应的数据递增的速度较慢，排除模型①，

表示图象在两侧“等距”的函数值相等，

而表格中的数据为体现此规律，排除模型②，

对于模型③，将，代入模型③，，解得，

此时，，经过验证，，均满足，故选择模型③，

，

当且仅当时，等号成立，

故第三天达到最低．