高中电磁感应现象及动生电动势、感生电动势解析

一、电磁感应现象

1、磁通量： 在匀强磁场中，磁感应强度B与垂直磁场的面积S的乘积，叫做穿过这个面的磁通量，即；一般情况下，当平面S不跟磁场方向垂直时，，为平面S在垂直于磁感线方向上的投影。当磁感线与线圈平面平行时，磁通量为零。   

2、产生感应电流的条件可归结为两点：① 电路闭合；② 通过回路的磁通量发生变化。

3、磁通量是双向标量。若穿过面S的磁通量随时间变化，以、分别表示计时开始和结束时穿过面S的磁通量的大小，则当、中磁感线以同一方向穿过面S时，磁通量的改变；当、中磁感线从相反方向穿过面S时，磁通量的改变。

4、由于磁感线是闭合曲线，所以穿过任意闭合曲面的磁通量一定为零，即＝0。如穿过地球的磁通量为零。

二、感应电动势的大小

1、法拉第电磁感应定律的数学表达式为，它指出感应电动势既不取决于磁通量φ的大小，也不取决于磁通量变化Δφ的大小，而是由磁通量变化的快慢等来决定的，由算出的是感应电动势的平均值，当线圈有相同的ｎ匝时，相当于ｎ个相同的电源串联，整个线圈的感应电动势由算出。

2、公式中涉及到的磁通量Δφ的变化情况在高中阶段一般有两种情况：① 回路与磁场垂直的面积s不变，磁感应强度发生变化，则Δφ＝ΔBS，此时，式中叫磁感应强度的变化率。 ② 磁感应强度B不变，回路与磁场垂直的面积发生变化，则Δφ＝BΔS。若遇到B和S都发生变化的情况，则。

3、回路中一部分导体做切割磁感线运动时感应电动势的表达式为，式中ｖ取平均速度或瞬时速度，分别对应于平均电动势或瞬时电动势。

4、在切割磁感线情况中，遇到切割导线的长度改变，或导线的各部分切割速度不等的复杂情况，感应电动势的根本算法仍是，但式中的ΔΦ要理解时间内导线切割到的磁感线的条数。

三、概念辨析

1、对于法拉第电磁感应定律E=应从以下几个方面进行理解：

①它是定量描述电磁感应现象的普遍规律，不管是什么原因，用什么方式所产生的电磁感应现象，其感应电动势的大小均可由它进行计算。

②一般说来，在中学阶段用它计算的是Δt时间内电路中所产生的平均感应电动势的大小，只有当磁通量的变化率为恒量时，用它计算的结果才等于电路中产生的瞬时感应电动势。

③若回路与磁场垂直的面积S不变，电磁感应仅仅是由于B的变化引起的，那么上式也可以表述为：E=S，ΔB/Δt是磁感应强度的变化率，若磁场的强弱不变，电磁感应是由回路在垂直于磁场方向上的面积S的变化引起的，则E==B。在有些问题中，选用这两种表达方式解题会更简单。

④若产生感应电动势的那部分导体是一个匝数为n的线圈，且穿过每匝线圈的磁通量的变化率又相同，那么线圈所产生的总的感应电动势E=nΔΦ/Δt（相当于许多相同电源串联）

2、公式E=BLv使用时应注意：

①公式E=BLv是法拉第电磁感应定律的一种特殊形式，不具有普遍适用性，仅适用于计算一段导体因切割磁感线而产生的感应电动势，且在匀强磁场中B、v、L三者必须互相垂直。

②当v是切割运动的瞬时速度时，算出的是瞬时电动势；当v是切割运动的平均速度时，算出的是一段时间内的平均电动势.

③若切割磁感线的导体是弯曲的，L应理解为有效切割长度，即导体在垂直于速度方向上的投影长。

④公式E=BLv一般适用于在匀强磁场中导体各部分切割速度相同的情况，对一段导体的转动切割，导体上各点的线速度不等，怎样求感应电动势呢？

如图所示，一长为L的导体棒AC绕A点在纸面内以角速度ω匀速转动，转动区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场。AC转动切割时各点的速度不等，vA=0，vC=ωL，由A到C点速度按与半径成正比增加，取其平均切割速度ωL，得E=BLBL2ω。

为了证明这样做的正确性，我们可以假设如图所示的闭合电路，经时间Δt，AC棒转过的角度=ωΔt，穿过回路的磁通量的变化量=，根据法拉第电磁感应定律，又知金属棒AC是匀速转动，产生的感应电动势应该是不变的，即感应电动势的平均值和瞬时值是相等的，所以E=BL2ω是正确的。

⑤若切割速度与磁场方向不垂直，如图所示，v与B的夹角为，将v分解为：v∥=

vcos，v⊥=vsin，其中v∥不切割磁感线，根据合矢量和分矢量的等效性得E=BLv⊥=BLvsinθ（想一想，此式还可适用于哪些情况？）

⑥区分感应电量与感应电流.回路中发生磁通量变化时，由于感应电场的作用使电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内迁移的电量（感应电量）为q=IΔt=，仅由回路电阻和磁通量变化决定，与发生磁通量变化的时间无关。因此，当用一根磁棒先后两次从同一处用不同速度插至线圈中同一位置时，线圈里积聚的感应电量相等.但快插与慢插时产生的感应电动势、感应电流不同，外力做的功也不同。

3、感应电动势的三种特殊情况

①导体切割磁感线产生的感应电动势E=Blv，应用此公式时B、l、v三个量必须是两两相互垂直，若不垂直应转化成相互垂直的有效分量进行计算，生硬地套用公式会导致错误。有的注意到三者之间的关系，发现不垂直后，在不明白θ角含义的情况下用E=Blvsinθ求解，这也是不可取的。

处理这类问题，最好画图找B、l、v三个量的关系，如若不两两垂直则在图上画出它们两两垂直的有效分量，然后将有效分量代入公式E=Blv求解。此公式也可计算平均感应电动势，只要将v代入平均速度即可。

②导体棒以端点为轴在垂直于磁感线的匀强磁场中匀速转动，计算此时产生的感应电动势须注意棒上各点的线速度不同，应用平均速度（即中点位置的线速度）来计算，所以。

③矩形线圈在匀强磁场中，绕垂直于磁场的任意轴匀速转动产生的感应电动势何时用E=nBsωsinθ计算，何时用E=nBsωcosθ计算，最容易记混。其实这两个公式的区别是计时起点不同，记住两个特殊位置是关键。当线圈转至中性面（即线圈平面与磁场垂直的位置）时E=0，当线圈转至垂直中性面的位置（即线圈平面与磁场平行）时E=nBsω。

这样，线圈从中性面开始计时感应电动势按规律变化，线圈从垂直中性面的位置开始计时感应电动势按E=nBsωcosθ规律变化。并且用这两个公式可以求某时刻线圈的磁通量变化率△φ/△t，不少同学没有这种意识。推导这两个公式时，如果能根据三维空间的立体图准确画出二维空间的平面图，问题就会迎刃而解。

另外，求的是整个闭合回路的平均感应电动势，△t→0的极限值才等于瞬时感应电动势。当△φ均匀变化时，平均感应电动势等于瞬时感应电动势。但三种特殊情况中的公式通常用来求感应电动势的瞬时值。

例1、如图所示，四面体OABC处在沿Ox方向的匀强磁场中，下列关于磁场穿过各个面的磁通量的说法中正确的有（    ） 

A. 穿过AOB面的磁通量为零  

B. 穿过ABC面和BOC面的磁通量相等

C. 穿过AOC面的磁通量为零

D. 穿过ABC面的磁通量大于穿过BOC面的磁通量

解析：A、B、C选项正确。面AOB、AOC与匀强磁场平行，磁通量为零。面ABC在垂直匀强磁场方向的投影面与面BOC相同，所以穿过面ABC与面BOC的磁通量相等，其磁通量大小为。

例2、如图所示，在一固定圆柱形磁铁的N极附近置一平面线圈，磁铁轴线与线圈水平中心线轴重合，下列哪些情况下线圈有感应电流（    ）

A. 线圈刚沿轴向右平移

B. 线圈刚绕轴转动

C. 线圈刚沿垂直纸面方向向外平移

D. 线圈刚绕轴转动

答案：CD

例3、唱卡拉OK用的话筒，内有传感器，其中有一种是动圈式的，它的工作原理是在弹性膜片后面粘接一个轻小的金属线圈，线圈处于永磁体的磁场中，当声波使膜片前后振动时，就将声音信号转变为电信号。下列说法中正确的是（    ）  

A. 该传感器是根据电流的磁效应工作的

B. 该传感器是根据电磁感应原理工作的  

C. 膜片振动时，穿过金属线圈的磁通量不变

D. 膜片振动时，金属线圈中不会产生感应电动势

答案：B

例4、如图所示，导线全部为裸导线，半径为r，两端开有小口的圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一根长度大于2r的导线MN以速度ｖ在圆环上无磨擦地自左端匀速滑到右端，电路中固定电阻阻值为R，其余部分电阻均忽略不计。试求MN从圆环左端滑到右端的过程中，（1）电阻R上的最大电流；（2）电阻R上的平均电流；（3）通过电阻Ｒ的电量。

解析：（1）MN向右滑动时，切割磁感线的有效长度不断变化，当MN经过圆心时，有效切割长度最长，此时感应电动势和感应电流达到最大值。所以，＝。

（2）由于MN向右滑动中电动势和电流大小不断变化，且不是简单的线性变化，故难以通过Ｅ＝Blv求解平均值，可以通过磁通量的平均变化率计算平均电动势和平均电流。所以，，。

（3）流过电阻R的电量等于平均电流与时间的乘积。所以，。

例5、半径为10cm，电阻为的闭合金属圆环放在匀强磁场中，磁场方向垂直于圆环平面。当磁感应强度B从零开始随时间t成正比增大时，环中感应电流恒为0.lA，试求B与ｔ的关系式。

解析：线圈平面与磁场垂直，，B=kt，，

例6、如图所示，长宽的矩形线圈电阻为，处于磁感应强度为的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度匀速拉出磁场的过程中（    ）

（1）拉力F大小

（2）拉力的功率 P

（3）拉力做的功W 

（4）线圈中产生的电热Q

（5）通过线圈某一截面的电荷量q．

解析：（1）线框匀速运动右边切割磁感线速度恒定，感应电动势恒定，感应电流恒定。线框左边受到的安培力恒定拉力F恒定。

（2）

（3）

（4）

（5）

四、专题解析

1、电磁感应中动生电动势的问题

例、如图所示，金属三角形导轨COD上放有一根金属棒MN，MN⊥OD，拉动MN使它从O点以速度v在匀强磁场中向右匀速平动，若导轨和金属棒都是粗细相同的均匀导体，它们的电阻率相同，则在MN运动过程中闭合电路的（    ）

A．感应电动势逐渐增大

B．感应电流逐渐增大

C．感应电流将保持不变

D．感应电流逐渐减小

解析：本题是动生电动势与电路问题相结合的问题。设导轨的顶角为α，电阻率为.

A．感应电动势为：

BCD．感应电流为：，

整个电路的总电阻：

计算得出：。

式中各量恒定，则感应电流不变，故B错误，C正确，D错误。

故本题选AC。

拓展：如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计。在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好。整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动。

（1）当ab杆刚好具有初速度v0时，求此时ab杆两端的电压U；a、b两端哪端电势高；

（2）请在图中定性画出通过电阻R的电流i随时间t变化规律的图象；

（3）若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图所示。同样给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动。请分析说明ab杆的运动情况。

分析：（1）求解产生感应电动势大小，根据全电路欧姆定律求解电流强度和电压，根据右手定则判断电势高低；（2）分析杆的受力情况和运动情况，确定感应电流变化情况，由此画出图象；（3）杆在向右运动过程中速度逐渐减小、由此分析安培力的变化，确定运动情况；根据动量定理求解最后的速度大小。

解析：（1）ab杆切割磁感线产生感应电动势：E = Blv0

根据全电路欧姆定律：

ab杆两端电压即路端电压：

解得；a端电势高。

（2）杆在向右运动过程中速度逐渐减小、感应电动势逐渐减小，根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流逐渐减小，通过电阻R的电流i随时间变化规律的图象如图所示：

（3）当ab杆以初速度0开始切割磁感线时，产生感应电动势，电路开始给电容器充电，有电流通过ab杆，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小，杆做加速度减小的减速运动。当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动。

小结：此类电磁感应问题，以导体棒切割磁感线为切入点，综合考查了安培力、电阻定律及欧姆定律等知识点，要求学生首先理解题意，抽象出物理模型，选择适当的物理规律列出方程求解；此类问题综合性较强，能较好地考查考生综合分析问题与解决问题的能力。对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下物体的运动状态；另一条是能量，分析电磁感应现象中的能量如何转化是关键。

2、感生电动势模型

例、（2019全国1,20）（多选）空间存在一方向与直面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，其边界如图（a）中虚线MN所示，一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上。t=0时磁感应强度的方向如图（a）所示，磁感应强度B随时间t的变化关系如图（b）所示，则在t=0到t=t1的时间间隔内（  ）

A．圆环所受安培力的方向始终不变

B．圆环中的感应电流始终沿顺时针方向

答案：BC

解析：

A由增缩减扩可知，0到t0有扩张趋势，t0之后有收缩趋势，故安培力方向变了，A错；由增反减同可知，电流一直是沿顺时针方向，B对；由法拉第电磁感应定律得：

习题：

三、感生电动势与动生电动势同时存在的问题模型

习题：

四、感生电动势和动生电动势的平衡

如图所示，固定水平桌面上的金属框架cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动，此时adeb构成一个边长为L的正方形，棒的电阻为r，其余部分电阻不计，开始时磁感强度为B0。

（1）若从t＝0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k，同时保持棒静止，求棒中的感应电流及其方向。

（2）在上述（1）情况中，棒始终保持棒静止，当t＝t1秒末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？

（3）若从t＝0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右作匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B与t的关系式）？

解析：（1）由于回路adeb中磁通量增加，所以产生的感应电动势

产生的感应电流

电流方向为逆时针

（2）当t=t1时，

棒所受到的安培力

由平衡条件，所需加的垂直于棒的水平拉力

（3）由于回路中不产生感应电流，则回路中总磁通量保持不变，可得

所以t时刻的磁感应强度

评注：

本题第（1）小题涉及到的知识点是磁场均匀增加引起回路中磁通量增加从而产生感应电动势。先根据法拉第电磁感应定律计算感应电动势大小，再根据楞次定律判断感应电流方向。

第（2）小题计算作用于棒的外力大小，由于感应电动势大小不变，所以电流强度大小不变，但是磁场仍在增强，所以安培力在增大，因而外力也在增大，其大小与时间t有关。

第（3）小题所用到的思路很特别，为了使棒中不产生感应电流，就要求穿过闭合回路的磁通量一直不发生变化，从而得出B随时间t的关系表达式。

第（3）小题如果按照更严格的思路，分别计算感生电动势和动生电动势相互抵消，则超出了中学生的能力要求。教学中发现学生也想这么做，但不容易做对，因为这里要用到高等数学知识，在此按照这种思路计算如下：

由回路中感应电动势为零得

其中dx是棒在dt时间内在水平方向产生的位移，所以

然后分离变量，可得

再对两边积分，得

即

所以

可得磁感应强度随时间变化的关系

习题：

如图甲所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN，导轨的电阻均不计。导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=4Ω的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B0=1T。将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好。

现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度，已知在此过程中通过金属棒截面的电量q=0.2C，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行。（取g=10m/s^2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。求：

（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数μ

（2）cd离NQ的距离s

（3）金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量

（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）。

五、感应电动势中的非静电力问题

电路中电动势的大小反映了电源消耗其它形式能转化为电能本领的大小，其值等于电源内部非静电力把单位正电荷从电源的负极搬运到电源正极所做的功。因此在电源内部，非静电力做功的过程是能量相互转化的过程。

那么，在电磁感应现象中产生的感应电动势是哪一种作用扮演了非静电力的角色？今天我们从微观角度探讨一下感应电动势中的非静电力问题。 一段导线在做切割磁感线的运动时相当于一个电源，这时的非静电力与洛伦兹力有关。英国物理学家麦克斯韦认为，磁场变化时会在空间激发一种电场，叫做感生电场。

如果此刻空间存在闭合导体，导体中的自由电荷就会在感生电场的作用下做定向运动，产生感应电流，这种情况下的非静电力就是感生电场对自由电荷的作用。

水平桌面上固定着光滑的金属框，上、下两个边平行且间距为L，框内存在着与导轨平面垂直的磁场。

（1）若一个阻值为R的金属棒在水平力F作用下，以速度v向右做匀速运动，磁感应强度为B，求金属棒中电量为e的自由电子受到的非静电力F非1的大小。

（2）若一金属棒固定在导轨上，与左侧导轨构成边长为L的正方形，磁感应强度B=kt（k为常数且大于零），金属棒与金属框的材料和横截面积都相同，求金属棒中电量为e的自由电子受到的非静电力F非2的大小。

（3）若一金属棒在水平力F作用下，以速度v向右做匀速运动，进入金属框的同时磁感应强度从零开始均匀增加，B=kt(k为常数且大于零)，金属棒与金属框的材料和横截面积都相同，且二者接触良好，试求t秒末金属框中电量为e的自由电子受到的非静电力F非3的大小。

分析：电磁感应现象有两种情况，一种是导体切割磁感线的运动时产生感应电动势，称为动生电动势，此时的非静电力是导体棒中自由电荷受到的洛伦兹力沿棒方向的分力；另一种情况是磁场变化时，置于磁场里的导体中产生了感应电动势，称为感生电动势，这种情况下的非静电力就是感生电场对自由电荷的作用。

解析：