2023年中考数学专题17 多边形与平行四边形（原卷版）

专题17  多边形与平行四边形

一、多边形

1．多边形的相关概念

1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．

2．多边形的内角和、外角和

1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；2）外角和：任意多边形的外角和为360°.

3．正多边形

1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.

2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．

3）正n边形有n条对称轴.

4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．

二、平行四边形的性质

1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.

2．平行四边形的性质

1）边：两组对边分别平行且相等．2）角：对角相等，邻角互补．3）对角线：互相平分．

4）对称性：中心对称但不是轴对称．

3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：

1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．

2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．

3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．

4．平行四边形中的几个解题模型

1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．

2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；

两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；

根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．

3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.

4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．

三、平行四边形的判定

1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

四、三角形的中位线

1）定义：三角形两边中点的连线叫中位线。

2）性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

考向一 多边形的内（外）角和

1．正十二边形的外角和为（　　）

A．180° B．360° C．540° D．720°

2．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

3．如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（　　）

A．360° B．720° C．1080° D．1440°

4．一个正n边形的一个外角是45o，那么n＝　 　．

5．如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正　   　边形．

考向二 多边形的对角线问题

6．过多边形的一个顶点共有3条对角线，则这个多边形是（　　）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

7．若过六边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形共有　   　条对角线．

考向三 平行四边形的性质

9．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以为（　　）

A．1：2：3：4 B．3：2：3：2 C．2：2：1：1 D．1：3：3：1

10．在▱ABCD中，若∠B＝70°，则∠D＝（　　）

A．35° B．70° C．110° D．130°

11．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（　　）

A．16 B．18 C．20 D．24

12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC+BD＝　   　．

13．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在直线AC上，且AE＝CF，求证：DE∥BF．

考向四 平行四边形的判定

14．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，∠A＝∠C 

C．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠B，∠C＝∠D

15．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A．AB＝CD，AD＝BC B．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD 

C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC

16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　    　秒后其中一个新四边形为平行四边形．

17．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，若△ADE≌△CBF．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

考向五 三角形的中位线

18．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（　　）cm2．

A．2 B．4 C．6 D．8

19．如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝32m，则A，B两点间的距离是　   　m．

20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分别是AC、AB的中点，则DE的长是（　　）

A．6.5 B．6 C．5.5 D．

考向六 梯形

21．如图，在梯形ABCD中，∠B＝115°，则∠C的大小是（　　）

A．50° B．65° C．75° D．85°

22．如图所示，AB⊥AD于点A，CD⊥AD于点D，∠C＝120°．若线段BC与CD的和为12，则四边形ABCD的面积可能是（　　）

A．24 B．30 C．45 D．

23．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC＝CD，∠A＝60°，CD＝2，则下底AB的长等于　 　．

一．选择题

1．已知一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形的边数是（　　）

A．12 B．11 C．10 D．9

2．若平行四边形两个内角的度数比为1：2，则其中较大内角的度数为（　　）

A．100° B．110° C．120° D．135°

3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC 

C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC

4．如果n边形的内角和是它外角和的4倍，则n等于（　　）

A．7 B．8 C．10 D．9

5．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（　　）

A．16 B．18 C．20 D．24

6．已知点A（2，0），B（﹣1，0），C（0，1），以点A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm

8．如图，已知梯形ABCD中BC∥AD，AB＝BC＝CD＝AD，点A与原点重合，点D（4，0）在x轴上，则点C的坐标是（　　）

A．（3，2） B．（3，） C．（，2） D．（2，3）

二．填空题

9．八边形中过其中一个顶点有　 　条对角线．

10．若正多边形的一个内角等于120°，则这个正多边形的边数是　 　．

11．已知一个正多边形的每个内角都是150°，则这个正多边形是正　   　边形．

12．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，则∠ADC的度数为　     　．

13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为　   　．

14．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　    　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．

三．解答题

15．若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？

16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．

17．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AF∥CE．

18．在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，且AD⊥BD，BD＝6，sinA＝，求梯形ABCD的面积．