江苏省连云港市海州高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题及答案

江苏省连云港市海州高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知点，则直线AB的斜率为（    ）

A． B． C． D．

2．已知点，则线段AB的中点坐标为（    ）

A． B． C． D．

3．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2022这2022个数中，能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（    ）

A．145项 B．146项 C．144项 D．147项

5．若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（    ）

A．2 B． C．4 D．

6．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

7．记为等比数列的前n项和．若，则的值为（    ）

A．24 B．48 C．39 D．36

8．已知椭圆，为的左、右焦点，为上一点，且的内心为，若的面积为，则的值为（    ）

A． B．3 C． D．6

二、多选题

9．已知等比数列 ，=1， ，则（     ）.

A．数列 是等比数列

B．数列 是递增数列

C．数列 是等差数列

D．数列 是递增数列

10．下列说法错误的是（    ）

A．直线在y轴上的截距为3

B．经过定点的直线都可以用方程表示

C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1

D．点关于直线的对称点是

11．以下四个关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（    ）

A．双曲线与椭圆有相同的焦点

B．在平面内，设、为两个定点，为动点，且，其中常数为正实数，则动点的轨迹为椭圆

C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

D．过双曲线的右焦点F作直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有且仅有3条

12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点P的轨迹为圆，下列结论正确的是（    ）

A．圆C的方程是

B．过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为

C．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线距离为1，该直线斜率为

D．在直线上存在两点D，E，使得

三、填空题

13．经过点，斜率为3的直线方程为___________．

14．圆与圆的位置关系是___________．

15．在数列{an}中， ，若 的前n项和为，则项数n＝________.

16．已知数列的通项公式，记数列落在区间内项的个数为，则___________．

四、解答题

17．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上．

(1)求该抛物线的方程；

(2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离．

18．已知在等差数列中，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前n项和，则当n为何值时取得最大，并求出此最大值．

19．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为.

(1)求直线的方程；

(2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．

20．已知圆，点在圆C上．

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l与圆C相切，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．

21．已知数列中，，且对任意，都有．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

22．已知焦点在x轴上，短轴长为的椭圆C，经过点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点M、N在椭圆C上，且以MN为直径的圆经过点A，求点A到直线MN距离的最大值．

参考答案：

1．B

【分析】过两点的直线斜率公式为，代入数据可得答案.

【详解】点，根据斜率公式，

代入数据得：

故选：B

2．A

【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案.

【详解】由题意得：线段AB的中点坐标为，即.

故选：A.

3．B

【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.

【详解】由双曲线方程知：，，而渐近线方程为，

所以双曲线渐近线为.

故选：B

4．A

【分析】由已知可得能被除余且被除余的数即为能被除余，进而得通项及项数.

【详解】由已知可得既能被整除，也能被7整除，故能被整除，

所以，，

即，

故，即，解得，故共项，

故选：A.

5．B

【分析】根据等差数列的基本量运算可得，然后利用等比数列的概念结合条件即得.

【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

则，

所以，

∴，，

所以.

故选：B.

6．A

【分析】先由直线的方程求得直线恒过的定点，再由圆的圆心和半径得出圆的方程得选项.

【详解】解：因为直线方程为，即，所以直线过定点，

所以圆方程为，即，

故选：A.

7．C

【分析】根据等比数列的性质可知，，是等成比数列，由此列式计算即可.

【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，等成比数列，

∴，，∴，∴．

故选：C

8．D

【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式即可求的值.

【详解】由题意得，的内心到轴的距离

等于内切圆的半径，即为的纵坐标，即为，

因为为上的一点，

所以,

即，

又因为，所以，

，

整理得，解得（舍）或，

所以，

所以，

所以，即，解得.

故选：D.

9．ACD

【分析】求出数列与的通项公式，再判断是否是等比或等差数列；等差数列的单调性决定于公差的正负，等比数列的单调性决定于首项的正负和公比与1的大小.

【详解】由=1，得，，所以数列 是等比数列且为递减数列，故A正确B不正确；

，数列 是递增的等差数列，故C，D正确.

故选：ACD.

10．ABC

【分析】对A，截距是直线与轴的交点纵坐标；对B，当直线与轴垂直时，不能用斜截式表示；对C，先根据平行求出参数，再用平行线间的距离公式求出距离可判断；对D，两点关于一条直线对称，说明这条直线是这两点连线的中垂线.

【详解】A：直线在y轴上的截距：令，A错误；

B：与轴垂直的直线没有斜率，表示不了B错误；

C：直线与直线平行，则，则可化为，，C错误；

D：过点的直线斜率为，又得斜率为，斜率之积为，故两直线垂直；又点的中点为，中点在上，故是点的对称轴，D对.

故选：ABC

11．AD

【分析】求出双曲线与椭圆的焦点坐标，即可判断A，由椭圆的定义可分析B选项，根据椭圆和离心率的取值范围可分析C选项，考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，从而可分析D选项.

【详解】解：对于A：双曲线与椭圆的焦点均为，故A正确；

对于B：根据椭圆的定义，在平面内，设、为两个定点，为动点，

当时，动点的轨迹为椭圆，

当时，动点的轨迹为线段，

当时，动点的轨迹不存在，故B错误；

对于C：方程的两根为，，不能为椭圆和双曲线的离心率，故C错误；

对于D：双曲线的右焦点为，，，

当直线的斜率不存在时，代入双曲线中，可得，所以；

当直线的斜率存在时，设其直线方程为，联立，

可得，显然，

所以，

所以，，

所以，

解得，故D正确.

故选：AD.

12．ABD

【分析】利用求轨迹方程的方法确定圆的方程可判断选项A，，再根据边与角的关系求出即可确定两条切线的夹角判断选项B，根据圆心到直线的距离可求出斜率判断选项C，利用轨迹方程的办法判断选项D.

【详解】设，由得，

整理得，故A正确；

过点A向圆引切线，设其中一个切点为，

圆的半径为，且,

所以，所以，

所以两条切线的夹角为，故B正确；

设点A作直线，

因为圆上恰有三个点到直线距离为1，圆的半径为，

所以圆心到直线的距离等于1，

即，解得，故C错误；

假设存在，使得，

所以，

化简得，

因为的轨迹为，

所以，解得或，

故直线上存在两点或,

使得成立，故D正确；

故选：ABD.

13．

【分析】知道直线过的点和直线的斜率，直接代入点斜式方程可得答案.

【详解】经过点，斜率为3的直线方程为

化简得：

故答案为：

14．相交

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据可确定两圆关系.

【详解】圆可化为，圆心为，半径；

圆，圆心为，半径；

圆心距，，，

易得，两圆相交.

故答案为：相交.

15．2022

【分析】利用裂项求和法求得 的前n项和的表达式，由题意列出方程，求得答案.

【详解】由题意得，

＝＝，

∴n＝2022,

故答案为：2022

16．

【分析】由题意可得求落在区间内项的个数，再根据通项公式列不等式求解即可.

【详解】由题意，即求满足的正整数的个数，即，，故，共个.

故答案为：

17．(1)

(2)6

【分析】（1）求出焦点坐标，设出抛物线方程，从而得到，求出及抛物线方程；

（2）由焦半径公式进行求解.

【详解】（1）中，令得：，

则焦点坐标为，故设抛物线方程为，

故，解得：，

故抛物线方程为；

（2）设点A到该抛物线焦点的距离为，

由抛物线的定义可知：.

18．(1)

(2)当时，取得最大值，最大值为25.

【分析】（1）设出公差，利用等差数列的性质计算出公差，从而求出通项公式；

（2）令，解不等式，求出当时，取得最大值，并用等差数列求和公式求出最大值.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

则，解得：，

则的通项公式为；

（2）因为，

令得：，令得：，

故当时，取得最大值，

其中，故最大值为.

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据边上高所在直线与的位置关系可确定直线的斜率，又已知点，所以可得直线的方程；

（2）由（1）中的方程及边上的中线所在的直线过点，可求点的坐标，又设点，根据的中点在直线上及点在上列方程组可求解的值，得点的坐标，从而可求直线的方程.

【详解】（1）解：由边上的高在上可知，垂直于直线

所以

又，所以直线的方程为：，

即的方程为．

（2）解：因为是边上的中线所在的直线，又的方程为

则联立，解得，故点坐标为．

设点，则的中点在直线上，

所以，即①，

又点在上，则有②，

联立①②解得，．

即，所以，所以直线的方程为：

即直线的方程为：．

20．(1)

(2)或

【分析】（1）将代入圆的方程求解即可；

（2）分直线l过原点与不过原点两种情况设直线的方程，再结合直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列式求解即可.

【详解】（1）因为在圆C上，故，解得，故圆C的方程为.

（2）当直线l在x轴、y轴上的截距均为0时，此时圆C圆心在y轴上，故直线存在斜率.

设直线l的方程为，则到的距离，即，解得，此时直线的方程为.

当直线l在x轴、y轴上的截距不为0时，设直线l的方程为，即，则，即，故，此时直线的方程为.

综上，直线l的方程为或

21．(1)

(2)

【分析】(1)构造等比数列求通项；(2)利用错位相减法求和.

【详解】（1）由得，，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以，所以.

（2）由（1）得，

因为，

所以，

，

以上两式相减得，

所以.

22．(1)

(2)

【分析】（1）利用待定系数法可求椭圆的标准方程.

（2）可证直线过定点，从而可求点A到直线MN距离的最大值．

【详解】（1）设椭圆标准方程为，则且，

故，故椭圆标准方程为：.

（2）若直线的斜率与直线的斜率均存在且非零，

故可设，.

由可得，

故，故，

故.

同理，，.

 故

，

故直线的方程为：，

整理得到：，

整理得到：

，

，

故直线过定点.

若直线的斜率与直线的斜率一个不存在，另一个则为零，

此时或，

此时的方程为：，也过，

综上，直线过定点.

所以为的距离的最大值为，

当且仅当即时取最大值.