上海市文来高中2022-2023学年高一上学期期中数学试题及答案

上海市文来高中2022-2023学年高一上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．空间中两条直线的位置关系有___________.

2．已知空间向量，，且与垂直，则等于 ___．

3．已知球的半径是，则球体积为____________.

4．边长为2的正三角形直观图的面积为__________.

5．直线m和平面所成角为，则直线m和平面内任意直线所成角的取值范围是_____

6．一个圆柱的底面半径为，高为，则它的侧面积为___________.

7．空间四边形两对角线的长分别为6和8﹐所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是_______________.

8．设平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，若直线l与平面所成的角为，则正数______.

9．若圆台的上，下底面半径分别为2，4，高为2，则该圆台的侧面积为______．

10．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是___________.

（1）直线与直线相交；

（2）直线与直线平行；

（3）直线与直线是异面直线；

（4）直线与直线成角.

11．如图，在正四棱柱中，，，点为上的动点，则的最小值为____________.

12．直三棱柱的侧棱长为2，侧棱到平面的距离不小于1，从此三棱柱中去掉以此侧棱为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，则所剩几何体的体积最小值为___________.

二、单选题

13．“直线与直线没有交点”是“直线与直线为异面直线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）.

A．直线AA1 B．直线A1B1

C．直线A1D1 D．直线B1C1

15．已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是

A．若垂直于同一平面，则与平行

B．若平行于同一平面，则与平行

C．若不平行， 则与不可能垂直于同一平面

D．若不平行，则在内不存在与平行的直线

16．如图，平面平面，，，．平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点.

(1)证明：直线平面；

(2)求异面直线与所成角的大小.

18．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1＝1，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，AM＝CM．

(1)求证：平面平面；

(2)求直线A1B和平面所成角的正弦值．

19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少？

（2）现需要倒出不少于的溶液，当时，能实现要求吗？请说明理由．

20．如图，在中，，斜边是的中点.现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥体，点为圆锥体底面圆周上的一点，且.

(1)求该圆锥体的表面积；

(2)求异面直线与所成角的余弦值；

(3)若某动点在圆锥体侧面上运动，试求该动点从点出发运动到点所经过的最短距离.

21．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．

（1）求二面角的大小；

（2）求三棱锥的体积；

（3）点在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．平行、相交、异面

【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.

【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.

故答案为：平行、相交、异面.

2．

【分析】根据向量垂直数量积等于列方程即可求解.

【详解】因为向量，，且与垂直，

所以，可得，

故答案为：.

3．

【分析】根据球的体积公式直接计算得结果.

【详解】由于球的半径为，故体积为.

【点睛】本小题主要考查球的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题.

4．

【分析】作出直观图，结合三角形的面积公式运算求解.

【详解】如图，在直角坐标中，为等边三角形，取，

按照斜二测画法可得：在坐标中，则，

故直观图的面积.

故答案为：.

5．

【分析】根据直线与平面所成角的定义得到所成角的最小值为，由三垂线定理可得当该平面内的直线与已知直线在平面内的射影垂直时，所成角为，达到最大值．由此即可得到本题答案．

【详解】

直线为，平面为，为内的任意一条直线．

根据直线与平面所成角的定义，

可得与平面所成的角是与平面内所有直线所成角中最小的角，

直线与平面内的直线所成角的最小值为，

当平面内的直线与直线在平面内的射影垂直时，，与也垂直，

此时，所成的角，达到所成角中的最大值．

因此，此直线与该平面内任意一条直线所成角的取值范围是.

故答案为： .

6．

【分析】由圆柱的侧面积公式计算可得答案.

【详解】解：圆柱的底面半径为，高为，则它的侧面积为，

故答案为：.

7．

【分析】空间四边形中，分别取、、、的中点、、、，连接、、、，则连接各边中点所得四边形的面积是，由此能求出结果．

【详解】如图，空间四边形中，

两对角线的长、的长分别为6和8，所成的角为，

分别取、、、的中点、、、，连接、、、，

则，且，

，且，

或，

连接各边中点所得四边形的面积是：

．

故答案为：．

8．

【分析】根据线面角的向量计算公式得到方程，解得即可；

【详解】解：依题意可得，

即，解得或（舍去）；

故答案为：

9．

【分析】作出圆台的轴截面，利用勾股定理求出圆台的母线，再根据圆台侧面积公式计算可得；

【详解】解：依题意，，，所以，所以圆台的母线，故圆台的侧面积

故答案为：

10．（3）（4）##(4)(3)

【分析】还原正方体，结合图形即可判断（1）（2）（3），再连接，，则为异面直线与直线所成的角，根据三角形的性质即可求出异面直线所成角；

【详解】解：由正方体的平面展开图可得正方体，

可得与为异面直线，故（1）错误；

与为异面直线，故（2）错误；

直线与直线是异面直线，故（3）正确；

连接，，由正方体的性质可得，所以为异面直线与直线所成的角，因为为等边三角形，所以，即直线与直线所成角为，故（4）正确；

故答案为：（3）（4）．

11．

【解析】将平面与平面延展至同一平面，由、、三点共线可求得的最小值.

【详解】如下图所示，将平面与平面延展至同一平面，

，延展后，

，由勾股定理可得.

由图形可知，当、、三点共线时，取得最小值.

故答案为：.

【点睛】本题考查立体几何中折线长度的最值问题的求解，一般要求将两个平面延展至同一平面，利用三点共线来处理，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.

12．

【分析】由余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等列式求解，再由棱柱体积减去去掉的几何体的体积求解.

【详解】在直三棱柱中，平面，，

设，，，由于三棱柱中去掉以为直径的球所占的部分，

余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等.

∴，得，

∴所剩几何体的体积，

又侧棱到对面的距离不小于1，则，可得当且仅当时等号成立，故所剩几何体的体积的最小值为.

故答案为：.

13．B

【分析】根据空间两直线的位置关系判断即可得出结论.

【详解】两条直线没有交点 ，说明这两条直线的位置关系为平行或异面

而两条直线为异面直线时，它们必没有交点，

所以选项B正确，选项ACD错误.

故选：B.

14．D

【详解】试题分析：

只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与都是异面直线，故选D．

【考点】异面直线

【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等.

15．C

【分析】根据线面的位置关系，逐项分析进行判断即可.

【详解】A中,垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；

B中,平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；

 C中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故C正确；

D中，若两个平面相交，根据线面平行的性质定理，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故D错误.

故选：C.

16．A

【分析】如图建立空间直角坐标系，令，即可得到、的坐标，设，根据，则，即可得到，再求出平面的法向量，依题意根据正弦函数、正切函数的单调可知，要求的最大值，即可求的最大值，利用空间向量法表示出线面角的正弦值，再根据函数的性质求出的最大值，从而根据同角三角函数的基本关系求出；

【详解】解：如图以平面为平面，平面为平面，建立如图所示空间直角坐标系，令，则，，显然平面的法向量可以为，设，则，，，因为，所以，即，因为直线与平面所成角为，因为，显然，即，因为与在均单调递增，要求的最大值，即可求的最大值，

所以

，所以当时，又，所以

故选：A

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理证明，即可得结果.

【详解】（1）取的中点，连接，

∵分别为的中点，

∴，，

又∵分别为的中点，且为正方形，

∴，，

故，，则为平行四边形，

∴，

平面，平面，

∴平面.

（2）∵平面，平面，

∴，

又∵为正方形，

∴，

，平面，

∴平面，

平面，则，

故异面直线与所成角的大小为.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合面面垂直的判定定理证得平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出直线和平面所成角的正弦值.

【详解】（1）由于，所以，

根据直三棱柱的性质可知，

由于，所以平面，

由于平面，所以平面平面.

（2）设是的中点，连接，则，两两相互垂直.

以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

，，

设平面的法向量为，

则，故可设，

设直线和平面所成角为，

则.

19．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°（2）不能实现要求，详见解析

【分析】（1）当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．

（2）当时，设剩余的液面为，比较与60°的大小后发现在上，计算此时倒出的液体体积，比小，从而得出结论．

【详解】（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．

解法一：此时，梯形的面积等于，

因为，所以，，

即，解得，．

所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°．

　　　　　　③

解法二：此时，的面积等于图①中没有液体部分的面积，即，

因为，所以

，即，

解得，．

所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°．

（2）如图④，当时，设上液面为，因为，所以点F在线段上，

　　　　　　　④

此时，，,

剩余溶液的体积为，

由题意，原来溶液的体积为，

因为，所以倒出的溶液不满．

所以，要倒出不少于的溶液，当时，不能实现要求．

【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题关键是确定倾斜后容器内的溶液的液面位置，然后才能计算解决问题．

20．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据已知条件求出圆锥的底面半径和母线长，然后根据圆锥的侧面积公式求出侧面，再求出底面积，相加即可得解；

（2）取的中点，连，可得是异面直线与所成角或其补角，在直角三角形中，可求出结果.

（3）作出圆锥的侧面展开图，利用余弦定理可求出结果.

【详解】（1）在中，，，所以，，

所以圆锥的侧面积为，底面积为，

所以该圆锥体的表面积为；

（2）取的中点，连，则，

所以是异面直线与所成角或其补角，

因为平面，所以平面，所以，

因为，所以，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

所以.

所以异面直线与所成角的余弦值为.

（3）由已知条件可知，圆锥的底面周长为，母线长，

故该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角的大小为，即侧面展开图恰好为一个半圆，

又，故展开图中，此时的长即为所求，

由余弦定理得，

所以.

故从点出发运动到点所经过的最短距离为.

21．（1）；（2）；（3）存在，或．

【分析】（1）根据二面角的定义，过点分别作，，则为二面角的平面角，即可求解；（2）利用等体积转化，再求解点到平面的距离，即可求解体积；（3）方法一，分两种情况，当点在线段上时，当点在延长线上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值；方法二，利用线线平行，线面平行关系，构造面面平行，利用面面平行的性质定理，求解的值.

【详解】（1）过点分别作，，分别交，于，，连接，

则为二面角的平面角，

因为四边形为正方形，，

所以，，

由已知得，

所以．

（2）过点作，垂足为．

因为，平面，平面，

所以平面．

因为，，

所以．

因为，

所以平面．

因为平面，

所以．

因为，，平面，

所以平面，

所以为三棱锥的高，．

因为，

所以．

（3）方法一：

假设存在点．

①当点在线段上时，连接交于，

则，

所以．

因为平面，平面，

平面平面，

所以，

所以．

②当点在延长线上时，连接交于，

则，

所以．

因为平面，平面，

平面平面，

所以，

所以．

综上，在直线上存在点，使平面，的值为或．

方法二：

当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点，

因为，

所以平面平面．

因为平面，

所以平面．

因为平面，平面平面，

所以．

因为，，

所以，

所以，

所以，

所以．

当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交于点．

因为，

所以平面平面．

因为平面，

所以平面．

因为平面，平面平面，

所以．

因为，，

所以，

所以，

所以．

所以．

综上，在上存在点使得平面，此时或．