2022-2023学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图如图由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列关系式中，是的反比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是(    )

A. 水满则溢 B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月

4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 四张扑克牌分别是红桃，黑桃，方块，梅花，将它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的扑克牌的图案为红桃的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 若点，，在双曲线上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接若，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的纵坐标为，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为______．
12. 反比例函数的图象经过点，则______．
13. 如图是康康的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______．

14. 如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则且的度数为______．

15. 已知反比例函数为常数，，从，，，这四个数中任取一个数作为的值，得到的反比例函数中，其图象位于第二、四象限内的概率为______．
16. 一个底面直径是，母线长为的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为______．
17. 如图，，，，四给点的坐标分别为，，，若线段绕某点旋转一个角度后可以得到线段，则这个旋转中心的坐标是______．

18. 如图，矩形对角线交于点，，，点为内的一个动点，且，于点，于点，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，请解答下列问题：
    画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标______；
    求点旋转过程中所经过的路径长．

20. 本小题分
    为庆祝党的二十大的胜利召开，某校准备从甲、乙名女生和丙、丁名男生中任选人代表学校参加某市组织的中学生“党史知识竞赛”．
    如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取人，则女生乙被选中的概率是______；
    用列表法或画树状图法，求所选代表恰好为名女生和名男生的概率．
21. 本小题分
    如图所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味图是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．
     
22. 本小题分
    如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为．
    求这两个函数的表达式．
    根据图象，直接写出满足的的取值范围．
    若点在轴上，使得，请直接写出点的坐标．

23. 本小题分
    某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量与上市的天数之间成反比例函数如图所示，现已知上市天时，当日销售量为件．
    写出该商品上市以后日销售量件与上市的天数天之间的表达式；
    广告合同约定，当日销售量不低于件，并且持续天数不少于天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？

24. 本小题分
    如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点点不与点、重合，的延长线交于点，，且交于点，连接．
    求证≌；
    连接，，求证：；
    若，，求的长．

25. 本小题分
    将正方形的边绕点顺时针旋转至，连接，．
    如图，当时，直接写出的大小；
    如图，过点作交延长线于点，连接．
    求的大小；
    探究，之间的数量关系，并证明你的结论；
     
26. 本小题分
    在平面直角坐标系中，点，，，由勾股定理可得，若，则称点是点的“倍圆点”，
    例如，，满足，则称点是点的“倍圆点”．
    已知点，则，，，四点中，______是点的“倍圆点”，由此结论：点的所有“倍圆点”组成个的图形是______．
    若点是点的“倍圆点”，且点不在反比例函数的图象上，求的取值范围．
    若点为上的一动点，其中，，，点是
    点的“倍圆点”，且的最小值为，直接写出的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形；
B.是中心对称图形；
C.不是中心对称图形；
D.不是中心对称图形；
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，是正比例函数，故A不符合题意；
B.是二次函数，故B不符合题意；
C.，是的反比例函数，故C符合题意；
D.，不是的反比例函数，故D不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的定义判断即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、水满则溢是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形为的内接四边形，
，
，
．
故选：．
直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从张纸牌中任意抽取一张牌有种等可能结果，其中抽到红桃的只有种结果，
抽到红桃的概率为，
故选：．
利用概率公式计算即可得．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

6.【答案】 

【解析】解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
．
故选：．
由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．
本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点，，在双曲线上，
，分布在第二象限，在第四象限，每个象限内，随的增大而增大，
．
故选：．
先确定函数图象经过的象限，然后利用反比例函数的增减性解决问题．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．
 

8.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，
，
四边形是正方形，
，，
，
连接，如图：
由勾股定理得：，
由旋转的性质得：，
将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，
相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到，
，，，，，，，
发现是次一循环，则，
点的坐标为，
故选：．
根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是次一循环，进而得出答案．
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：由翻折的性质可知，，，
在中，，
，
，
，


，
故选：．
根据翻折的性质，可得到，进而求出，，再根据进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，翻折的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接交于，延长交轴于，连接、，如图：

四边形是正方形，
，
设，，
轴，
，，，
，都在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
在反比例函数的图象上，在的图象上，
，，
；
故选：．
连接交于，延长交轴于，连接、，设，，根据轴，可得，，，即知，从而，，由在反比例函数的图象上，在的图象上，得，，即得．
本题考查反比例函数及应用，涉及正方形性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
故点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．
本题考查了关于原点对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
；
故答案为．
把点代入即可得出的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
点落入黑色部分的概率为，
边长为的正方形的面积为，
由此可估计阴影部分的总面积约为：，
故答案为：．
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可得点落入黑色部分的概率为，根据边长为的正方形的面积为，进而可以估计黑色部分的总面积．
本题考查了用频率估计概率，解题关键是明确频率估计概率的方法及应用．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
是的一个外角，
，
故答案为：．
根据等弧所对的圆周角相等可得，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意共有种，
要使图象在二、四象限，则，满足条件的有种，
因此概率为：．
故答案为：．
要使图象在第二、四象限，则，找出满足条件的个数，即可得出概率．
本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面直径是，
圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，
母线长，
圆锥的侧面展开扇形的面积为：，
，
解得：．
故答案为：．
根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可．
本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系．
 

17.【答案】或 

【解析】解：通过作图可知，旋转中心为或，如图所示：

故答案为：或．
根据旋转中心的定义，通过作图即可确定．
本题考查坐标与图形变化旋转，理解旋转中心的定义是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，

在的左边作等边三角形，作的外接圆，延长，交直线与，
则点在上运动，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
当与相切时图，最小，即：最小，
连接，，
可得四边形是正方形，
的直径为：，
，
，
，
最小值为：，
故答案为：．
在的左边作等边三角形，作的外接圆，延长，交直线与，则点在上运动，当与相切时图，最小，即：最小，连接，，求出圆的直径，进而求得，进一步可求得结果．
本题考查了矩形的性质，确定圆的条件，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求，点，

故答案为：；
由勾股定理得，，
点旋转过程中所经过的路径长为．
根据旋转的性质即可画出，从而得出点的坐标；
利用勾股定理求出的长，再代入弧长公式计算即可．
本题主要考查了作图旋转变换，勾股定理，弧长公式等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：从剩余的女生乙，男生丙，男生丁名候选人中，任意选择人，则女生乙被选中的概率为，
故答案为：；
用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中恰好为名女生和名男生的有种，
所以恰好为名女生和名男生的概率为．
已经确定女生甲参加，其余的候选人还有人，即女生乙，男生丙，男生丁，每人被选中的可能性是均等的，因此可求出女生乙被选中的概率；
用列表法表示所有可能出现的结果，再根据规律的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
 

21.【答案】解：连接，
过圆心，为的中点，
，
，为的中点，
，
设圆的半径为分米，则分米，
，
，
在中，，
，
分米，
答：拱门所在圆的半径是分米． 

【解析】连接，根据垂径定理求得，设圆的半径为分米，则，，根据勾股定理即可求得．
本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：把点代入反比例函数得，，
，
反比例函数的解析式为，
将点代入得，，
，
将、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
由图象可知：的的取值范围是或．
在中，令，则，
直线与轴的交点为，
设，
，
，
，
，
或，
或． 

【解析】把点坐标代入反比例函数解析式可求得的值，把点代入求得的反比例函数的解析式求得，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
直接由、的坐标根据图象可求得答案；
求得直线与轴的交点，然后根据列出关于的方程，解方程即可求得的坐标．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

23.【答案】解：当时，设，把代入得，
；
当时，设，把代入得，
；
当时，又得，，即，有天；
当时，由，
解得：，即，有天，
共有天，
因此设计师可以拿到“特殊贡献奖”． 

【解析】将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可；
分别求得销量不低于件的天数，相加后大于等于天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大．
 

24.【答案】证明：连接如图，

在中，，，
．
是的直径，
，即，
，，
，，
，
又，
，
在和中，
，
≌；

证明：如图，由知≌，
，
．
是等腰直角三角形，
，
．
，
，
；

解：，，
．
等腰直角三角形，，
，
在中，，
，
． 

【解析】证明，进而求解；
证明是等腰直角三角形，得到，则，即可求解；
由等腰直角三角形，得到，而在中，，进而求解．
此题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理等，熟练掌握各自的性质是解本题的关键
 

25.【答案】解：如图中，

四边形是正方形，
，，
由旋转的性质可知，，
，
，
，，
，
，
，
；

解：绕顶点顺时针旋转至，
，，
，
为正方形，
，，
，
，
；

结论：．
理由：过作交于点．

为正方形，
，，
，
，
，即，
又，
，
，
≌，
，，
由知，，
为等腰直角三角形，
，
 即，
又，，
． 

【解析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，可得结论；
作，用表示出，，可得结论；
结论：过作交于点证明≌，推出，，再证明，都是等腰直角三角形，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

26.【答案】点，，  圆 

【解析】解：根据题意可知，，
，，，，
点，，是点的“倍圆点”，由此结论：
，
点的所有“倍圆点”组成个的图形是圆．
故答案为：，，，圆；
根据题意可知，以点为圆心，为半径的圆与反比例函数的图象没有交点，临界点为两个图形刚好相切，
如图，当反比例函数在第一、三象限时，
设反比例函数与圆的交点为点，且由圆和反比例函数的对称性可知，点在直线的图象上，

过点作轴于点，
则，且，
，
点的坐标为，
，
．
当反比例函数过第二、四象限时，设当反比例函数在第一、三象限时，
同理可得，点的坐标为，
，
．
结合图象可知，的取值范围为：或．
，，，
，，，
是等边三角形，
，
如图，设，与轴分别相交于点，，则是等边三角形，
过点作轴于点，则．
根据题意需要分以下三种情况：
当圆在内部，如图所示，

过点作于点，
若，则，即点与点重合，
此时；
当圆在左侧，如图所示，

过点作于点，
，
，
，即；
当圆在右侧，如图所示，

过点作于点，
，
，
，即；
综上，满足题意的的值为或或．
根据题意，可先算出给出的四点到点的距离，再进一步判断即可；
根据反比例函数的对称性可知，以点为圆心，为半径的圆与反比例函数的图象没有交点，临界点为两个图形刚好相切，结合图形可知，点的坐标为，点的坐标为，由此可得出的值，进而可得出的取值范围；
根据题意可知，是等边三角形，根据题意画出图形，再进行解答即可．
本题属于新定义问题，涉及考查反比例函数的性质，圆的性质，等边三角形的性质与判定，含角的直角三角形的三边关系，数形结合思想等相关知识，关键是理解给出新定义．