2022-2023学年江苏省无锡市新吴区新城实验中学九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市新吴区新城实验中学九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共27页。试卷主要包含了选择题，三月份共生产280台．设二，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市新吴区新城实验中学九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   下列方程为一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D.    若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是(    )A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 不能确定   下列图形，一定相似的是(    )A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个菱形   下列说法：优弧比劣弧长；三点可以确定一个圆；长度相等的弧是等弧；经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个   若关于的方程没有实数根，则的值可以为(    )A.  B.  C.  D.    如图，内接于，，，则的半径为(    )A.
B.
C.
D.    某厂一月份生产某机器台，计划二、三月份共生产台．设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意列出的方程是(    )A.
B.
C.
D.    图的直径点在的延长线，与相于点，连若为(    )A.
B.
C.
D.    如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为与轴相切于点，若将沿轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线、相交于点，连接则下列结论中：∽；；；面积的最大值为其中正确的有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）若，则______．在比例尺为：的地图上，相距的两地、的实际距离为______设、是方程的两个实数根，则______．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是______．如图，在中，，，如果，那么______．
 如图，在的内接四边形中，，若点在上，若，则______．
 如图，扇形中，，点为的中点，以为边向左侧作面积为的正方形，顶点恰好落在上，则扇形的面积为______．
如图，是矩形的对角线，是的内切圆，现将矩形按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为，点、分别在、上，连结、，若，且的半径长为，则的值______，的值______．
   三、解答题（本大题共9小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解方程．
；
配方法；
；
．本小题分
已知：▱的两边、的长是关于的方程的两个实数根．
当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
若的长为，那么▱的周长是多少？本小题分
如图，在中，直径与弦相交于点，，．
求的大小；
已知圆心到的距离为，求的长．
本小题分
如图，在▱中，是延长线上一点，连接交，于，．
求证：∽；
若，求的值．
本小题分
如图，在中，已知，在上取一点，以为直径的恰与相切于点，若，．
求的半径；
求出由线段、与劣弧围成的图形面积．
本小题分
在中，，点、分别是边、上的两个点，点关于直线的对称点恰好落在边上且满足．
请你利用无刻度的直尺和圆规画出对称轴；保留作图痕迹，不写作法
若，，则线段______．
本小题分
无锡阳山水蜜桃是中国国家地理标志产品，软香可口、汁多味甜，有“水做的骨肉”美誉．某水果批发商销售阳山水蜜桃，每箱成本是元，经过调查发现：销售单价是元时，平均每天的销量是箱，当销售单价每提高元，平均每天就少售出箱，但销售单价不得超过元．
若销售单价为元，求每天的销售利润；
要使每天销售阳山水蜜桃盈利元，水蜜桃属于易坏食品，批发商想要尽快销售水蜜桃，那么每箱水蜜桃的售价应为多少元？本小题分
如图，已知为半圆的直径，为半圆上的一个动点不含端点，以、为一组邻边作▱，连接、，设、的中点分别为、，连接、．
试判断四边形的形状，并说明理由．
若点从点出发，以每秒的速度，绕点在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为．
试求：当为何值时，四边形的面积取得最大值？并判断此时直线与半圆的位置关系需说明理由；
是否存在这样的，使得点落在半圆内？若存在，请直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由．
本小题分
如图，矩形，，，点为上一点，且，点从点出发，向终点运动，速度为，以为斜边在上方作等腰直角，以，为邻边作▱，连接设点的运动时间为秒．

试说明：∽；
当点落在直线上时，求的值；
点从运动到的过程中，直接写出的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 2.【答案】 【解析】解：的半径为，点到圆心的距离为，，
点在圆外．
故选：．
直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设的半径为，点到圆心的距离，当时，点在圆外是解答此题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故A选项不符合题意；
B.两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B选项不符合题意；
C.两个等边三角形的对应角一定相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故C选项符合题意；
D.两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故D选项不符合题意；
故选：．
根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
本题考查了相似图形，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：优弧比劣弧长，不一定，在同圆或等圆中结论成立，故错误．
三点可以确定一个圆，错误，应该是过不在同一直线上的三个点确定一个圆．故错误．
长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故错误．
经过圆内的一个定点可以作无数条弦，故正确．
故选：．
根据等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义一一判断即可．
本题考查等弧的定义，优弧，劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．
根据关于的方程没有实数根，判断出，求出的取值范围，再找出符合条件的的值．
【解答】
解：关于的方程没有实数根，
，
解得：，
故选A．  6.【答案】 【解析】解：连接，并延长交于点，连接，
，，
为的直径，，
，
，，
，
的半径．
故选D．
连接，并延长交于点，连接，由圆周角定理可得与的度数，再由勾股定理即可解答．
此题比较简单，考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设二、三月份每月的平均增长率为，根据“计划二、三月份共生产台”，即可列出方程．
【解答】
解：设二、三月份每月的平均增长率为，
则二月份生产机器为：，
三月份生产机器为：；
又知二、三月份共生产台，
所以，可列方程：．
故选B．  8.【答案】 【解析】解：右图所示，连，，
，
，
是径，
，
，
，
，
，，
选D．
先，由是直径，可知，而，易求，又线，用弦切角定理可知，再利用角形角质可切线质得，，易得，由勾股定理可．
本题考查了直径所对的周角等、切性质、弦角定理、三角形外角性质，解题的关键连，构造直角三角形，利勾股定解此题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：令，则，
解得，
则点坐标为；
令，则，
则点坐标为，
，
，
作与切于、，
连接、，则、，
则在中，，
同理可得，，
则横坐标为，横坐标为，
横坐标的取值范围为：，
点横坐标为，，，，，，共个，
故选：．
求出函数与轴、轴的交点坐标，求出函数与轴的夹角，计算出当与相切时点的坐标，判断出的横坐标的取值范围．
本题考查了直线与圆的位置关系，根据一次函数的解析式求点的坐标，熟悉一次函数的性质和切线的性质是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：由旋转性质可知，，，
．
，
，即．
故∽，故正确；
设、交于点，如图．

由∽，可得，
又，
，
，故正确；
由，可知、、、四点共圆，
由圆内接四边形性质知，
则，即．
故正确；
以作底边，则到距离为高，设高为，
当最大时，面积才最大．
、、、四点共圆，且，
故AB为此圆直径，当垂直通过圆心的时候，最大，
此时，
故的面积最大值为，
故错误．
故正确的一共有个，
故选：．
由旋转性质证明∽即可判断；由∽，可得，，进而即可判断；证明为等腰三角形即可判断；通过、、、四点共圆，当、、三点一线且垂直通过圆心的时候，可得的高最大，从而的面积最大，进而判断．
本题考查了等腰三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的相关知识，三角形面积计算，掌握当三角形底一定时，高最大时面积才最大，找到高最大时候的位置是判断的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
；
故答案为：．
根据比例的性质得出，再代入要求的式子进行计算即可．
本题考查了比例的基本性质，比较简单，用表示出是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：设的实际距离为，
比例尺为：，
：：，
解得，
．
故答案为：．
设的实际距离为，根据比例尺的定义得到：：，利用比例的性质求得的值，注意单位统一．
此题考查了比例线段，用到的知识点是比例线段的性质，关键是根据比例线段的性质列出算式，注意单位的统一．
 13.【答案】 【解析】解：、是方程的两个实数根，
．
故答案为：．
利用“两根之和等于”，可求出的值．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：圆锥的侧面积．
故答案为．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 15.【答案】 【解析】【分析】
根据，得出，再根据列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
故答案为：．  16.【答案】 【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：过点作于点，连接，如图所示：

则，
扇形中，，点为的中点，
，
，
，
设，
根据勾股定理，得，
，
，
以为边向左侧作面积为的正方形，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
扇形的面积，
故答案为：．
过点作于点，连接，根据已知条件可知，设，根据勾股定理，得，在中，根据勾股定理，得，求出，进一步求扇形的面积即可．
本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 18.【答案】   【解析】解：如图，设与的切点为，连接并延长交于点，

将矩形按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，．
，
；
设，，，的半径为，
是的内切圆可得，
．
在中，由勾股定理可得，
整理得，
又即，代入可得，
解得舍去，，
，
，，
再设，在中，，，，
由勾股定理可得，
解得，
，
故答案为：，．
设与的切点为，连接并延长交于点，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质得到，设，，，的半径为，推出是的内切圆可得，根据勾股定理得到，再设，在中，，，，由勾股定理可得，于是得到结论．
本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质．
 19.【答案】解：，
，
，；
，
，
，即，
，
，；
，
，
，即，
，
，；
，
，
，
或，
，． 【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用配方法求解即可；
利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 20.【答案】解：▱为菱形，
，
关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
当为时，四边形是菱形．
将代入原方程得，即，
解得：，
这时菱形的边长为．
将代入原方程得，
解得：，
原方程为，
又▱的两边、的长是关于的方程的两个实数根，
，
▱的周长是． 【解析】利用菱形的性质及根的判别式，可得出关于的一元二次方程，解之可求出的值，将的值代入原方程，解之即可得出方程的解，即菱形的边长；
将代入原方程，可求出的值，进而可得出原方程为，利用根与系数的关系，可求出的长，再利用平行四边形的周长计算公式，即可求出▱的周长．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式、配方法解一元二次方程、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：利用菱形的性质及根的判别式，求出的值；利用根与系数的关系，找出的长．
 21.【答案】解：，．
，
由圆周角定理得：，
；

过作于，
过，
，
圆心到的距离为，
，
，，
． 【解析】根据三角形外角性质求出，根据圆周角定理得出，即可求出答案；
过作于，根据垂径定理求出，根据三角形中位线求出，代入求出即可．
本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
 22.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，
，
又，
∽．
解：设，则，
，
四边形为平行四边形，
，，
，，
∽
，
又∽，
．
即 的值为． 【解析】根据平行四边形对边平行，得到，再利用对顶角相等，可得∽；
利用平行四边形对边平行，证明∽，得到，再由得，，从而求解．
本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 23.【答案】解：连接、，
与相切于点，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
的半径长为．
连接，
，，
，
，是的半径，
是的切线，
，，
，
，
，
，
，
，
由线段、与劣弧围成的图形面积是． 【解析】连接、，由与相切于点，得，而，则，可证明是等边三角形，求得，则，得的半径长为；
由圆周角定理得，而，则，再证明是的切线，则，，得，再求得，即可由求得由线段、与劣弧围成的图形面积是．
此题重点考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 24.【答案】 【解析】解：如图，直线即为所求作．

由作图可知，四边形是菱形，
设，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
作的角平分线，作线段的垂直平分线交于，交于，直线即为所求作．
设，利用平行线分线段成比例定理，求出，再根据菱形的面积公式求解即可．
本题考查作图轴对称变换，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 25.【答案】解：



元．
答：每天的销售利润为元．
设每箱水蜜桃的售价为元，则每箱的销售利润为元，平均每天的销量是箱，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽快销售水蜜桃，
．
答：每箱水蜜桃的售价应为元． 【解析】利用总利润每箱的销售利润日销售量，即可求出结论；
设每箱水蜜桃的售价为元，则每箱的销售利润为元，平均每天的销量是箱，利用总利润每箱的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合要尽快销售水蜜桃，即可得出每箱水蜜桃的售价应为元．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 26.【答案】解：四边形为矩形，
理由如下：四边形为平行四边形，
，，
又，
，
又，
四边形为平行四边形，
，．
又、分别为、的中点，
，，
，
四边形为平行四边形，
，是的中点，
，即，
四边形为矩形；
四边形为矩形，
，
，
的底为定值，
当旋转运动运动至最高点时，高取得最大值，此时的面积取得最大值．
秒．
当时，四边形面积最大，
此时，与半圆相切．
理由如下：，，
，
与半圆相切；
如图，当点落在半圆上时，

四边形是平行四边形，
，，
又，
，
是等边三角形，是等边三角形，
，
，
，
当时，点落在半圆上，
当点与点重合时，，
当时，点落在半圆内． 【解析】由平行四边形的性质可得，，可证四边形为平行四边形，可得，由中点的性质可得，可证四边形为平行四边形，由垂径定理可得，可得结论；
由面积公式可得，由的底为定值，则当旋转运动运动至最高点时，高取得最大值，此时的面积取得最大值，即可求的值，由平行线的性质可得，可证与半圆相切；
求出点落在半圆上时，的值，点与点重合时，的取值，根据这两个特殊位置，可求点落在半圆内时，的取值范围．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 27.【答案】证明：如图中，

，都是等腰直角三角形，
，
，
，
∽．

解：如图构建如图平面直角坐标系，

作于，于设交于．
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
≌，
，，
∽，
，，，
，
，
，
，
，，
，
当点在直线上时，，解得．

由可知，
令，，
消去得到．
点在直线上运动，
如图，作垂直直线垂足为．

根据垂线段最短可知，此时的长最小，
易知直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
最小值是． 【解析】根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；
如图构建如图平面直角坐标系，作于，于设交于首先证明≌，想办法求出点的坐标，构建方程即可解决问题；
由可知，令，，消去得到推出点在直线上运动，根据垂线段最短即可解决问题；
本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、新三角形的判定和性质、一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．