河南省驻马店市泌阳县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2022-2023学年河南省驻马店市泌阳县九年级第一学期期中

数学试卷

一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由二次根式的被开方数为非负数可得解不等式即可得到答案．

【详解】解：∵式子有意义，

∴

解得：

故选D．

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键．

2. 一元二次方程的一次项系数、二次项系数、常数项的和是（    ）

A. 1 B. 8 C. 7 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．

【详解】解：根据题意，可得一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为4，及常数项为-3，则其和为：1+4+（-3）=2，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项之和出算式是解题关键．

3. 下列各式计算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项．

【详解】解：A．，原式错误，故本选项错误；

B．，故本选项错误；

C．，故本选项错误；

D．，计算正确，故本选项正确．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减法则和乘除法则．

4. 一元二次方程的一个根是，则k＝（    ）

A. 3 B. 2 C. －3 D. －2

【答案】A

【解析】

【分析】把代入方程得，然后解关于的方程即可．

【详解】解：把代入方程得，

解得．

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

5. 在中，，若，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可．

【详解】解：由勾股定理得：，

所以，

故选：B．

【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是能熟记锐角三角函数的定义．

6. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DEBC，EFAB，若BF：FC＝2：3，AB＝15，则BD＝（　　）

A. 6 B. 9 C. 10 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】由题意易得四边形BFED是平行四边形，△EFC∽△ABC，然后根据平行四边形的性质及相似三角形的性质可进行求解．

【详解】解：∵DEBC，EFAB，

∴四边形BFED是平行四边形，△EFC∽△ABC，

∴，，

∵BF：FC＝2：3，AB＝15，

∴，

∴；

故选B．

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质与判定是解题的关键．

7. 如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（8-2x）cm，宽为（5-2x)cm，然后根据底面积是，即可列出方程．

【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，

依题意得（8-2x）（5-2x）=18，

故选：B．

【点晴】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题意，正确理解题意，利用题目的数量关系列出方程．

8. 在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC．交DE于点F．AB＝8，BC＝6，则EF的长为(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB，进而求出DF的长，易求EF的长度．

【详解】∵在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，

∴DE∥AB，DE=AB=4．

∴∠EDC=∠ABC．

∵BF平分∠ABC，

∴∠EDC=2∠FBD．

∵在△BDF中，∠EDC=∠FBD+∠BFD，

∴∠DBF=∠DFB，

∴FD=BD=BC=×6=3．

∴FE=DE-DF=4-3=1．

故选A．

【点睛】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定于性质．三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．

9. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　）

A. 5 B. 6

C. 7 D. 12

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△MOE∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．

【详解】解：如图：

在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，

△CEF∽△MOE∽△PFN

则有 ,

∴ ，

解得：x=0(舍)，x=7，

故选C．

【点睛】本题考查相似三角形的性质，在图形中找到相似三角形是解题的关键．

10. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中销头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第30次运动后，动点P的坐标是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由横坐标变化可以得出第30次横坐标是30，由纵坐标变化规律可知每四次为一周期．

【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），

第2次接着运动到点（2，0），

第3次接着运动到点（3，2），

第4次运动到点（4，0），

第5次接着运动到点（5，1），

…，

∴横坐标为运动次数，经过第30次运动后，动点P横坐标为30，

纵坐标1，0，2，0，每4次一轮，

∵30÷4=7余2，

∴经过第30次运动后，动点P的纵坐标为四个数中第二个，即为0，

∴经过第30次运动后，动点P的坐标是：（30，0），故B正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了点的规律探究，解答此题的关键是分析好各点坐标的变化规律，同时要观察变化周期．

二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11. 计算：．

【答案】1

【解析】

【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．

【详解】解：原式

＝1．

【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．

12. 已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则3a2+8a﹣b的值是______．

【答案】11

【解析】

【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+3a=8，a+b=-3，再将其代入3a2+8a-b=3（a2+3a）-（a+b）中即可求出结论．

【详解】解：∵a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，

∴a2+3a＝8，a+b＝﹣3，

∴3a2+8a﹣b

＝3（a2+3a）﹣（a+b）

＝8﹣（﹣3）

＝11．

故答案为：11．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

13. 已知是的三个内角，若，且均为锐角，则的度数为__________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据非负性和特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理即可求得∠C的度数．

【详解】解：∵，

∴，，

∵均为锐角，

∴∠A=60°，∠B=45°，

∵是的三个内角，

∴∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°，

故答案：75°．

【点睛】本题考查绝对值和偶次方的非负性、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．

14. 如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．

【答案】

【解析】

【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案．

【详解】解：由题意可得：

同理：

故答案为：

【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．

15. 如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为_____．

【答案】或

【解析】

【分析】先在中利用勾股定理求出，再根据折叠的性质得到，直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，恰好为直角三角形，有两种可能：①，②，设，运用三角形相似列比例式解方程即可得解．

【详解】解：∵在中，，

∴．

根据折叠的性质可知，

设，则．

分类讨论：①当时，则，

∴，

∴，即，

解得：；

②当时，则，

∴，即，

解得：；

故所求的长度为：或．

故答案为：或．

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．

三、解答题（共8小题，满分75分）

16. 计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）0

【解析】

【分析】（1）先算除法与乘法，再算加、减法即可；

（2）代入特殊角的三角函数值，再进行相应的运算即可．

【小问1详解】

；

【小问2详解】

．

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，解答的关键是掌握二次根式的混合运算法则．

17. 根据要求解下列方程

（1）（用配方法）；

（2）．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求出解；（2）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．

【小问1详解】

方程整理得：，

配方得：，即，

开方得：，

解得：，；

【小问2详解】

方程整理得：，

这里，，，

∵，

∴，

解得：．

【点睛】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤和求根公式是解题的关键．

18. 请在如图所示的方格内（每个小表格的边长均为1）画出，使它的顶点都在格点上，且，，求：

（1）的面积；

（2）最长边上的高．

【答案】（1）画图见解析，2   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据勾股定理即可画出相应图形．由图可以看出边上的高为2，再利用三角形面积公式计算即可；

（2）利用等积法求得最长边上的高即可．

【小问1详解】

如图，即为所画．

由图可得：边上的高为2，

∴；

【小问2详解】

设边上的高为h，

根据题意得：，即，

解得：．

【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，利用网格求三角形面积，等积法求三角形的高．利用数形结合的思想是解题关键．

19. 已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．

【答案】（1）见详解；（2）

【解析】

【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；

（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．

【详解】（1）证明：由题意得：，

∴，

∵，

∴，

∴该方程总有两个实数根；

（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，

∵，

∴，

解得：，

∵，

∴．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．

20. 如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．

（1）求证：△ABC∽△DEC；

（2）若AB=8，CE=3，求△ABC的周长．

【答案】（1）见解析；   

（2）△ABC的周长为19.2

【解析】

【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线性质、等边对等角和平行线的性质得到∠A＝∠CDE，加上∠ACB＝∠DCE＝90°，则根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△DEC；

（2）先利用直角三角形斜边上的中线性质得到CD＝AB＝4，再利用勾股定理计算出DE＝5，接着根据相似三角形的性质得到，从而得到△ABC的周长．

【小问1详解】

证明：∵ACDE，

∴∠CDE＝∠ACD，

∵CD是 Rt△ABC斜边AB中线，

∴CD＝AD，

∴∠A＝∠ACD＝∠CDE，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴△ABC∽△DEC；

【小问2详解】

解∵CD是Rt△ABC斜边AB中线，

∴AB＝2CD＝8，

∴CD=4，

∵CD⊥CE，CE=3，

∴DE＝＝5，

∴△DCE的周长为3+4+5=12，

∵△ABC∽△DEC，

∴=，

∴△ABC的周长＝×12＝=19.2.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理和平行线的性质．

21. 阅读下列材料，并完成相应的任务．

初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系（如图）：

．

一般地，当、为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：

；

．

例如：．

根据上述材料内容，解决下列问题：

（1）计算：_______；

（2）在中，，请你求出和的长．

【答案】（1）；（2），

【解析】

【分析】（1）根据题干中的公式可求．
（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值

【详解】解：
 

（2）中，∵，

∴．

∵，

∴．

【点睛】本题考查了同角三角函数关系，合理利用题干中告知的公式是本题的关键．

22. “早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制优质新品种在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩

（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；

（2）市场查发现，当“早黑宝”的售价为20元千克时，每天售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广直传，基地决定降价促销，同时减存已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”天获利1750元，则售价应降低多少元？

【答案】（1）40%（2）3元

【解析】

【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；

（2）设售价应降低y元，根据每千克的利润乘以销售量，等于1750，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可．

【详解】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得

100（1＋x）2＝196

解得x1＝0.4＝40%，x2＝−2.4（不合题意，舍去）

答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．

（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200＋50y）千克

根据题意，得（20−12−y）（200＋50y）＝1750

整理得，y2−4y＋3＝0，

解得y1＝1，y2＝3

∵要减少库存

∴y1＝1不合题意，舍去，

∴y＝3

答：售价应降低3元．

【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题目正确列出方程，是解题的关键．

23. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．

（1）当时，求x值．

（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）能，AP＝cm或20cm

【解析】

【分析】（1）利用平行线分线段对应成比例，列比例式进行计算即可；

（2）分类讨论：①△APQ∽△CQB，②当△APQ∽△CBQ，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可．

【小问1详解】

解：当时，AP：AB＝AQ：AC，

∵AP＝4x，AQ＝30－3x，

∴，

解得：x＝；

【小问2详解】

解：∵BA＝BC

∴，

①当△APQ∽△CQB时，有，

即：，

解得：，

∴（cm），

②当△APQ∽△CBQ时，有，

即：，

解得：x＝5或x＝－10（舍去），

∴PA＝4x＝20（cm），

综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键．