2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之圆的有关性质

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2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之圆的有关性质
一．选择题（共5小题）
1．（2020秋•龙游县期末）如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（　　）

A．131° B．119° C．122° D．58°
2．（2021春•巨野县期末）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021•清江浦区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（　　）

A．20° B．30° C．40° D．45°
4．（2020秋•西林县期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
5．（2021•亭湖区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝20°，则∠1的大小是（　　）

A．160° B．150° C．140° D．40°
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•兴化市期末）如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝30°，则∠B＝　 　°．

7．（2020秋•温江区校级期末）如图，点M为⊙O的半径OA的中点，弦BC过点M且垂直于AO，若AO＝4，则弦BC的长为 　 　．

8．（2021春•射阳县校级期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC　 　BD（填“＞”“＜”或“＝”）．

9．（2020秋•南充期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为 　 　．

10．（2020秋•龙游县期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ACFE是平行四边形，点E，F在圆上，点C是OB上一点，且OC＝CF，则∠FOC的度数是 　 　．

三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．
（1）求CD与PC的长；
（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．

12．（2021•上城区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连接AD，GD，AG．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明；
（2）已知BE＝2，AE＝8，求CD的长．

13．（2021春•昌江区校级期末）已知：在圆O内，弦AD与弦BC相交于点G，AD＝CB，M、N分别是CB和AD的中点，联结MN、OG．
（1）证明：OG⊥MN；
（2）联结AB、AM、BN，若BN∥OG，证明：四边形ABNM为矩形．
14．（2021春•亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．

15．（2020秋•南平期末）在扇形AOC中，∠AOC＝60°，点B在上，且＝2，点E在半径OB上，以OE，OA为邻边作平行四边形OAFE，当点C，B，F共线时．
（1）求∠CFA的度数；
（2）求证：CF＝OC．


2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之圆的有关性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2020秋•龙游县期末）如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（　　）

A．131° B．119° C．122° D．58°
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】先利用圆周角定理求出∠D＝61°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ACB的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝122°，
∴∠D＝∠AOB＝61°，
∵四边形ADBC为⊙O内接四边形，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣61°＝119°．
故选：B．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
2．（2021春•巨野县期末）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】圆的认识．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】利用圆的有关定义与性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①弦是直径，错误，符合题意；
②半圆是弧，正确，不符合题意；
③过圆心的弦是直径，故错误，符合题意；
④圆心相同半径相同的两个圆是同圆，故错误，符合题意，
错误的有3个，
故选：C．
【点评】主要考查圆的认识，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．（2021•清江浦区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（　　）

A．20° B．30° C．40° D．45°
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据邻补角的性质求得∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得∠BDC的度数，
【解答】解：∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
∴∠BDC＝∠BOC＝30°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．（2020秋•西林县期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．
【解答】解：A．如图，

弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；
C．如图，

∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；
D．如图，

弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等．
5．（2021•亭湖区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝20°，则∠1的大小是（　　）

A．160° B．150° C．140° D．40°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】首先根据圆周角定理求得∠2＝2∠D＝40°，然后由邻补角的定义求∠1的大小．
【解答】解：如图，＝，∠D＝20°，
∴∠2＝2∠D＝40°．
∴∠1＝180°﹣∠2＝140°．
故选：C．

【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•兴化市期末）如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝30°，则∠B＝　75　°．

【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】先根据圆周角定理得到∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．
【解答】解：∵弧AB＝弧AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝×（180°﹣30°）＝75°．
故答案为75．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（2020秋•温江区校级期末）如图，点M为⊙O的半径OA的中点，弦BC过点M且垂直于AO，若AO＝4，则弦BC的长为 　4　．

【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】连接OB，根据垂径定理得出BM＝CM，根据直角三角形的边角关系求得∠OBM＝30°，解直角三角形求得BM，进而即可求得BC．
【解答】解：连接OB，
∵点M为⊙O的半径OA的中点，
∴OM＝OB，
∵弦BC过点M且垂直于AO，
∴∠OBM＝30°，
∴BM＝OB＝×4＝2，
∵OA⊥BC，
∴BM＝CM，
∴BC＝2BM＝4，
故答案为4．

【点评】本题考查了垂径定理以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
8．（2021春•射阳县校级期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC　＝　BD（填“＞”“＜”或“＝”）．

【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；模型思想．
【分析】根据同圆与等圆中，圆心角、弦、弧的关系得出＝即可．
【解答】解：∵＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AC＝BD，
故答案为：＝．
【点评】本题考查圆心角、弦、弧的关系，掌握在同圆与等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余两组量也对应相等是正确解答的前提．
9．（2020秋•南充期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为 　20cm　．

【考点】垂径定理的应用．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理得到AD＝BD＝30cm，即可得到PD＝100cm，利用勾股定理即可求得结果．
【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OB，
∴AD＝BD＝AB＝30cm，
∴OD＝＝＝40（cm），
∴PD＝PB+BD＝70+30＝100（cm），
∴OP＝＝20（cm）；
故答案为20cm．
方法二：
解：延长PO交圆于D；
∵AB＝60cm，PB＝70cm，
∴PA＝130cm；
由割线定理，得：PB•PA＝PC•PD；
设点P到圆心的距离是xcm，则有：
（x﹣50）（x+50）＝70×130，
解得x＝20cm．
故OP长为20cm．
故答案为20cm．


【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．
10．（2020秋•龙游县期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ACFE是平行四边形，点E，F在圆上，点C是OB上一点，且OC＝CF，则∠FOC的度数是 　36°　．

【考点】平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】连接AF、BF，根据等腰三角形的性质得出∠FOC＝∠CFO＝α，求出∠FCB＝2α，根据平行四边形的性质得出EF∥AB，AE∥CF，根据平行线的性质得出∠A＝∠FCB＝2α，∠EFA＝∠FAB，求出∠B＝∠A＝2α，根据OF＝OB求出∠OFB＝∠B＝2α，由三角形内角和定理求出∠OFB+∠B+∠FOC＝180°，得出2α+2α+α＝180°，求出α即可．
【解答】解：连接BF、AF，

∵OC＝CF，
∴∠FOC＝∠CFO，
设∠FOC＝∠CFO＝α，则∠FCB＝∠FOC+∠CFO＝2α，
∵四边形AEFC是平行四边形，
∴EF∥AB，AE∥CF，
∴∠A＝∠FCB＝2α，∠EFA＝∠FAB，
∴＝，
∴＝（都加上），
∴∠B＝∠A＝2α，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠B＝2α，
在△OFB中，∠OFB+∠B+∠FOC＝180°，
即2α+2α+α＝180°，
解得：α＝36°，
即∠FOC＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理等知识点，能求出∠B＝∠A是解此题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．
（1）求CD与PC的长；
（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．

【考点】垂径定理．
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，解直角三角形求得OH，PH，然后根据勾股定理求得CH，进而即可求得CD和PC；
（2）求得△APD和△PBC的面积，进而即可求得四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，
在Rt△OPH中，∠P＝30°，OP＝OB+BP＝2+1＝3，
∴，PH＝OP•cos30°＝3×＝，
在Rt△OHC中，．
∵CD＝2CH，
∴．
∴．

（2）由（1）知：，PA＝5，∠P＝30°，
∴，，
∴．

【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形以及勾股定理的应用，三角形的面积，通过解直角三角形其实三角形的高是解题的关键．
12．（2021•上城区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连接AD，GD，AG．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明；
（2）已知BE＝2，AE＝8，求CD的长．

【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由垂径定理可得DE＝CE，＝，可得结论；
（2）通过证明△ACE∽△CBE，由相似三角形的性质可求CE＝4，即可求解．
【解答】解：（1）∠AGD＝∠ADC，
理由如下：∵弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，＝，
∴∠AGD＝∠ADC；
（2）方法一、如图，连接AC，BC，

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠ACE+∠CAE，
∴∠BCE＝∠CAE，
又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴，
∴CE•CE＝2×8＝16，
∴CE＝4，
∴CD＝8．
方法二、连接OC，

∵BE＝2，AE＝8，
∴BA＝10，
∴OC＝OB＝5，
∴OE＝3，
∴CE＝＝＝4，
∴CD＝8．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
13．（2021春•昌江区校级期末）已知：在圆O内，弦AD与弦BC相交于点G，AD＝CB，M、N分别是CB和AD的中点，联结MN、OG．
（1）证明：OG⊥MN；
（2）联结AB、AM、BN，若BN∥OG，证明：四边形ABNM为矩形．
【考点】矩形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），推出OM＝ON，证明Rt△OMG≌Rt△ONG（HL），推出GM＝GN，由OM＝ON，推出OG垂直平分线段MN，即OG⊥MN．
（2）设OG交MN于J．证明四边形ABNM是平行四边形，由AN＝BM，推出四边形ABNM是矩形．
【解答】证明：（1）连接OM，ON，OD，OC．
∵BM＝CM，AN＝ND，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
∴∠OMC＝∠OND＝90°，
∵AD＝BC，
∴CM＝DN，
∵OD＝OC，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OM＝ON，
∵OG＝OG，∠OMG＝∠ONG＝90°，
∴Rt△OMG≌Rt△ONG（HL），
∴GM＝GN，
∵OM＝ON，
∴OG垂直平分线段MN，即OG⊥MN．

（2）设OG交MN于J．
∵OG垂直平分线段MN，
∴MJ＝JN，
∵AN＝BM．GM＝GN，
∴AG＝BG，
∵BN∥OG，MJ＝JN，
∴BG＝GM，
∴AG＝BG＝GN＝GM，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AN＝BM，
∴四边形ABNM是矩形．

【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．（2021春•亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．

【考点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）连接AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠DAB＝∠BOD＝37.5°，再根据圆的内接四边形的对角互补得到∠DAB+∠DEB＝180°，而CBED+∠DEB＝180°，则∠CED＝∠DAB．
【解答】（1）证明：连接AE，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；

（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB+∠DEB＝180°，∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
【点评】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角为直角；圆的内接四边形的对角互补；等腰三角形的性质．
15．（2020秋•南平期末）在扇形AOC中，∠AOC＝60°，点B在上，且＝2，点E在半径OB上，以OE，OA为邻边作平行四边形OAFE，当点C，B，F共线时．
（1）求∠CFA的度数；
（2）求证：CF＝OC．

【考点】平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】（1）求出∠OBC＝80°，再利用平行四边形的性质求解即可．
（2）想办法证明OC＝CA，CF＝CA，可得结论．
【解答】（1）解：∵＝2，
∴∠AOB＝2∠BOC，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OBC＝20°，∠AOB＝40°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝80°，
∵四边形OAFE是平行四边形，
∴OB∥AF，
∴∠OBC＝∠CFA＝80°．

（2）证明：∵OC＝OA，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，OC＝AC，
∵四边形OAFE是平行四边形，
∴OE∥AF，
∴∠OAF＝180°﹣∠AOB＝140°，
∴∠CAF＝∠CFA＝80°，
∴CA＝CF，
∴CF＝OC．

【点评】本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

考点卡片
1．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
2．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
3．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
4．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
5．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
6．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
7．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
8．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
9．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
10．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
11．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补