鲁教版 (五四制)七年级上册4 确定一次函数的表达式教案设计

6.4 确定一次函数的表达式

    从容说课

    本节从反映一物体沿斜坡下滑时速度（v）与时间（t）的函数图象出发，探索正比例函数的表达式．由此可知，确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件．这个问题虽然很简单，但它涉及数学对象的一个本质概念──基本量．如一次函数含有两个基本量k，b；平行四边形的确定需要三个条件（如两邻边及其夹角），因此平行四边形的基本量数是3；同理，直线的基本量数是2，正方形的基本量数是1，长方形和菱形的基本量数是2．教学中若能鼓励学生经常作这样的思考，必将增强其对数学对象的理解．另外，本节又通过学生熟悉的生活中的实际问题──弹簧长度，了解两个条件可确定一次函数的表达式，并能由两个条件求出简单的一次函数的表达式，进一步体会到函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．

    因此，本节的重点是了解正比例函数的确定需要一个条件，反比例函数的确定需要两个条件，并能由条件求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关的现实问题．教学时，教师应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式，表述方式和解题方法的多样化．例如例1中，k值的确定，可以用一次方程求得，也可以用推理的方式直接求得．只要能写出y与x之间的关系，教师就应予以肯定．再者，教学中要注意控制问题的难度，对于b值的得出要从所给的条件中很容易地得出，从而将问题转化为通过另一个条件确定k值．至于一般的由两个条件利用二元一次方程组确定函数表达式的问题，将放在下一章“二元一次方程组”的最后一节，以加强方程与函数的联系．

三维目标

    1．了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数．

    2．能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关现实问题．

    3．能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力．
    4．能把实际问题抽象为数字问题，也能把所学知识运用于实际，让学生认识数字与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．

    教学设计

    教学重点：根据所给信息确定一次函数的表达式．

    教学难点：用一次函数的知识解决有关现实问题．

    教学方法：启发引导法．

    教具准备：多媒体课件（两个）：

    第一个：补充练习（记作6.4A）；

    第二个：补充练习（记作6.4B）．

    课时安排：1课时．

    教学过程

    导入新课

    师：在上节课中我们学习了一次函数图象的定义，在给定表达式的前提下，我们可以说出它的有关性质，如果给你有关信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题．

    推进新课

    1．试一试

    某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t（s）的关系如下图所示．

（1）写出v与t之间的关系；

（2）下滑3s时物体的速度是多少？

    分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定它是正比例函数的图象，还是一次函数的图象，然后设函数解析式，再把已知的坐标代入解析式求出待定系数即可．

    师：请大家先思考解题的思路，然后和同伴进行交流．

    生甲：因为函数图象过原点，且是一条直线，所以这是一个正比例函数的图象，设表达式为v=kt，由图象可知（2，5）在直线上，所以把t=2，v=5代入上式求出k，就可知v与t的关系式了．

    解：由题意可知v是t的正比例函数．

    设v=kt．∵点（2，5）在函数图象上，

    ∴2k=5，∴k=．

    ∴v与t的关系式为v=t．

    （2）求下滑3s时物体的速度，就是求当t等于3时的v的值．

    解：当t=3时，v=×3==7.5（m/s）．

    2．想一想

    师：请大家从这个题的解题经历中，总结一下如果已知函数的图象，怎样求函数的表达式，大家互相讨论之后再表述出来．

    生乙：第一步应根据函数的图象，确定这个函数是正比例函数或是一次函数；

    第二步设步骤的表达式；

    第三步根据表达式列等式，若是正比例函数，则找一个点的坐标即可；若是一次函数，则需要找两个点的坐标，把这些点的坐标分别代入所设的解析式中，组成关于k，b的一个或两个方程；

    第四步解出k、b值；

    第五步把k、b的值代回到表达式中即可．

    师：由此可知，确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？

    生丙：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件．

    3．例题讲解

    例：在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体的质量x（kg）的一次函数，当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长15cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm．写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度．

    师：请大家先分析一下，这个例题和我们上面讨论的问题有何区别．

    生甲：没有画图象．

    师：在没有图象的情况下，怎样确定是正比例函数还是一次函数呢？

    生乙：因为题中已告诉是一次函数．

    师：对．这位同学非常仔细，大家应该向这位同学学习，对所给题目首先要认真审题，然后再有目标地去解决，下面请大家仿照上面的解题步骤来完成本题．

    生丙：解：设y=kx+b，根据题意，得

    15=k+b，       ①

    16=3k+b．      ②

    由①得b=15-k，

    由②得b=16-3k，

    ∴15-k=16-3k，即k=0.5．

    把k=0．5代入①，得k=14.5。

    所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5．

    当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5（cm）．

    即物体的质量为4kg时，弹簧长度为16.5cm．

    师：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求函数表达式的步骤？

    生丁：它们的相同步骤是第二步到第四步．

    求函数表达式的步骤有：

    1．设函数表达式．

    2．根据已知条件列出有关方程．

    3．解方程．

    4．把求出的k、b值代回到表达式中即可．

    课堂练习

    （一）随堂练习

    2.（题目见教材）

    解：若一次函数y=2x+b的图象经过点A（-1，1），则b=3，该图象经过点B（1，-5）和点C（-，0）．

    3.（题目见教材）

解：如下图，直线L是一次函数y=kx+b的图象．

    （1）b=2，k=-；

    （2）当x=30时，y=-18；

    （3）当y=30时，x=-24．

    （二）补充练习

    课件显示6.4 A

    1．根据条件，确定函数的表达式:y与x成正比例，当x=5时，y=7．

    解：设y=kx，

    当x=5时，y=7．

    ∴7=5k，∴k=，∴y=x．

    课件显示6.4B

    2．若函数y=kx+b的图象经过点（-3，-2）和点（1，6），求k、b及表达式．

解：根据题意，得

-3k+b=-2，①

k+b=6． ②

    由①得b=3k-2，

    由②得b=6-k．

    所以3k-2=6-k，即k=2．

    把k=2代入②，得b=4．

    所以y=2x+4．

    课时小结：

    本节课我们主要学习了根据已知条件，如何求函数的表达式．

    其步骤如下：

    1．设函数表达式；

    2．根据已知条件列出有关k、b的方程；

    3．解方程，求k、b；

    4．把k、b代回表达式中，写出表达式．

    板书设计

    6.4 确定一次函数表达式

    一、试一试（会根据条件求函数关系式）

    二、想一想（已知函数图象求解析式）

    三、例题讲解（确定表达式）

    四、课堂练习

    五、课后作业

    活动与探究

（经典回放）某市的C县和D县上个月发生火灾，急需救灾物资10t和8t．该市的A县和B县伸出援助之手，分别募集到救灾物体12t和6t，全部赠送给C县和D县．已知A、B两县运货到C、D两县的运费（元/t）如下表所示：

    （1）设B县运到C县的救灾物质为x吨，求总运费w关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

    （2）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方法．

    [过程]设B县运到C县救灾物质为xt．

    则B县运到D县救灾物质为（6-x）t；

    A县运到C县救灾物质为（10-x）t；

    A县运到D县救灾物质为[8-（6-x）]t．

    由上表，可得A县到C县、D县总运费分别为40（10-x）元、50[8（6-x）]元；

    B县到C县、D县总运费分别为30x元，80（6-x）元．

    [结果]（1）w=30x+80（6-x）+40（10-x）+50（2+x）=-40x+980．

    自变量x的取值范围是0≤x≤6．

    （2）由（1）可知，当x=6时，总运费最低．

    最低总运费w=-40×6+980=740（元）．

    运送方法是：把B县的6t全部运到C县，再从A县运4t到C县，A县余下的8t全部运到D县．

    备课资料:参考练习

    1．已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过点A（-2，0），且与y轴分别交B、C两点，则△ABC的面积为_______．

    答案：6．

    2．一轮船在离A港10千米的P地出发向B港匀速行驶，30分钟后离A港26千米（未到达B港）．设出发x小时后，轮船离A港y千米（未到达B港），则y与x之间的函数关系式为________．

    答案：y=52x+10

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，斜边AB在x轴上，点C在y轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），则直角边BC所在直线的解析式为_____．

    答案：y=x+4

    4．无论m为何实数，直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在（    ）

    A．第三象限    B．第四象限    C．第一象限    D．第二象限

    答案：A

    5．一次函数y=x+b与x轴、y轴的交点分别为A、B，若△OAB的周长为2+（O为坐标原点），求b的值．

    答案：b=±1．

    6．已知正比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x-9的图象交于点P（3，-6）．

    （1）求k1、k2的值；

    （2）如果一次函数与x轴交于点A，求A点的坐标．

答案：（1）k1=-2，k2=1．  （2）A（9，0）.