还剩78页未读，
继续阅读
备战2023年中考数学一轮复习考点10 勾股定理
展开
这是一份备战2023年中考数学一轮复习考点10 勾股定理，共81页。试卷主要包含了勾股定理；，勾股定理的逆定理；，勾股定理的应用等内容，欢迎下载使用。
考点10 勾股定理
勾股定理主要包括勾股定理、勾股定理的逆定理以及勾股数、直角三角形的判断。在中考中，勾股定理主要以选择题和填空题的形式进行考查，但是勾股定理同样是作为一项工具性质的知识，多与其他几何知识结合，多用来计算三角形边的长度，难度中等。
一、勾股定理；
二、勾股定理的逆定理；
三、勾股定理的应用。
考向一：勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：，， ．
2.勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
在图（1）中
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
在图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
在图（3）中， 。
1．如图，中，为的中点，在上，且．若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm，现将沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则的长为（ ）cm．
A． B． C．3 D．
3．如图，在中，，，的平分线交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，三角形中， 若， ，则线段（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．如图，在中，，点为边AB的中点，，交AC于点E，DF交BC于点．若，，则EF的长为（ ）
A． B．5 C． D．13
考向二：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；
若时，△ABC是锐角三角形；若时，△ABC是钝角三角形．
3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形。
4.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
（1）较小的直角边为连续奇数；
（2）较长的直角边与对应斜边相差1.
（3）假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，4，5
2．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法计算
3．若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝3，b＝5，c＝4
C．a＝4，b＝8，c＝9 D．a＝9，b＝40，c＝41
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，，3 B．10，15，20 C．，3，4 D．2，3，4
5．下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝1，b＝1，
C．a＝6，b＝10，c＝8 D．a＝3，b＝4，
考向二：勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且海里．那么该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行（ ）
A．50海里 B．海里 C．65海里 D．75海里
2．一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
3．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一根木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，木杆折断之前的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（ ）
A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．不能确定
1．如图，在中，，，，，点D在边上，连接，如果将沿翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线的距离为（ ）
A． B．4 C． D．
2．若直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．不能确定
3．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．10 B．13 C．15 D．26
4．如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是3和4，则AB上的中线长为（ ）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．3
5．如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A．+1 B．+2 C．2+2 D．2+3
6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，且过点，点为中点，已知，则的长为（ ）
A．15 B． C． D．
7．如图所示，为正方形的边上的一点．，交的延长线于，若正方形的面积为，的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．我们知道，三个正整数a、b、c满足，那么，a、b、c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：
①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数：⑤若，，，其中x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数；
其中正确的结论是（ ）．
A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤
9．如图，四边形中，，，，则_____．
10．已知点是等腰直角三角形的重心，，那么的长为______．
11．如图，在中，，和分别是和边上的高，交于点F，连接，，，则线段的长度是___________．
12．如图，等边和等边中，，，连、，当时，则_________．
13．如图，是等边三角形，以为边向外作，使，且，，连接，则的长为 ___________．
14．如图，在中，， ，，点分别在边上，且，则的最小值为_____________．
15．如图，在Rt中，，．将绕点逆时针旋转60°，得到，则的长是___________．
16．如图，三角形纸片，，E、F分别是CB、AB边上的点，，将三角形纸片沿FE折叠，使点B的对应点D落在AC边上，且，则BC的长为____．
17．如图，为上一点，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，探究与之间的数量关系．
18．如图所示，在四边形中，，，，，，求的长．
19．如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．
(1)求证：；
(2)若时，求的长．
20．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD=4m，CD=3m，AD^DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
21．已知：△ABC的边长，，，且．
(1)判断三角形的形状，并说明理由；
(2)若，求的三边长．
22．如图是边长为的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．
(1)的周长为______；
(2)如图，点、分别是与竖格线和横格线的交点，画出点关于过点竖格线的对称点；
(3)请在图中画出的角平分线．
23．如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(2)连结，求的周长．
24．如图，在中，，，．
(1)尺规作图，作边的垂直平分线，垂足为点，交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求线段的长．
25．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
26．如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距．海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东30°方向，与灯塔相距的的处；乙船位于灯塔的北偏东15°方向，与灯塔相距的处．求：
(1)甲船与灯塔之间的距离；
(2)两艘货船之间的距离．
27．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
28．在与中，，且，．
(1)如图1，若点D与A重合，点E在边上，，，P为线段的中点，连接，求线段的长；
(2)如图2，若点D与C重合，与交于点M，且点M是线段的中点，连接，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在第（2）的条件下，若，且，点P为直线上一点，连接，将沿直线翻折，得到，当线段的长度最大时，直接写出的面积．
29．等腰，．在上，，．
(1)如图1，连接，探究线段与线段的关系并证明；
(2)如图2，连接，交于为垂足，
①求证：；
②如图3，若交于为的中点，连接，交于，连．当，则的最小值为_____________．
30．如图1，已知等腰中，E为边AC一点，过E点作于F点，以为边作正方形，且，．
(1)如图1，连接，求线段的长；
(2)连接，M点为的中点，连接、，求与关系．
(3)将等腰绕A点旋转至如图2的位置，连接，M点为的中点，连接、，求与关系．
1．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．
2．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为__．
3．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．
4．（2020·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
5．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
6．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
1．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学三模）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏苏州·一模）如图，在中，是边上的中线，将沿着翻折，点的对称点为．已知，，那么点与点之间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．4
3．（2022·江苏南通·一模）如图，矩形ABCD中，，，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．4
4．（2022·江苏徐州·一模）如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A． B．5
C． D．8
5．（2022·江苏宿迁·一模）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
6．（2022·江苏淮安·二模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为_____．
7．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，的直角顶点在边的中点处，其中，，绕点自由旋转，且，分别交，于点，，当，时，的长为______．
8．（2022·江苏镇江·模拟预测）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上．
(1)只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹）
(2)D到AB的距离是 ．
9．（2022·江苏苏州·一模）如图，，，垂足分别为点E，点D．
(1)求证：；
(2)若，，求CD的长度．
10．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台AC，利用旗杆顶部的绳索，荡过90°到达与高台AC水平距离为17米（即，米），高为3米的矮台BD的顶端B．
(1)求旗杆的高度OM；
(2)求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
1．如图，中，为的中点，在上，且．若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵，是的中点，
∴,
在中，
故选：C
2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm，现将沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则的长为（ ）cm．
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长．
【详解】解：，，，
，
由折叠的性质得：，，
，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
故选：C．
3．如图，在中，，，的平分线交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过作于，根据等腰三角形的性质得到，推出，设，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过作于，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
故，
故选：A．
4．如图，三角形中， 若， ，则线段（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】将绕点A顺时针旋转得到．只要证明是直角三角形，，即可解决问题．
【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，
则，
在中，由勾股定理得：，
故选：C．
5．如图，在中，，点为边AB的中点，，交AC于点E，DF交BC于点．若，，则EF的长为（ ）
A． B．5 C． D．13
【答案】A
【分析】过点A作交FD的延长线于点G，连接EG，可证，可得，，由勾股定理可得结论．
【详解】解：过点A作交FD的延长线于点G，连接EG，
∵点D是AB的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
考向二：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；
若时，△ABC是锐角三角形；若时，△ABC是钝角三角形．
3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形。
4.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
（1）较小的直角边为连续奇数；
（2）较长的直角边与对应斜边相差1.
（3）假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，4，5
【答案】C
【分析】根据勾股定理，可判断是否为直角三角形
【详解】A项 ，故不符合题意；
B项2+3=5，不能构成三角形，故不符合题意；
C项，3，4，5为常见的勾股数，能组成直角三角形，符合题意；
D项 ，故不符合题意．
故选：C．
2．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】B
【分析】如图连接、，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明是直角直角三角形，可得，即可求出的度数．
【详解】解：如图：
∵，，，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，，
又∵，
∴是直角直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
3．若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝3，b＝5，c＝4
C．a＝4，b＝8，c＝9 D．a＝9，b＝40，c＝41
【答案】C
【分析】直接用勾股定理逆定理逐一验证即可．
【详解】A、，能构成直角三角形；
B、，能构成直角三角形；
C、，不能构成直角三角形；
D、，能构成直角三角形．
故选：C．
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，，3 B．10，15，20 C．，3，4 D．2，3，4
【答案】C
【分析】根据勾股定理逆定理逐个进行验证即可．
【详解】解：A、因为，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、因为，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为，所以能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、因为，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝1，b＝1，
C．a＝6，b＝10，c＝8 D．a＝3，b＝4，
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理计算即可判断．
【详解】解：A、因为22+32≠42，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
B、因为12+12≠2，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
C、因为62+82=102，所以该三角形是直角三角形，故符合题意；
D、因为2+32≠42，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
考向二：勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且海里．那么该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行（ ）
A．50海里 B．海里 C．65海里 D．75海里
【答案】B
【分析】如图所示，过点M作于N，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点M作于N，则，
由题意得，
∴海里，
∴海里，
又∵垂线段最短，
∴该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行海里，
故选B．
2．一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】D
【分析】过点C作，垂足为点D，先求出的长度，再根据勾股定理求出的长度即可．
【详解】解：过点C作，垂足为点D，
∵，海里，
∴海里，
∵，
∴，
根据勾股定理得：海里，
∴救援艇到达处所用的时间为：．
故选：D．
3．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，
此时，
而，
∴，
∴长度的最小值为．
故选：A．
4．如图，一根木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，木杆折断之前的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面处折断，树的顶端落在离树杆底部处，
∴折断的部分长为，
∴折断前高度为．
故选：D．
5．一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（ ）
A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．不能确定
【答案】C
【详解】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米，
由勾股定理得BC=8米，
△A1BC1中，∠C=90°，A1B1=10米，A1C=5米，由勾股定理得B1C=5米，
∴BB1=B1C-BC=5-8≈0.66（米），故选C．
1．如图，在中，，，，，点D在边上，连接，如果将沿翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线的距离为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】先证是等边三角形，可得，由折叠的性质可得，，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点E作于N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将沿翻折后，点B的对应点为点E，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点E到直线的距离为，故A正确．
故选：A．
2．若直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．不能确定
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，
∴直角三角形斜边的长为，
∴斜边上的中线长是，
故选C．
3．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．10 B．13 C．15 D．26
【答案】B
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，即最大正方形的面积为．
【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
即最大正方形E的面积为：．
故选：B．
4．如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是3和4，则AB上的中线长为（ ）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．3
【答案】B
【分析】根据勾股定理可得AB=5，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是3和4，
∴，
∴AB上的中线长为．
故选：B
5．如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A．+1 B．+2 C．2+2 D．2+3
【答案】C
【分析】根据作图可知平分，结合，由三线合一求出长，根据勾股定理求出长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出长，即可解答．
【详解】解：由作图可知，平分，
∵，，
，，
，点F为的中点，
，
的周长为：
．
故选：C．
6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，且过点，点为中点，已知，则的长为（ ）
A．15 B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，过点作，证明四边形为矩形，可得，然后利用直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：过点作，过点作，如图所示
∴四边形为矩形
即
，，点为中点
，
即为等边三角形
在直角中，
，
为等腰直角三角形
即
故选：B．
7．如图所示，为正方形的边上的一点．，交的延长线于，若正方形的面积为，的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可先证，得是等腰直角三角形，得到的值，再求的面积即可．
【详解】解：正方形，面积为64，，
，，
，
在和中，
，
，
则，
解得，
在中，，
．
故选：B
8．我们知道，三个正整数a、b、c满足，那么，a、b、c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：
①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数：⑤若，，，其中x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数；
其中正确的结论是（ ）．
A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤
【答案】D
【分析】根据勾股数、广义勾股数的定义，再结合整式的运算，反证法逐项判断即可．
【详解】7无法表示成（x、y为非负整数），故7不是广义勾股数，错误；
，故13是广义勾股数，正确；
两个广义勾股数，，
即和为，
但是6无法表示成（x、y为非负整数），
故6不是广义勾股数，即两个广义勾股数的和是广义勾股数的说法错误，错误；
设两个广义勾股数为，，
则：，
即，
即是广义勾股数，
则两个广义勾股数的积是广义勾股数，正确：
若，，，其中x，y，z，m，n是正整数，
则：，，，
即有：，
则x，y，z是一组勾股数，正确，
故选：D．
9．如图，四边形中，，，，则_____．
【答案】
【分析】延长到E，使，连接，由“”可证，可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，延长到E，使，连接．
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
故答案为：．
10．已知点是等腰直角三角形的重心，，那么的长为______．
【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的性质，求出的长，然后根据重心的性质可知，最后由勾股定理可求得的长
【详解】连接并延长交于点，
∴是等腰直角三角形斜边的中线
∴
∵点是等腰直角三角形的重心，
∴，且
在中，根据勾股定理得：
11．如图，在中，，和分别是和边上的高，交于点F，连接，，，则线段的长度是___________．
【答案】5
【分析】过点D作交于点G．利用“”证明出，即得出，，再根据勾股定理求出，最后由求解即可．
【详解】如图，过点D作交于点G．
∵，，
∴为等腰三角形，即．
∵，，
∴．
∵在和中，，，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：5．
12．如图，等边和等边中，，，连、，当时，则_________．
【答案】4
【分析】如图所示，延长交于F，连接，先利用证明，得到，则；再利用证明，得到，则，
利用勾股定理求出，则，在中由勾股定理得：．
【详解】解：如图所示，延长交于F，连接，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中由勾股定理得：，
故答案为：4．
13．如图，是等边三角形，以为边向外作，使，且，，连接，则的长为 ___________．
【答案】
【分析】作，且，连接、；然后根据三角形全等的判定方法，判断出，所以；最后在直角三角形中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，作，且，连接、，
因为，
所以，，
所以是等边三角形，
所以，，
因为，，，
所以，
而，，
所以．
故答案为：．
14．如图，在中，， ，，点分别在边上，且，则的最小值为_____________．
【答案】
【分析】过点作，截取，连接，过作，交的延长线于，则，证明可求得的最小值即为的长，再结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解．
【详解】解：过点作，截取，连接，过作，交的延长线于，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的最小值，即为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
15．如图，在Rt中，，．将绕点逆时针旋转60°，得到，则的长是___________．
【答案】2
【分析】由勾股定理求出，由旋转的性质得出，，证出为等边三角形，得出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴为等边三角形，
∴；
故答案为：2．
16．如图，三角形纸片，，E、F分别是CB、AB边上的点，，将三角形纸片沿FE折叠，使点B的对应点D落在AC边上，且，则BC的长为____．
【答案】22
【分析】设，，首先根据折叠的性质得，再根据勾股定理可得，据此即可求得．
【详解】解：，
设，，
，
，
在中，，
即，
解得或(舍去)，
，，
，
故答案为：22．
17．如图，为上一点，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，探究与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长交于点，根据，可得到，从而得到，再由为的中点，可证得，即可求证；
（2）根据题意得到，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：延长交于点．
，
，
，
，
为的中点，
，
，
．
，
．
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
，
，
．
18．如图所示，在四边形中，，，，，，求的长．
【答案】
【分析】延长BA，CD交于点E，根据多边形内角和定理可得∠B=60°，从而得到∠BEC=30°，再由直角三角形的性质可得BE=2BC=28，DE=2AD=6，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解∶如图，延长BA，CD交于点E，
在四边形中，AD⊥AB，CD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=90°，
∵∠ADC=120°，
∴∠B=60°，
∴∠BEC=90°-∠B=30°，
∵BC=14，AD=3，
∴BE=2BC=28，DE=2AD=6，
∴，
∴．
19．如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．
(1)求证：；
(2)若时，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可根据证明；
（2）勾股定理求得根据已知条件证明是等腰三角形可得，进而根据即可求解．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，
，
，
在与中
；
，
（2）在中，，，
,
,
,
,
,
∴∠ADC=∠ACD，
,
．
20．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD=4m，CD=3m，AD^DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
【答案】
【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，根据求出即可．
【详解】解：连接，
∵，且，
∴在中，，
∵在中，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴这块地的面积是．
21．已知：△ABC的边长，，，且．
(1)判断三角形的形状，并说明理由；
(2)若，求的三边长．
【答案】(1)是直角三角形
(2)，，
【分析】（1）利用勾股定理逆定理，即可求解；
（2）根据，可得∠A=30°，从而得到，继而得到，即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下∶
∵，，，
，
∴
即是直角三角形；
（2）解∶∵，，
∴∠A=30°，
∴，即，
∴，解得∶或（不合题意，舍去）
当时，，
，．
22．如图是边长为的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．
(1)的周长为______；
(2)如图，点、分别是与竖格线和横格线的交点，画出点关于过点竖格线的对称点；
(3)请在图中画出的角平分线．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）利用勾股定理求出，，可得结论；
（2）根据对称性作出图形即可；
（3）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：由题意，，，
的周长，
故答案为：；
（2）如图，点即为所求；
（3）如图，线段即为所求．
23．如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(2)连结，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长为
【分析】（1）根据轴对称的性质，找出关键点、即可；
（2）利用勾股定理分别求出的三边长，即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由勾股定理得，
，，，
∴的周长为．
24．如图，在中，，，．
(1)尺规作图，作边的垂直平分线，垂足为点，交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）分别以点B、C为圆心，大于BC为半径作弧，两弧相交于两点，过这两交点作直线，交AB于D，交BC于E，即可；
（2）连接，先由勾股定理求出AB=8，再由作图知：垂直平分，所以BD=CD，则CD=AB-AD=8-AD，在Rt△ADC中，由勾股定理求解即可．
【详解】(1)解：作BC的垂直平公线交AB于D，交BC于E，即可
如图所示，DE就是所要求作的．
(2)解：连接，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB==8，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，，
，
解得：．
25．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
【答案】会受到影响，24s
【分析】过点A作AB⊥PN于点B，则可得AB=80m，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则易得AE=AF，从而BE=BF，由勾股定理可求得BE的长，从而得EF的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间．
【详解】如图，过点A作AB⊥PN于点B，
∵∠QPN=30°，AP=160m，
∴，
∵80m<100m，
∴学校会受到噪音的影响；
设从点E开始学校学到影响，点F结束，则AE=AF=100m，
∵AB=AB，
∴Rt△ABE≌Rt△ABF，
∴BE=BF，
由勾股定理得：，
∴EF=2BF=120m=0.12km，
则受影响的时间为：（s）．
26．如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距．海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东30°方向，与灯塔相距的的处；乙船位于灯塔的北偏东15°方向，与灯塔相距的处．求：
(1)甲船与灯塔之间的距离；
(2)两艘货船之间的距离．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）连接，可得为正三角形，即可得出答案；
（2）过作于点，可得出为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出答案；
【详解】（1）解：如图，连接．
∵甲船位于灯塔 B 的北偏东30°方向
∴∠ABC=60°
∵，，
∴为正三角形，
∴，
即甲船与灯塔之间的距离为．
（2）解：过作于点．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴两艘货船之间的距离为．
27．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）2.5米．
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可．
【详解】（1）∵，即，
∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH，
∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，
∵在Rt△ACH，
∴，即 ，解得x＝2.5，
∴原来的路线AC的长为2.5米．
28．在与中，，且，．
(1)如图1，若点D与A重合，点E在边上，，，P为线段的中点，连接，求线段的长；
(2)如图2，若点D与C重合，与交于点M，且点M是线段的中点，连接，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在第（2）的条件下，若，且，点P为直线上一点，连接，将沿直线翻折，得到，当线段的长度最大时，直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，证明，得到，，利用等腰直角三角形的性质求出，得到，利用勾股定理求出，利用直角三角形斜边中线性质求出线段的长；
（2）连接，过点A作，求出，得到点A、M、C、E四点共圆，求出，得到，，证明，推出，，再证明，得到，即可推出；
（3）在上截取，连接，证明，得到，求出，得到，勾股定理求出，即可求出，当点A、M、三点共线时，线段的长度最大，再根据三角形面积公式求出答案即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵，
∴，
∴
∵，．
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∵P为线段的中点，
∴
（2）解：，
证明：连接，过点A作，
∵点M是线段的中点，
∴，，
在中，，
∴，
∴点A、M、C、E四点共圆，
∵
∴
∴
∴，
∴
∴，，
∵
∴
∴
又∵
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
（3）解：在上截取，连接，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，,
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
当点A、M、三点共线时，线段的长度最大，
此时，的面积为．
29．等腰，．在上，，．
(1)如图1，连接，探究线段与线段的关系并证明；
(2)如图2，连接，交于为垂足，
①求证：；
②如图3，若交于为的中点，连接，交于，连．当，则的最小值为_____________．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)①见解析，②
【分析】（1）证，可得，，可证；
（2）①过点作于，过点作，交的延长线于，证，可得，证，可得；
②过点作于，证，可得，由等腰直角三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式得出，即可求解．
【详解】（1）解：，，
理由如下：在等腰中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）①证明：如图2，过点作于，过点作，交的延长线于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：如图3，过点作于，
在等腰中，，
∵点是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴,
∴的最小值为，
故答案为：．
30．如图1，已知等腰中，E为边AC一点，过E点作于F点，以为边作正方形，且，．
(1)如图1，连接，求线段的长；
(2)连接，M点为的中点，连接、，求与关系．
(3)将等腰绕A点旋转至如图2的位置，连接，M点为的中点，连接、，求与关系．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】对于（1），根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求出，，再求出，最后根据勾股定理求出答案即可；
对于（2），根据直角三角形的性质即可得出答案，再根据勾股定理的逆定理判断；
对于（3），作，连接，，根据正方形的性质，结合得，可得，，再根据证明 ，可得，，进而得出是等腰直角三角形，最后等腰三角形的性质得出答案．
【详解】（1）如图，过点C作于点D，连接．
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
在中，；
（2）由点M是的中点，
在中，；
在，，
∴；
在中，，
∴.
在中，，
则.
在中，，
∴是直角三角形，
∴；
（3），．
理由：过点B作交的延长线于点H，连接，，
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∵点是的中点，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是等腰三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴，．
1．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．
【答案】12
【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，
则水深尺，
∵尺，
∴尺，
在中，
，
解得，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
2．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为__．
【答案】
【分析】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答．
【详解】解：连接PQ，AM，
由图形变换可知：PQ＝AM，
由勾股定理得：AM＝，
∴PQ＝．
故答案为：．
3．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．
【答案】．
【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案为：．
4．（2020·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
【答案】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案为：．
5．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D；
（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，
∴点D为所求点．
（2）解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴，四边形ABCD是梯形，
∴，
∴四边形AECD是矩形，
∴，
∴四边形ABCD的面积为，
故答案为：．
6．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为，再利用圆规画圆弧即可得到点．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
【详解】解：（1）如图所示，点即为所求．
（2）如图所示，点在点的右侧，所以
1．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学三模）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出、、的长，可得为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得的值，继续用勾股定理即可求出的值．
【详解】解：由题可知，，，，
，
又平分，
，且,即三角形ABD是直角三角形，
．
故选：A．
2．（2022·江苏苏州·一模）如图，在中，是边上的中线，将沿着翻折，点的对称点为．已知，，那么点与点之间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥BC′于E，根据中线，得出BD=CD=，根据折叠C′D=CD=2，∠ADC=∠ADC′=30°，根据补角性质得出∠BDC′=180°-∠CDC′=120°，根据等腰三角形的判定与性质得出BE=C′E，∠BDE=∠C′DE=60°，然后利用30°直角三角形性质，勾股定理求解即可．
【详解】解：过点D作DE⊥BC′于E，
∵AD是边上的中线，
∴BD=CD=，
∵将沿着翻折，点的对称点为，
∴C′D=CD=2，∠ADC=∠ADC′=30°，
∴∠CDC′=60°，
∴∠BDC′=180°-∠CDC′=120°，
∵BD=C′D=2，DE⊥BC′，
∴BE=C′E，∠BDE=∠C′DE=60°，
∴∠EBD=90°-∠BDE=30°，
∴DE=，
∴BE=，
∴BC′=2．
故选择C．
3．（2022·江苏南通·一模）如图，矩形ABCD中，，，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由题意即可推出AE，CF，EC的长度，根据勾股定理即可推出AE，EF，AF的长度，即可推出△AEF为等腰直角三角形，进行解答即可．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=3，
∴CD=2，BC=3，
∵F为CD的中点，
∴DF=BE=1，
∴EC=2，CF=1，
∴AE2=5，EF2=5，AF2=10，
∴AE=EF，
∵AE2+EF2=AF2，
∴的最小值为．
故选：B．
4．（2022·江苏徐州·一模）如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A． B．5
C． D．8
【答案】A
【分析】连接，根据基本作图，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出．再根据证明≌，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在中利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，
由题可得，点和点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC．
在与中，
，
∴≌（ASA），
∴，
∴，．
在中，
∵，
∴，
即，
解得．
故选：A．
5．（2022·江苏宿迁·一模）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
【答案】45°
【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接AC．
由题意，AC＝ ，BC＝，AB＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
故答案为：45°．
6．（2022·江苏淮安·二模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为_____．
【答案】
【分析】如图所示，连接CE，由题意得MN是AC的垂直平分线，则AE=CE，再由三线合一定理得到，AD⊥BC，利用勾股定理求出AD的长，设DE=x，则CE=AE=AD-DE=4-x，在Rt△DEC中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接CE，由题意得MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC，
∴，AD⊥BC，
∴，
设DE=x，则CE=AE=AD-DE=4-x，
在Rt△DEC中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
7．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，的直角顶点在边的中点处，其中，，绕点自由旋转，且，分别交，于点，，当，时，的长为______．
【答案】
【分析】连接AO，证明，得，在利用勾股定理求出的长即可．
【详解】如图，连接AO，
∵由题意可知是等腰直角三角形，，是边的中点
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
8．（2022·江苏镇江·模拟预测）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上．
(1)只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹）
(2)D到AB的距离是 ．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接与的中点交于点，则即为所求，
（2）根据角平分线的性质，设D到AB的距离是,则到的距离是,根据等面积法即可求解．
【详解】（1）如图，连接与的中点交于点，则即为所求，
，
是的角平分线，
在上，即D到AB、BC两边距离相等，
（2）设D到AB的距离是,则到的距离是,
，
，
，
解得，
故答案为：．
9．（2022·江苏苏州·一模）如图，，，垂足分别为点E，点D．
(1)求证：；
(2)若，，求CD的长度．
【答案】(1)见详解；(2)12
【分析】（1）根据，，得出∠AEB=∠ADC=90°，利用AAS可证△ABE≌△ACD；
（2）先根据勾股定理求出BE，然后结合△ABE≌△ACD即可得解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS） ；
（2）解：在Rt△ABE中，BE=，
由（1）知△ABE≌△ACD，
∴CD=BE=12 ．
10．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台AC，利用旗杆顶部的绳索，荡过90°到达与高台AC水平距离为17米（即，米），高为3米的矮台BD的顶端B．
(1)求旗杆的高度OM；
(2)求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【答案】(1)旗杆的高度OM为15米
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米
【分析】（1）如图，过点作，过点作，设，由题意知四边形均为矩形，，由得，，，得的值，由计算即可．
（2）在中，，，由计算求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，过点作，设
∴
∴四边形均为矩形
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
解得：
∴
∴旗杆的高度为15米．
（2）解：由题意知
在中，
∴
∴
∴玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
考点10 勾股定理
勾股定理主要包括勾股定理、勾股定理的逆定理以及勾股数、直角三角形的判断。在中考中，勾股定理主要以选择题和填空题的形式进行考查，但是勾股定理同样是作为一项工具性质的知识，多与其他几何知识结合，多用来计算三角形边的长度，难度中等。
一、勾股定理；
二、勾股定理的逆定理；
三、勾股定理的应用。
考向一：勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：，， ．
2.勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
在图（1）中
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
在图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
在图（3）中， 。
1．如图，中，为的中点，在上，且．若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm，现将沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则的长为（ ）cm．
A． B． C．3 D．
3．如图，在中，，，的平分线交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，三角形中， 若， ，则线段（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．如图，在中，，点为边AB的中点，，交AC于点E，DF交BC于点．若，，则EF的长为（ ）
A． B．5 C． D．13
考向二：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；
若时，△ABC是锐角三角形；若时，△ABC是钝角三角形．
3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形。
4.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
（1）较小的直角边为连续奇数；
（2）较长的直角边与对应斜边相差1.
（3）假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，4，5
2．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法计算
3．若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝3，b＝5，c＝4
C．a＝4，b＝8，c＝9 D．a＝9，b＝40，c＝41
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，，3 B．10，15，20 C．，3，4 D．2，3，4
5．下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝1，b＝1，
C．a＝6，b＝10，c＝8 D．a＝3，b＝4，
考向二：勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且海里．那么该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行（ ）
A．50海里 B．海里 C．65海里 D．75海里
2．一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
3．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一根木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，木杆折断之前的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（ ）
A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．不能确定
1．如图，在中，，，，，点D在边上，连接，如果将沿翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线的距离为（ ）
A． B．4 C． D．
2．若直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．不能确定
3．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．10 B．13 C．15 D．26
4．如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是3和4，则AB上的中线长为（ ）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．3
5．如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A．+1 B．+2 C．2+2 D．2+3
6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，且过点，点为中点，已知，则的长为（ ）
A．15 B． C． D．
7．如图所示，为正方形的边上的一点．，交的延长线于，若正方形的面积为，的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．我们知道，三个正整数a、b、c满足，那么，a、b、c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：
①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数：⑤若，，，其中x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数；
其中正确的结论是（ ）．
A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤
9．如图，四边形中，，，，则_____．
10．已知点是等腰直角三角形的重心，，那么的长为______．
11．如图，在中，，和分别是和边上的高，交于点F，连接，，，则线段的长度是___________．
12．如图，等边和等边中，，，连、，当时，则_________．
13．如图，是等边三角形，以为边向外作，使，且，，连接，则的长为 ___________．
14．如图，在中，， ，，点分别在边上，且，则的最小值为_____________．
15．如图，在Rt中，，．将绕点逆时针旋转60°，得到，则的长是___________．
16．如图，三角形纸片，，E、F分别是CB、AB边上的点，，将三角形纸片沿FE折叠，使点B的对应点D落在AC边上，且，则BC的长为____．
17．如图，为上一点，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，探究与之间的数量关系．
18．如图所示，在四边形中，，，，，，求的长．
19．如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．
(1)求证：；
(2)若时，求的长．
20．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD=4m，CD=3m，AD^DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
21．已知：△ABC的边长，，，且．
(1)判断三角形的形状，并说明理由；
(2)若，求的三边长．
22．如图是边长为的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．
(1)的周长为______；
(2)如图，点、分别是与竖格线和横格线的交点，画出点关于过点竖格线的对称点；
(3)请在图中画出的角平分线．
23．如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(2)连结，求的周长．
24．如图，在中，，，．
(1)尺规作图，作边的垂直平分线，垂足为点，交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求线段的长．
25．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
26．如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距．海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东30°方向，与灯塔相距的的处；乙船位于灯塔的北偏东15°方向，与灯塔相距的处．求：
(1)甲船与灯塔之间的距离；
(2)两艘货船之间的距离．
27．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
28．在与中，，且，．
(1)如图1，若点D与A重合，点E在边上，，，P为线段的中点，连接，求线段的长；
(2)如图2，若点D与C重合，与交于点M，且点M是线段的中点，连接，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在第（2）的条件下，若，且，点P为直线上一点，连接，将沿直线翻折，得到，当线段的长度最大时，直接写出的面积．
29．等腰，．在上，，．
(1)如图1，连接，探究线段与线段的关系并证明；
(2)如图2，连接，交于为垂足，
①求证：；
②如图3，若交于为的中点，连接，交于，连．当，则的最小值为_____________．
30．如图1，已知等腰中，E为边AC一点，过E点作于F点，以为边作正方形，且，．
(1)如图1，连接，求线段的长；
(2)连接，M点为的中点，连接、，求与关系．
(3)将等腰绕A点旋转至如图2的位置，连接，M点为的中点，连接、，求与关系．
1．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．
2．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为__．
3．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．
4．（2020·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
5．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
6．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
1．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学三模）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏苏州·一模）如图，在中，是边上的中线，将沿着翻折，点的对称点为．已知，，那么点与点之间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．4
3．（2022·江苏南通·一模）如图，矩形ABCD中，，，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．4
4．（2022·江苏徐州·一模）如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A． B．5
C． D．8
5．（2022·江苏宿迁·一模）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
6．（2022·江苏淮安·二模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为_____．
7．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，的直角顶点在边的中点处，其中，，绕点自由旋转，且，分别交，于点，，当，时，的长为______．
8．（2022·江苏镇江·模拟预测）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上．
(1)只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹）
(2)D到AB的距离是 ．
9．（2022·江苏苏州·一模）如图，，，垂足分别为点E，点D．
(1)求证：；
(2)若，，求CD的长度．
10．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台AC，利用旗杆顶部的绳索，荡过90°到达与高台AC水平距离为17米（即，米），高为3米的矮台BD的顶端B．
(1)求旗杆的高度OM；
(2)求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
1．如图，中，为的中点，在上，且．若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵，是的中点，
∴,
在中，
故选：C
2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm，现将沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则的长为（ ）cm．
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长．
【详解】解：，，，
，
由折叠的性质得：，，
，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
故选：C．
3．如图，在中，，，的平分线交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过作于，根据等腰三角形的性质得到，推出，设，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过作于，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
故，
故选：A．
4．如图，三角形中， 若， ，则线段（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】将绕点A顺时针旋转得到．只要证明是直角三角形，，即可解决问题．
【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，
则，
在中，由勾股定理得：，
故选：C．
5．如图，在中，，点为边AB的中点，，交AC于点E，DF交BC于点．若，，则EF的长为（ ）
A． B．5 C． D．13
【答案】A
【分析】过点A作交FD的延长线于点G，连接EG，可证，可得，，由勾股定理可得结论．
【详解】解：过点A作交FD的延长线于点G，连接EG，
∵点D是AB的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
考向二：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；
若时，△ABC是锐角三角形；若时，△ABC是钝角三角形．
3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形。
4.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
（1）较小的直角边为连续奇数；
（2）较长的直角边与对应斜边相差1.
（3）假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，4，5
【答案】C
【分析】根据勾股定理，可判断是否为直角三角形
【详解】A项 ，故不符合题意；
B项2+3=5，不能构成三角形，故不符合题意；
C项，3，4，5为常见的勾股数，能组成直角三角形，符合题意；
D项 ，故不符合题意．
故选：C．
2．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】B
【分析】如图连接、，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明是直角直角三角形，可得，即可求出的度数．
【详解】解：如图：
∵，，，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，，
又∵，
∴是直角直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
3．若a，b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝3，b＝5，c＝4
C．a＝4，b＝8，c＝9 D．a＝9，b＝40，c＝41
【答案】C
【分析】直接用勾股定理逆定理逐一验证即可．
【详解】A、，能构成直角三角形；
B、，能构成直角三角形；
C、，不能构成直角三角形；
D、，能构成直角三角形．
故选：C．
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，，3 B．10，15，20 C．，3，4 D．2，3，4
【答案】C
【分析】根据勾股定理逆定理逐个进行验证即可．
【详解】解：A、因为，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、因为，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为，所以能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、因为，所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．下列各组数中以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝1，b＝1，
C．a＝6，b＝10，c＝8 D．a＝3，b＝4，
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理计算即可判断．
【详解】解：A、因为22+32≠42，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
B、因为12+12≠2，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
C、因为62+82=102，所以该三角形是直角三角形，故符合题意；
D、因为2+32≠42，所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
考向二：勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且海里．那么该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行（ ）
A．50海里 B．海里 C．65海里 D．75海里
【答案】B
【分析】如图所示，过点M作于N，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点M作于N，则，
由题意得，
∴海里，
∴海里，
又∵垂线段最短，
∴该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行海里，
故选B．
2．一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】D
【分析】过点C作，垂足为点D，先求出的长度，再根据勾股定理求出的长度即可．
【详解】解：过点C作，垂足为点D，
∵，海里，
∴海里，
∵，
∴，
根据勾股定理得：海里，
∴救援艇到达处所用的时间为：．
故选：D．
3．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，
此时，
而，
∴，
∴长度的最小值为．
故选：A．
4．如图，一根木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，木杆折断之前的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面处折断，树的顶端落在离树杆底部处，
∴折断的部分长为，
∴折断前高度为．
故选：D．
5．一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（ ）
A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．不能确定
【答案】C
【详解】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米，
由勾股定理得BC=8米，
△A1BC1中，∠C=90°，A1B1=10米，A1C=5米，由勾股定理得B1C=5米，
∴BB1=B1C-BC=5-8≈0.66（米），故选C．
1．如图，在中，，，，，点D在边上，连接，如果将沿翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线的距离为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】先证是等边三角形，可得，由折叠的性质可得，，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点E作于N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将沿翻折后，点B的对应点为点E，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点E到直线的距离为，故A正确．
故选：A．
2．若直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．不能确定
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，
∴直角三角形斜边的长为，
∴斜边上的中线长是，
故选C．
3．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．10 B．13 C．15 D．26
【答案】B
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，即最大正方形的面积为．
【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
即最大正方形E的面积为：．
故选：B．
4．如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是3和4，则AB上的中线长为（ ）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．3
【答案】B
【分析】根据勾股定理可得AB=5，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是3和4，
∴，
∴AB上的中线长为．
故选：B
5．如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A．+1 B．+2 C．2+2 D．2+3
【答案】C
【分析】根据作图可知平分，结合，由三线合一求出长，根据勾股定理求出长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出长，即可解答．
【详解】解：由作图可知，平分，
∵，，
，，
，点F为的中点，
，
的周长为：
．
故选：C．
6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，且过点，点为中点，已知，则的长为（ ）
A．15 B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，过点作，证明四边形为矩形，可得，然后利用直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：过点作，过点作，如图所示
∴四边形为矩形
即
，，点为中点
，
即为等边三角形
在直角中，
，
为等腰直角三角形
即
故选：B．
7．如图所示，为正方形的边上的一点．，交的延长线于，若正方形的面积为，的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可先证，得是等腰直角三角形，得到的值，再求的面积即可．
【详解】解：正方形，面积为64，，
，，
，
在和中，
，
，
则，
解得，
在中，，
．
故选：B
8．我们知道，三个正整数a、b、c满足，那么，a、b、c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：
①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数：⑤若，，，其中x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数；
其中正确的结论是（ ）．
A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤
【答案】D
【分析】根据勾股数、广义勾股数的定义，再结合整式的运算，反证法逐项判断即可．
【详解】7无法表示成（x、y为非负整数），故7不是广义勾股数，错误；
，故13是广义勾股数，正确；
两个广义勾股数，，
即和为，
但是6无法表示成（x、y为非负整数），
故6不是广义勾股数，即两个广义勾股数的和是广义勾股数的说法错误，错误；
设两个广义勾股数为，，
则：，
即，
即是广义勾股数，
则两个广义勾股数的积是广义勾股数，正确：
若，，，其中x，y，z，m，n是正整数，
则：，，，
即有：，
则x，y，z是一组勾股数，正确，
故选：D．
9．如图，四边形中，，，，则_____．
【答案】
【分析】延长到E，使，连接，由“”可证，可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，延长到E，使，连接．
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
故答案为：．
10．已知点是等腰直角三角形的重心，，那么的长为______．
【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的性质，求出的长，然后根据重心的性质可知，最后由勾股定理可求得的长
【详解】连接并延长交于点，
∴是等腰直角三角形斜边的中线
∴
∵点是等腰直角三角形的重心，
∴，且
在中，根据勾股定理得：
11．如图，在中，，和分别是和边上的高，交于点F，连接，，，则线段的长度是___________．
【答案】5
【分析】过点D作交于点G．利用“”证明出，即得出，，再根据勾股定理求出，最后由求解即可．
【详解】如图，过点D作交于点G．
∵，，
∴为等腰三角形，即．
∵，，
∴．
∵在和中，，，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：5．
12．如图，等边和等边中，，，连、，当时，则_________．
【答案】4
【分析】如图所示，延长交于F，连接，先利用证明，得到，则；再利用证明，得到，则，
利用勾股定理求出，则，在中由勾股定理得：．
【详解】解：如图所示，延长交于F，连接，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中由勾股定理得：，
故答案为：4．
13．如图，是等边三角形，以为边向外作，使，且，，连接，则的长为 ___________．
【答案】
【分析】作，且，连接、；然后根据三角形全等的判定方法，判断出，所以；最后在直角三角形中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，作，且，连接、，
因为，
所以，，
所以是等边三角形，
所以，，
因为，，，
所以，
而，，
所以．
故答案为：．
14．如图，在中，， ，，点分别在边上，且，则的最小值为_____________．
【答案】
【分析】过点作，截取，连接，过作，交的延长线于，则，证明可求得的最小值即为的长，再结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解．
【详解】解：过点作，截取，连接，过作，交的延长线于，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的最小值，即为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
15．如图，在Rt中，，．将绕点逆时针旋转60°，得到，则的长是___________．
【答案】2
【分析】由勾股定理求出，由旋转的性质得出，，证出为等边三角形，得出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴为等边三角形，
∴；
故答案为：2．
16．如图，三角形纸片，，E、F分别是CB、AB边上的点，，将三角形纸片沿FE折叠，使点B的对应点D落在AC边上，且，则BC的长为____．
【答案】22
【分析】设，，首先根据折叠的性质得，再根据勾股定理可得，据此即可求得．
【详解】解：，
设，，
，
，
在中，，
即，
解得或(舍去)，
，，
，
故答案为：22．
17．如图，为上一点，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，探究与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长交于点，根据，可得到，从而得到，再由为的中点，可证得，即可求证；
（2）根据题意得到，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：延长交于点．
，
，
，
，
为的中点，
，
，
．
，
．
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
，
，
．
18．如图所示，在四边形中，，，，，，求的长．
【答案】
【分析】延长BA，CD交于点E，根据多边形内角和定理可得∠B=60°，从而得到∠BEC=30°，再由直角三角形的性质可得BE=2BC=28，DE=2AD=6，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解∶如图，延长BA，CD交于点E，
在四边形中，AD⊥AB，CD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=90°，
∵∠ADC=120°，
∴∠B=60°，
∴∠BEC=90°-∠B=30°，
∵BC=14，AD=3，
∴BE=2BC=28，DE=2AD=6，
∴，
∴．
19．如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．
(1)求证：；
(2)若时，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可根据证明；
（2）勾股定理求得根据已知条件证明是等腰三角形可得，进而根据即可求解．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，
，
，
在与中
；
，
（2）在中，，，
,
,
,
,
,
∴∠ADC=∠ACD，
,
．
20．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD=4m，CD=3m，AD^DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．
【答案】
【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，根据求出即可．
【详解】解：连接，
∵，且，
∴在中，，
∵在中，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴这块地的面积是．
21．已知：△ABC的边长，，，且．
(1)判断三角形的形状，并说明理由；
(2)若，求的三边长．
【答案】(1)是直角三角形
(2)，，
【分析】（1）利用勾股定理逆定理，即可求解；
（2）根据，可得∠A=30°，从而得到，继而得到，即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下∶
∵，，，
，
∴
即是直角三角形；
（2）解∶∵，，
∴∠A=30°，
∴，即，
∴，解得∶或（不合题意，舍去）
当时，，
，．
22．如图是边长为的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．
(1)的周长为______；
(2)如图，点、分别是与竖格线和横格线的交点，画出点关于过点竖格线的对称点；
(3)请在图中画出的角平分线．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）利用勾股定理求出，，可得结论；
（2）根据对称性作出图形即可；
（3）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：由题意，，，
的周长，
故答案为：；
（2）如图，点即为所求；
（3）如图，线段即为所求．
23．如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(2)连结，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长为
【分析】（1）根据轴对称的性质，找出关键点、即可；
（2）利用勾股定理分别求出的三边长，即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由勾股定理得，
，，，
∴的周长为．
24．如图，在中，，，．
(1)尺规作图，作边的垂直平分线，垂足为点，交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）分别以点B、C为圆心，大于BC为半径作弧，两弧相交于两点，过这两交点作直线，交AB于D，交BC于E，即可；
（2）连接，先由勾股定理求出AB=8，再由作图知：垂直平分，所以BD=CD，则CD=AB-AD=8-AD，在Rt△ADC中，由勾股定理求解即可．
【详解】(1)解：作BC的垂直平公线交AB于D，交BC于E，即可
如图所示，DE就是所要求作的．
(2)解：连接，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB==8，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵在中，，
，
解得：．
25．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
【答案】会受到影响，24s
【分析】过点A作AB⊥PN于点B，则可得AB=80m，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则易得AE=AF，从而BE=BF，由勾股定理可求得BE的长，从而得EF的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间．
【详解】如图，过点A作AB⊥PN于点B，
∵∠QPN=30°，AP=160m，
∴，
∵80m<100m，
∴学校会受到噪音的影响；
设从点E开始学校学到影响，点F结束，则AE=AF=100m，
∵AB=AB，
∴Rt△ABE≌Rt△ABF，
∴BE=BF，
由勾股定理得：，
∴EF=2BF=120m=0.12km，
则受影响的时间为：（s）．
26．如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距．海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东30°方向，与灯塔相距的的处；乙船位于灯塔的北偏东15°方向，与灯塔相距的处．求：
(1)甲船与灯塔之间的距离；
(2)两艘货船之间的距离．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）连接，可得为正三角形，即可得出答案；
（2）过作于点，可得出为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出答案；
【详解】（1）解：如图，连接．
∵甲船位于灯塔 B 的北偏东30°方向
∴∠ABC=60°
∵，，
∴为正三角形，
∴，
即甲船与灯塔之间的距离为．
（2）解：过作于点．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴两艘货船之间的距离为．
27．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）2.5米．
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可．
【详解】（1）∵，即，
∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH，
∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，
∵在Rt△ACH，
∴，即 ，解得x＝2.5，
∴原来的路线AC的长为2.5米．
28．在与中，，且，．
(1)如图1，若点D与A重合，点E在边上，，，P为线段的中点，连接，求线段的长；
(2)如图2，若点D与C重合，与交于点M，且点M是线段的中点，连接，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在第（2）的条件下，若，且，点P为直线上一点，连接，将沿直线翻折，得到，当线段的长度最大时，直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，证明，得到，，利用等腰直角三角形的性质求出，得到，利用勾股定理求出，利用直角三角形斜边中线性质求出线段的长；
（2）连接，过点A作，求出，得到点A、M、C、E四点共圆，求出，得到，，证明，推出，，再证明，得到，即可推出；
（3）在上截取，连接，证明，得到，求出，得到，勾股定理求出，即可求出，当点A、M、三点共线时，线段的长度最大，再根据三角形面积公式求出答案即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵，
∴，
∴
∵，．
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∵P为线段的中点，
∴
（2）解：，
证明：连接，过点A作，
∵点M是线段的中点，
∴，，
在中，，
∴，
∴点A、M、C、E四点共圆，
∵
∴
∴
∴，
∴
∴，，
∵
∴
∴
又∵
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
（3）解：在上截取，连接，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，,
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
当点A、M、三点共线时，线段的长度最大，
此时，的面积为．
29．等腰，．在上，，．
(1)如图1，连接，探究线段与线段的关系并证明；
(2)如图2，连接，交于为垂足，
①求证：；
②如图3，若交于为的中点，连接，交于，连．当，则的最小值为_____________．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)①见解析，②
【分析】（1）证，可得，，可证；
（2）①过点作于，过点作，交的延长线于，证，可得，证，可得；
②过点作于，证，可得，由等腰直角三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式得出，即可求解．
【详解】（1）解：，，
理由如下：在等腰中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）①证明：如图2，过点作于，过点作，交的延长线于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：如图3，过点作于，
在等腰中，，
∵点是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴,
∴的最小值为，
故答案为：．
30．如图1，已知等腰中，E为边AC一点，过E点作于F点，以为边作正方形，且，．
(1)如图1，连接，求线段的长；
(2)连接，M点为的中点，连接、，求与关系．
(3)将等腰绕A点旋转至如图2的位置，连接，M点为的中点，连接、，求与关系．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】对于（1），根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求出，，再求出，最后根据勾股定理求出答案即可；
对于（2），根据直角三角形的性质即可得出答案，再根据勾股定理的逆定理判断；
对于（3），作，连接，，根据正方形的性质，结合得，可得，，再根据证明 ，可得，，进而得出是等腰直角三角形，最后等腰三角形的性质得出答案．
【详解】（1）如图，过点C作于点D，连接．
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
在中，；
（2）由点M是的中点，
在中，；
在，，
∴；
在中，，
∴.
在中，，
则.
在中，，
∴是直角三角形，
∴；
（3），．
理由：过点B作交的延长线于点H，连接，，
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∵点是的中点，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是等腰三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴，．
1．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．
【答案】12
【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，
则水深尺，
∵尺，
∴尺，
在中，
，
解得，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
2．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为__．
【答案】
【分析】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答．
【详解】解：连接PQ，AM，
由图形变换可知：PQ＝AM，
由勾股定理得：AM＝，
∴PQ＝．
故答案为：．
3．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．
【答案】．
【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案为：．
4．（2020·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
【答案】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案为：．
5．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D；
（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，
∴点D为所求点．
（2）解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴，四边形ABCD是梯形，
∴，
∴四边形AECD是矩形，
∴，
∴四边形ABCD的面积为，
故答案为：．
6．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为，再利用圆规画圆弧即可得到点．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
【详解】解：（1）如图所示，点即为所求．
（2）如图所示，点在点的右侧，所以
1．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学三模）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出、、的长，可得为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得的值，继续用勾股定理即可求出的值．
【详解】解：由题可知，，，，
，
又平分，
，且,即三角形ABD是直角三角形，
．
故选：A．
2．（2022·江苏苏州·一模）如图，在中，是边上的中线，将沿着翻折，点的对称点为．已知，，那么点与点之间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥BC′于E，根据中线，得出BD=CD=，根据折叠C′D=CD=2，∠ADC=∠ADC′=30°，根据补角性质得出∠BDC′=180°-∠CDC′=120°，根据等腰三角形的判定与性质得出BE=C′E，∠BDE=∠C′DE=60°，然后利用30°直角三角形性质，勾股定理求解即可．
【详解】解：过点D作DE⊥BC′于E，
∵AD是边上的中线，
∴BD=CD=，
∵将沿着翻折，点的对称点为，
∴C′D=CD=2，∠ADC=∠ADC′=30°，
∴∠CDC′=60°，
∴∠BDC′=180°-∠CDC′=120°，
∵BD=C′D=2，DE⊥BC′，
∴BE=C′E，∠BDE=∠C′DE=60°，
∴∠EBD=90°-∠BDE=30°，
∴DE=，
∴BE=，
∴BC′=2．
故选择C．
3．（2022·江苏南通·一模）如图，矩形ABCD中，，，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由题意即可推出AE，CF，EC的长度，根据勾股定理即可推出AE，EF，AF的长度，即可推出△AEF为等腰直角三角形，进行解答即可．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=3，
∴CD=2，BC=3，
∵F为CD的中点，
∴DF=BE=1，
∴EC=2，CF=1，
∴AE2=5，EF2=5，AF2=10，
∴AE=EF，
∵AE2+EF2=AF2，
∴的最小值为．
故选：B．
4．（2022·江苏徐州·一模）如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A． B．5
C． D．8
【答案】A
【分析】连接，根据基本作图，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出．再根据证明≌，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在中利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，
由题可得，点和点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC．
在与中，
，
∴≌（ASA），
∴，
∴，．
在中，
∵，
∴，
即，
解得．
故选：A．
5．（2022·江苏宿迁·一模）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
【答案】45°
【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接AC．
由题意，AC＝ ，BC＝，AB＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
故答案为：45°．
6．（2022·江苏淮安·二模）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为_____．
【答案】
【分析】如图所示，连接CE，由题意得MN是AC的垂直平分线，则AE=CE，再由三线合一定理得到，AD⊥BC，利用勾股定理求出AD的长，设DE=x，则CE=AE=AD-DE=4-x，在Rt△DEC中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接CE，由题意得MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC，
∴，AD⊥BC，
∴，
设DE=x，则CE=AE=AD-DE=4-x，
在Rt△DEC中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
7．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，的直角顶点在边的中点处，其中，，绕点自由旋转，且，分别交，于点，，当，时，的长为______．
【答案】
【分析】连接AO，证明，得，在利用勾股定理求出的长即可．
【详解】如图，连接AO，
∵由题意可知是等腰直角三角形，，是边的中点
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
8．（2022·江苏镇江·模拟预测）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上．
(1)只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹）
(2)D到AB的距离是 ．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接与的中点交于点，则即为所求，
（2）根据角平分线的性质，设D到AB的距离是,则到的距离是,根据等面积法即可求解．
【详解】（1）如图，连接与的中点交于点，则即为所求，
，
是的角平分线，
在上，即D到AB、BC两边距离相等，
（2）设D到AB的距离是,则到的距离是,
，
，
，
解得，
故答案为：．
9．（2022·江苏苏州·一模）如图，，，垂足分别为点E，点D．
(1)求证：；
(2)若，，求CD的长度．
【答案】(1)见详解；(2)12
【分析】（1）根据，，得出∠AEB=∠ADC=90°，利用AAS可证△ABE≌△ACD；
（2）先根据勾股定理求出BE，然后结合△ABE≌△ACD即可得解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS） ；
（2）解：在Rt△ABE中，BE=，
由（1）知△ABE≌△ACD，
∴CD=BE=12 ．
10．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台AC，利用旗杆顶部的绳索，荡过90°到达与高台AC水平距离为17米（即，米），高为3米的矮台BD的顶端B．
(1)求旗杆的高度OM；
(2)求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【答案】(1)旗杆的高度OM为15米
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米
【分析】（1）如图，过点作，过点作，设，由题意知四边形均为矩形，，由得，，，得的值，由计算即可．
（2）在中，，，由计算求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，过点作，设
∴
∴四边形均为矩形
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
解得：
∴
∴旗杆的高度为15米．
（2）解：由题意知
在中，
∴
∴
∴玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
相关试卷
2024年中考数学一轮复习《勾股定理》考点课时精炼(含答案)： 这是一份2024年中考数学一轮复习《勾股定理》考点课时精炼(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点10 反比例函数及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（解析版）： 这是一份考点10 反比例函数及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（解析版），共83页。
考点01 实数-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（解析版）： 这是一份考点01 实数-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（解析版），共22页。试卷主要包含了实数的相关概念；，实数的分类；，实数的比较大小；，实数的运算；等内容，欢迎下载使用。
