广东省广州市广东实验中学2022-2023学年高三数学上学期第二次阶段考试试卷（Word版附答案）

广东实验中学2023届高三第二次阶段考试（数学）

第一部分  选择题（共60分）

一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由补集、交集的概念运算

【详解】，则．

故选：B

2. 如图，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用任意角的三角函数定义写出两点的坐标，再求向量数量积即可

【详解】由图可知，

所以，

故选：A.

3. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的基本关系式，求得的值，再由，结合两角和的正弦公式，即可求解.

【详解】由，可得，

因为，，可得，，

所以

.

故选：A.

4. 下列函数中，其图象与函数的图象关于y＝－x对称的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将函数中的变为，变为，整理可得答案.

【详解】将函数中的变为，变为得

整理得，

即图象与函数的图象关于y＝－x对称的是

故选：D.

5. 已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，根据余弦函数的周期性质，结合函数图象平移性质以及单调性，可得答案.

【详解】由函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，则函数的周期，则，则，

由将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，

由，，函数的图象在区间上是增函数，故，解得，

由，当时，，

故选：B.

6. 若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是（ ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设切点坐标，根据导数几何意义列等式，把有两条切线的问题转化为方程有两个解的问题，再把方程有两个解的问题转化为函数图像有两个交点的问题，结合函数图像求的范围即可.

【详解】设切点为，的导函数为，

可得切线的斜率，

由切线经过点，可得，

化简可得①，

由题意可得方程①有两解，

设，可得，

当时，，所以在上递减，

当时，，所以在上递增，

可得在处取得最大值，

如图所示，所以，解得.

故选：A.

7. 已知函数的图象关于对称，且，则的值是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果

【详解】因为，

其中，，

由于函数的图象关于对称，所以，

即，化简得，

所以，即，

所以，

故选：C.

8. 设，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】法一：构造，求导分析单调性，结合可得，再构造，求导分析单调性可得，进而判断出即可.

【详解】法一：若，令

在上单调递增，

，即，比较与的大小，先比较与

若

令

时单调递减，.

法二：秒杀

另一方面由时，，

.

故选：B

二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9. 已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 的最小值为6 D. 若与的夹角为锐角，则

【答案】BC

【解析】

【分析】由平面向量垂直、平行以及模长的坐标计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：若，故可得，解得或，故A错误；

B：当时，，此时，则，故B正确；

C： ，故，当时，取得最小值，故C正确；

D：若与的夹角为锐角，则，解得；

当与共线时，，解得，故，故D错误；

综上所述，正确的选项是：.

故选：BC.

10. 为了得到函数的图象，可将函数的图象（    ）

A. 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 B. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

C. 向下平移两个单位长度 D. 向上平移两个单位长度

【答案】BD

【解析】

【分析】，可通过平移，也可通过伸缩得到.

【详解】,

可将函数的图象向上平移两个单位长度得到，

也可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到.

故选：BD

11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ）

A. 若a>b，则

B. c＝10，a＝12，∠A＝60°，则有唯一解

C. 若a，b，c成等比数列，的取值范围为

D. 若，则△ABC为锐角三角形

【答案】ABC

【解析】

【分析】A选项利用三角形中大边对大角即可判断出.B，D选项利用正余弦定理可判断.

C选项，由a，b，c成等比数列，用等比中项的性质，再结合三角形边的性质，两边之和大于第三边列不等式组即可.

【详解】对于A：a>b可知A>B，由余弦函数单调性可知故A正确；

对于B，在中，c＝10，a＝12，，得，所以

△ABC有唯一解，故B正确；

对于C，∵a，b，c成等比数列，设，q>0，则b＝aq，，

∴，∴，∴，故C正确；

对于D，若，则，故，由正弦定理得：，

由余弦定理得，则，C为锐角，另外两个角不能确定为锐角还钝角，故D错误；

故选：ABC

12. 已知数列满足，，记数列的前n项和为，对恒成立，则下列说法正确的有（    ）

A. 若，则数列为递减数列

B. 若，则数列为递增数列

C. 若a＝3，则的可能取值为

D. 若a＝3，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，取特殊情况，可得答案；对于B，构造函数，作图，利用数形结合思想，可得答案；

对于C、D，同B，可得数列的取值方程，整理求得数列相邻两项的大小关系，利用放缩法，解得裂项相消和等比数列求和，可得答案.

【详解】对于A，令，解得，即数列的不动点为2，所以当a＝2时，，此时为常数列，A错误；

对于B，作出函数与函数y＝x的图像如图：

由图可知B正确；

对于C，作出函数与函数y＝x的图像如图：

由图可知：，∴，∴，

即，又∵，∴，

一方面，由得，

∴，，

∴

∵，且当n→＋∞，，∴，∵，

∴另一方面，由，，得，，

又∵，，，且，∴，

所以CD正确.

故选：BCD.

第二部分    非选择题（共90分）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图所示的平面直角坐标系、设钟表秒针针尖的坐标为P（x，y），若秒针针尖的初始坐标为当秒针由点P0的位置（此时t＝0）开始走时，点P的纵坐标y与时间t（单位：秒）的函数关系为______.

【答案】，

【解析】

【分析】确定对应的角度，再根据点在单位圆上，写出函数的解析式.

【详解】由题意，半径，函数的周期，所以时刻秒针针尖经过的圆弧对应的角度为，以轴正半轴为始边，所在射线为终边，得对应的角度为，秒针是顺时针，则对应的角度为，所以时刻的纵坐标，.

故答案为：，.

14. 等差数列前项和为，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由结合等差数列的性质可得，然后利用等差数列的求和公式可求得结果

【详解】

，即

故答案为：52

15. 计算：_______.

【答案】

【解析】

【分析】把化为，逆用二倍角的余弦公式和正弦公式，运用辅助角公式，最后化简求值.

【详解】原式

【点睛】本题考查了同角三角函数商关系，考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式.

16. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______.

【答案】    ①     ②. 1

【解析】

【分析】（1）由题意，求导，代入公式，可得答案；

（2）由题意，整理曲率的函数解析式，换元求导，求最值，可得答案.

【详解】（1）由题意得，，则，，

则.

（2）由题意得，，，∴，

令，则，令，则，

显然当t∈[1,2]时，，p（t）单调递减，所以，∴的最大值为1.

故答案为：，1.

四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且.

（1）求；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；

（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.

【小问1详解】

由，故

由正弦定理知：，所以.

因为，所以A为锐角，故；

【小问2详解】

由（1）及余弦定理知：，

故，故.

由，所以，

所以的面积.

18. 已知等比数列的前n项和为（b为常数）．

（1）求b的值和数列的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意等比数列的公比不为1，再根据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解；

（2）首先令，，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可；

【小问1详解】

解：由题设，显然等比数列的公比不为1，

若的首项、公比分别为、，则，

∴且，所以，

故的通项公式为．

当时，；

【小问2详解】

解：令，，解得，所以

数列在中的项的个数为，则，所以，

∵，①

∵②       

两式相减得∴．

∴

19. 如图，三棱台ABC－DEF中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2DF，四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF＝45°，平面ABED⊥平面ACFD.

（1）求证：AB⊥CF；

（2）求直线BD与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】(1) 延长AD、BE、CF交于点P，由平面ABED⊥平面ACFD推导出CP⊥平面ABED，进而可得出CP⊥AB；

(2) 设DF＝a，可得出，，过点P作PM⊥BC于点M，计算出点到平面ABC的距离，即可求得直线BD与平面ABC所成角的正弦值.

【小问1详解】

证明：延长AD、BE、CF交于点P，

∵四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF＝45°，∴∠APC＝90°，即CP⊥AP，

∵平面ABED⊥平面ACFD，平面平面ACFD＝AP，平面ACFD，

∴CP⊥平面ABED，∵平面ABED，∴CP⊥AB.

【小问2详解】

由AC＝2AB＝2DF，可知D为PA的中点，

设AB＝DF＝a，则，，由（1）知，CP⊥AB，∵∠ABC＝90°，即AB⊥BC，，CP、平面PBC，

∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴，，

过点P作PM⊥BC于点M，∵AB⊥平面PBC，平面PBC，∴AB⊥PM，

又，AB、平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，

由（1）知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴，即，∴，∵D为PA的中点，

∴D到平面ABC的距离，

∴直线BD与平面ABC所成角的正弦值为.

20. 已知函数（，）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，

条件①：的最大值为1；

条件②：的一条对称轴是直线；

条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为．

求：

（1）函数的解析式；

（2）若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在区间上的最小值为，求的最大值．

【答案】（1）选择条件①③得；   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题知，进而结合已知条件选择①③能确定函数解析式，再求解即可；

（2）结合函数平移变换得，进而根据题意得，再解不等式即可得答案.

【小问1详解】

解：，

当选条件②，的一条对称轴是直线时，，即，显然不成立，

条件①③能确定函数解析式，

因为的最大值为1，的相邻两条对称轴之间的距离为

所以，，解得，，

所以，

【小问2详解】

解：根据题意得，

因为，所以，

因为在区间上的最小值为

所以，，解得.

所以，的最大值为.

21.  已知函数是偶函数.

（I）证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；

（II）若方程有且只有一个解，求实数的取值范围.

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【解析】

【分析】（I）先利用偶函数的定义结合对数的运算性质求出的值，然后利用定义法证明函数在上单调递增，即可证明出所证结论；

（II）由，得出，令，将问题转化为关于的方程有且只有一个正根，然后分三种情况讨论：①；②，；③，方程有一个正根一个负根.分析这三种情况，可求出实数的取值范围.

【详解】（I）由函数是偶函数可得：，，

，即对一切恒成立，.

由题意可知，只要证明函数在定义域上为单调函数即可.

任取、且，则，

，，，即，.

函数在上为单调增函数.

对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；

（II）若方程有且只有一解，

也就是方程有且只有一个实根.

令，问题转化为方程：有且只有一个正根.

（1） 若，则，不合题意；

（2） 若时，由或，当时，不合题意；当时，；

（3） 若时，，若方程一个正根与一个负根时，则.

综上：实数的取值范围是.

【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求参数、函数的零点问题，涉及函数的单调性以及二次函数的零点问题，解题时要注意将这些知识点进行等价转化处理，属于中等题.

22. 已知函数 (为正有理数)．

（1）求函数的单调区间；

（2）证明： 当时，．

【答案】（1）的增区间为，减区间为，   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，

（2）由于在单调递减，所以，令，所以只要证即可，而，所以只要证明： 当时，，而，所以令，然后利用导数求的最大值小于等于零即可.

【小问1详解】

函数的定义域为．

（为正有理数)，

当时，，，所以；

当时，，，所以，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的增区间为，减区间为；

【小问2详解】

因为在单调递减， 所以．

记，

因此要证，只要证即可

而且，

因此只要证明： 当时，．

而．

令，则，

 令， 则．

令，则，

令，则，

所以(0，1]上单调递增，

又，

又在(0，1]上连续，

故存在， 使得当时，，当时，，

所以在上单调递减， 在单调递增．

又，所以．

即，所以在单调递减，

所以，即．

综上所述，当时，．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是结合（1）将问题转化为证明当时，，构造函数，然后转化为利用导数求其最大值不大于零即可，考查数学转化思想，属于难题.