2023高考数学新教材数列十大微专题4-欧拉函数及应用（Word版附解析）

欧拉函数的基本性质与应用

一．基本原理

1.定义：欧拉函数是一个定义在正整数集上的函数,的值等于中与互素的数的个数.

2.计算公式：

（1）若为素数，则

（2）若为素数，且，形成了一个等比数列.

证明：即证.由的定义知等于从减去中与不互质的数的个数；亦即等于从减去中与不互质的数的个数.由于是质数，故等于从减去中被整除的数的个数.由于中被整除的数的个数是，故.

（3）已知正整数的素因数分解式其中素数

,证明：

二．典例分析

例1．若正整数、只有为公约数，则称、互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的是（        ）

A．                          B．数列是等差数列

C．                D．数列的前项和为，则

解析：对于A选项，在不超过的正整数中，与互质的正整数有：、、、，故，A错；

对于B选项，因为，，，显然、、不成等差数列，B错；

或者用上面公式：，显然不是等差数列.

对于C选项，为质数，在不超过的所有正整数中，能被整除的正整数的个数为，

所有与互质的正整数的个数为，所以，，

因此，，C错；或者用上面公式：，因此，，C错；

对于D选项，因为为质数，在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，

所以，，所以，，则，

所以，，上述两个不等式作差可得，所以，，D对.

或者：若，形成了一个等比数列.故选D.

例2．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（    ）

A． B． C． D．

解析：因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，于是①，

②，由①-②得，则.于是.故选：A．

例3.若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，是不大于k

的正整数中与k互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，.已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（    ）

A． B．数列是等比数列

C．数列不是递增数列 D．数列的前n项和小于

解析：，，∴，A对；∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，∴为等比数列，B对；

∵与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，.共有个，∴，又∵，∴是递增数列，故C错误；

，的前n项和为

设，则，

所以，，所以，

所以数列的前n项和小于，故D正确. 故选：ABD.

三．习题演练

1．对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，则（    ）

A．             B．数列为等比数列

C．数列不单调               D．数列的前项和恒小于4

解析：因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，

所以，故A错误；

因为与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有个，所以，则数列为等比数列，故B正确；

因为，所以，故数列不单调递增，

又因为2=,所以数列不单调递减，所以数列不单调，故C正确；

因为，所以.

设，则，

所以，所以，从而数列的前项和为，故D正确.故选：BCD.

2．若正整数，只有1为公约数，则称，互质，对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则（    ）

A．数列为等比数列 B．数列单调递增

C． D．数列的前项和为，则的最大值为4

解析：与互质的数为，共有个，

所以，因为，所以数列为等比数列，因此选项A正确；

因为，所以数列不是单调递增的，因此选项B不正确；

因为是质数，所以与不互质的数为，共有个，

所以，因此选项C正确；

同理，，，

，两式相减，得，

，因此选项D不正确，故选：AC

3．已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数.例如：，，设数列中：，则（       ）

A．数列是单调递增数列             B．的前8项中最大项为

C．当为素数时，              D．当为偶数时，

解析：由题知数列前8项为：，不是单调递增数列，故选项A错误；

由选项A可知，的前8项中最大项为，故选项B正确；

当为素数时，与前个数互素，故，所以对正确；

因为，故选项D错误.

附加题

1．某软件研发公司计划对某软件进行升级，重要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑序列为，它的第n项为，若序列的所有项均为1，且，，则_________；记数列的前n项之积为.则使取得最大值的n值为_________.（参考数据：，）

2．用表示自然数的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，，10的正因数有1、2、5、10，.记，则（1）______.（2）______.