2023高考数学新教材数列十大微专题8-数列中的高斯取整函数研究（Word版附解析）

数列中的高斯取整函数研究

一．基本性质.

1.高斯取整函数：

表示实数的整数部分，即是不大于实数的最大整数. ，常称为的“小数部分”或“尾数部分”.

2.高斯函数图像及小数部分图像.

取整函数的图象.                          小数函数：的图象

性质： ①定义域：；                            性质：①定义域：；  

②值域：；                                 ②值域：； 

③图象：台阶型线段.                              ③周期性：.

3.函数性质：显然三者之间的关系：且

（1）高斯函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有

（2），

（3）

（4）若，则，，其中

（5），有

（6）

（7）若整数满足（，，是整数且），则

（8）是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个.

 注：上述结论中，第（7）条结论非常重要，它刻画了高斯取整函数与带余除法的基本练习，因此，我们就可通过带余除法和同余的基本关系，通过分组求和去掉从而计算出结果，这是强基和联赛一试中一类常见问题.

4.补充知识. 同余的概念与性质.

（1）设，若、的差被整除，即. 我们就说、关于模同余（同余于模），或简称同余，记作：. 否则，称关于模不同余，记作：.

（2）同余的性质：

（1）自反性：；

（2）对称性：若，则；

（3）传递性：若且，则；

（4）若，，则；

（5）若，，则.特别地，若，则

二．高考试题中的应用.

例1.(2010陕西高考)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数(表示不大于的最大整数)可以表示为  (      )

 A.       B.      C.       D.

例2.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．

（1）求；（2）求数列的前1 000项和．

解：（1）设的公差为，据已知有，解得．

所以数列的通项公式为．

，，．

（2）因为

所以数列的前项和为．

例3．已知数列满足，，用表示不超过的最大整数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：因为，所以，即，

所以，

由，可得，，，，

则数列是递增数列，，则，则.

故选：B.

例4．函数称为高斯函数，表示不超过，x的最大整数，如，.已知数列满足，且，若，则数列的2022项和为___________.

解析：，

，

当时，时，；

当时，时，；

当时，时，；

当时，时，；

所以故答案为：4959

例5．在①；②公差为，且成等比数列；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，______.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，其中表示不超过的最大整数，求的值.

解析：（1）依题意，数列是公差不为零的等差数列，设其首项为，公差为.

若选①，则，解得，所以.

若选②，则，解得，所以.

若选③，则，所以.

（2）若选①，，则当时，有：

，所以.

若选②，，则当时，有：

，所以.

若选③，,则当时，有：

，所以.

例6．为等差数列的前项和，且，，记，其中表示不超过的最大整数，如，.

(1)求，，；

(2)求数列的前项和.

解析：(1)由题意得可得：，所以，

所以，所以，所以，，.

(2)由（1）知：，

时，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

所以