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人教版八年级下册18.2.1 矩形备课ppt课件
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这是一份人教版八年级下册18.2.1 矩形备课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了矩形的性质，素养目标，矩形的定义，对边平行且相等，对角相等邻角互补，对角线互相平分，矩形的一般性质，∴∠A90°，矩形特殊的性质，从角上看等内容，欢迎下载使用。
在推动平行四边形的变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形？
我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？
1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.
2. 探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
3. 探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——
【思考】从图形上看,矩形是平行四边形吗?若是它们之间有何关系呢?
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形是特殊的平行四边形
具备平行四边形所有的性质.
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
做一做：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明：∵四边形ABCD是矩形
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D ∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°即矩形的四个角都是直角.
已知：如图,四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB (SAS)
∴AC = BD 即矩形的对角线相等.
求证:矩形的对角线相等
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
矩形的两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
∵四边形ABCD是矩形
∴AD ∥ BC ，CD ∥ AB
∴AD =BC ，CD =AB
∴AO= CO ，OD = OB
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD , ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8.
利用矩形的性质求线段的长
矩形的对角线相等且互相平分
∴△OAB是等边三角形，
1.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
例2 将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长.
解:矩形纸片ABCD中，∠DAB=90°，AD=BC, AB=CD，
又∵△ADG沿DG折叠得到△A′DG
∴△ADG≌ △ A′DG
∴x2+42=(8-x)2 解得：x=3.
设AG=x，则BG=AB-AG=8-x，在Rt△GA′B中，由勾股定理得：A′B2+A′G2=BG2
∴AD=A′D, AG=A′G，A′B=AB-A′D=10-6=4，
利用矩形的性质解答折叠问题
2. 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗？
矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？
矩形的对称性及相关性质
矩形的性质：对称性： .对称轴：.
矩形的性质：中心对称： .对称中心：.
中心对称图形 轴对称图形
两对全等的等腰三角形.
你在矩形中还发现了哪些基本图形？
四个全等的直角三角形.
如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
证明:延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例3 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
利用直角三角形的性质解答题目
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD.
提示：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
3.三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个人的位置对每个人公平吗？请说明理由．
答：公平.因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
1.（2018•株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为_____．
2.（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴AF＝CE．
在△ADF和△CBE中，
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （ ）A．AB∥DC B．AC=BDC．AC⊥BD D．OA=OB
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
3.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm.
4.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
证明：连接DE.∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.
如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝ BC，DG＝ BC. ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点，
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，对角线相等
既是轴对称图形也是中心对称图形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，做完之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形. 你能想一个办法确定谁做的门是矩形吗？
2. 能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.
1. 理解并掌握矩形的判定方法 .
小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．
问题1:请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗？ 除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢？
问题2:你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？
同样，小明通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢？ 小明的猜想: 对角线相等的四边形是矩形．
问题3 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
【讨论】你能证明这一猜想吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD中，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形.
∴ ∠ABC=∠DCB
∵四边形 ABCD是平行四边形
又∵ AC=DB，BC=CB
对角线相等的平行四边形是矩形 .
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
（或OA=OC=OB=OD）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵∠OAD=50°，
解：四边形ABCD是矩形.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AO=CO,DO=BO.又∵∠1= ∠2，∴AO=BO，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.
问题1:前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
问题2:四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？
做一做：李芳同学由“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形 .
例2 如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF
证明：∵CF平分∠ACD， ∴∠1=∠2 又∵ MN∥BC， ∴∠1=∠3 ∴ ∠2=∠3， 同理可证：OC=OE ∴OE=OF
(2)当O运动到何处时, 四边形AECF为矩形?
利用角判断四边形是矩形
答：当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由：由（1）知OE=OF 又AO=CO ∴四边形AECF是平行四边形 又∵EC、FC分别平分∠ACB 、∠ACD ∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90° ∴四边形 AECF是矩形
2. 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
1.（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）A．∠A=∠B B．∠A=∠CC．AC=BD D． AB⊥BC
2.（2019•怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
1.如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是 （ ）
A．AC=BD B．AC=BCC．AD=BC D．AB=AD
2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ）A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
3.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
∵四边形ABCD是矩形，
AO=BO=CO=DO，
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，即∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形， 即PD＝CQ， 所以24－x＝3x， 解得x＝6. 即经过6s，四边形PQCD是平行四边形；
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，即AP＝BQ，∴y＝26－3y，解得y＝6.5，即经过6.5s，四边形PQBA是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
在推动平行四边形的变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形？
我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？
1. 理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.
2. 探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
3. 探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——
【思考】从图形上看,矩形是平行四边形吗?若是它们之间有何关系呢?
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形是特殊的平行四边形
具备平行四边形所有的性质.
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
做一做：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明：∵四边形ABCD是矩形
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D ∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°即矩形的四个角都是直角.
已知：如图,四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB (SAS)
∴AC = BD 即矩形的对角线相等.
求证:矩形的对角线相等
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
矩形的两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
∵四边形ABCD是矩形
∴AD ∥ BC ，CD ∥ AB
∴AD =BC ，CD =AB
∴AO= CO ，OD = OB
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD , ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8.
利用矩形的性质求线段的长
矩形的对角线相等且互相平分
∴△OAB是等边三角形，
1.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
例2 将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长.
解:矩形纸片ABCD中，∠DAB=90°，AD=BC, AB=CD，
又∵△ADG沿DG折叠得到△A′DG
∴△ADG≌ △ A′DG
∴x2+42=(8-x)2 解得：x=3.
设AG=x，则BG=AB-AG=8-x，在Rt△GA′B中，由勾股定理得：A′B2+A′G2=BG2
∴AD=A′D, AG=A′G，A′B=AB-A′D=10-6=4，
利用矩形的性质解答折叠问题
2. 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗？
矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？
矩形的对称性及相关性质
矩形的性质：对称性： .对称轴：.
矩形的性质：中心对称： .对称中心：.
中心对称图形 轴对称图形
两对全等的等腰三角形.
你在矩形中还发现了哪些基本图形？
四个全等的直角三角形.
如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
证明:延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例3 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
利用直角三角形的性质解答题目
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD.
提示：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
3.三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个人的位置对每个人公平吗？请说明理由．
答：公平.因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
1.（2018•株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为_____．
2.（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．
证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴AF＝CE．
在△ADF和△CBE中，
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （ ）A．AB∥DC B．AC=BDC．AC⊥BD D．OA=OB
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
3.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm.
4.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
证明：连接DE.∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.
如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝ BC，DG＝ BC. ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点，
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，对角线相等
既是轴对称图形也是中心对称图形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，做完之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形. 你能想一个办法确定谁做的门是矩形吗？
2. 能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.
1. 理解并掌握矩形的判定方法 .
小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．
问题1:请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗？ 除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢？
问题2:你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？
同样，小明通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢？ 小明的猜想: 对角线相等的四边形是矩形．
问题3 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
【讨论】你能证明这一猜想吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD中，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形.
∴ ∠ABC=∠DCB
∵四边形 ABCD是平行四边形
又∵ AC=DB，BC=CB
对角线相等的平行四边形是矩形 .
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
（或OA=OC=OB=OD）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵∠OAD=50°，
解：四边形ABCD是矩形.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AO=CO,DO=BO.又∵∠1= ∠2，∴AO=BO，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.
问题1:前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
问题2:四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？
做一做：李芳同学由“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形 .
例2 如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF
证明：∵CF平分∠ACD， ∴∠1=∠2 又∵ MN∥BC， ∴∠1=∠3 ∴ ∠2=∠3， 同理可证：OC=OE ∴OE=OF
(2)当O运动到何处时, 四边形AECF为矩形?
利用角判断四边形是矩形
答：当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由：由（1）知OE=OF 又AO=CO ∴四边形AECF是平行四边形 又∵EC、FC分别平分∠ACB 、∠ACD ∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90° ∴四边形 AECF是矩形
2. 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
1.（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）A．∠A=∠B B．∠A=∠CC．AC=BD D． AB⊥BC
2.（2019•怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
1.如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是 （ ）
A．AC=BD B．AC=BCC．AD=BC D．AB=AD
2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ）A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
3.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
∵四边形ABCD是矩形，
AO=BO=CO=DO，
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，即∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形， 即PD＝CQ， 所以24－x＝3x， 解得x＝6. 即经过6s，四边形PQCD是平行四边形；
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，即AP＝BQ，∴y＝26－3y，解得y＝6.5，即经过6.5s，四边形PQBA是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
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