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新高考第5章 三角函数（压轴题专练）高一数学上学期期中期末考试满分全攻略（人教A 版2019）解析版
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这是一份新高考第5章 三角函数（压轴题专练）高一数学上学期期中期末考试满分全攻略（人教A 版2019）解析版，共33页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2021·重庆市清华中学校高一期末）已知函数且），周期，，且在处取得最大值，则的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】利用辅助角公式，求得的解析式，根据题意，可求得的表达式，根据，可求得，又根据，可求得，进而可求得的值，根据同角三角函数的关系，可求得a的值，即可求得的表达式，根据的范围，即可求得答案.
【详解】，
因为，所以，
因为在处取得最大值，
所以，即，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以，
所以，
又，
解得，又，
所以，所以，
所以或，
解得或，
又，所以的最小值为13.
故选：C
【点睛】解题的关键是根据题意，求得的表达式，代入求得，的表达式，再结合同角三角函数关系进行求解，计算量大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
2．（2021·河南·高一期末（文））已知，，，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】先由已知条件得到，再利用两角差的正切公式求解即可.
【详解】由，得，即，由，可得，则，故．
故选：D．
【点睛】利用三角函数值求值（角）的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）根据条件进行合理的拆角，如等；
（3）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.
3．（2020·吉林·舒兰市实验中学校高一期中）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得．
【详解】由题意，的最小值是，
又，
由，得，
，，
时，，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．
4．（2019·山东文登·高一期中）若不等式在恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据化简不等式，然后常变量分离，最后利用正切函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为，所以.
所以，
于是有，因为，所以，要想
在时恒成立，一定有.
故选：D
【点睛】本题考查已知三角不等式恒成立求参数取值范围，考查了正切函数的单调性，考查了数学运算能力.
5．（2020·浙江邵外高一期中）关于函数有下述四个结论：
①是奇函数；
②在区间单调递增；
③是的周期；
④的最大值为2.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】计算得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，③正确，假设的最大值为2，取，得到矛盾，④错误，得到答案.
【详解】，
，
所以为非奇非偶函数，①错误；
当时，令，，
又时单调递增，单调递减，根据复合函数单调性判断法则，
当时，，均为增函数，
所以在区间单调递增，所以②正确；
，
所以是的周期，所以③正确；
假设的最大值为2，取，必然，，
则，与，矛盾，所以的最大值小于2，所以④错误.
故选：.
【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
6．（2021·河南驻马店·高一期末（理））已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题首先可根据函数是偶函数得出，通过计算得出，然后通过转化得出，通过图像变换得出，最后根据正弦函数对称性得出且，通过求出此时的值域即可得出结果.
【详解】因为函数是偶函数，
所以，即，
，解得，，
则
，
则，
向左平移个单位长度后，得到，
向上平移个单位长度，得到，
当时，，
结合正弦函数对称性易知，
在有两个不相等实根，则且，
此时，实数的取值范围是，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.
7．（2021·陕西阎良·高一期末）已知函数，若存在实数、，使得，且，则的最大值为（ ）
A．9B．8C．7D．5
【答案】A
【分析】本题首先可根据正弦函数性质得出、，然后根据得出，根据得出，最后根据得出，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，，
，即，，
，即，，
则，
因为，所以，，
因为，所以的最大值为，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦函数性质求参数，能否根据求出、是解决本题的关键，考查计算能力，是难题.
8．（2020·甘肃·临泽县第一中学高一期中）已知函数（，）的图象经过点，若关于x的方程在上恰有一个实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的图象经过点，可得，可得，由，可得，所以的所有正解从小到大为，在上恰有一个实数解，可列出关于的不等式组，可得答案.
【详解】解：因为的图象经过点，所以，
又因为，所以，
所以由，得，即，
所以的所有正解从小到大为，
因为关于x的方程在上恰有一个实数解，
所以，即，其中T为的最小正周期，
所以，所以，所以，
所以或.
所以或，所以，
故选:A.
【点睛】本题主要考查三角函数的图形与性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.
9．（2021·上海·高一期中）函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
10．（2020·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【答案】D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
则有，
由的内角为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有
故选：D.
【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
11．（2021·四川·成都外国语学校高一期中（理））函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知：或
∴或
∴或
∵在上单调递减，∴
∴
①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知
此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.
二、多选题
12．（2021·湖北·沙市中学高一期末）已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是（ ）
A．B．点是的图象的一个对称中心
C．在上的值域为D．的图象在上有四条对称轴
【答案】BD
【分析】根据题意，求得平移后的解析式，根据其为偶函数，可求得的表达式，根据的范围，即可求得的值，即可判断A的正误；根据的解析式，代入，即可判断B的正误；根据x的范围，即可求得的范围，结合正弦型函数的图象，即可判断C的正误；令，即可求得对称轴的表达式，对k赋值，即可求得的对称轴，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：将函数的图象向左平移个单位所得的解析式为：，
由题意得：其图象对应的函数为偶函数，
则，，解得，
因为，令，得，故A错误．
所以；
对于B：因为，所以，
所以点是的图象的一个对称中心，故B正确；
对于C：因为，所以，
所以当时，即时，有最大值2，
当时，即时，有最小值，故C错误；
对于D：令，解得，
因为时，令，解得
令，解得，
令，解得，
令，解得，
所以的图象在上有四条对称轴，故D正确.
故选：BD
【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦型函数的图象与性质，并灵活应用，在求解值域时，通过换元法令，将其转化为研究的性质，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
13．（2021·广东实验中学高一期末）已知函数，其中，且的，若对一切恒成立，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．是奇函数
【答案】BC
【分析】由，可知为的一条对称轴，
结合辅助角公式，可得，进而可得，再分别判断选项即可.
【详解】由题意得，，
因对一切恒成立，
故，即，计算得，
故.
对于选项A，，，
虽然，但时正负不知，故与无法比较大小，故A错；
对于选项B，因，
所以，故B正确；
对于选项C，因，所以为奇函数，故C正确；
对于选项D，，所以为偶函数，故D错.
故选：BC.
【点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用以及三角函数的图像性质.对于图像性质问题，一般情况下需先把解析式化成的形式，再结合的图像性质即可解决.
14．（2021·江苏·高一期中）已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．在区间上单调递增B．是的一个周期
C．的值域为D．的图象关于轴对称
【答案】CD
【分析】代入特殊值检验，可得A错误；求得的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得的范围，利用二次函数的性质，即可求得的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为，所以，
，
所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误；
对于B：，
所以不是的一个周期，故B错误；
对于C：，所以的周期为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上：的值域为，故C正确；
对于D：，所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故D正确，
故选：CD
【点睛】解题的关键是根据的解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.
15．（2021·江苏启东·高一期中）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】通过求，来判断出正确选项.
【详解】
，
所以，A错误.
，
所以，B正确.
.
所以，
由于，所以，
由于，所以，
所以由解得，
所以，C正确.
，所以D错误.
故选：BC
【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.
三、填空题
16．（2020·吉林江城中学高一期末）已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】先把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．
【详解】，
如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，
则是函数的最小值，是函数的最大值．
，最小，则函数周期最大，此时，，所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，解题方法是利用二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解．解题关键是认识到是最小值，是最大值，结合与周期的关系可得．
17．（2021·北京西城·高一期末）设函数，，有以下四个结论.
①函数是周期函数：
②函数的图像是轴对称图形：
③函数的图像关于坐标原点对称：
④函数存在最大值
其中，所有正确结论的序号是___________.
【答案】②④
【分析】根据正弦型函数和二次函数的周期性、对称性、值域进行逐一判断即可.
【详解】①：函数的最小正周期为：，函数没有周期性，所以函数不是周期函数，故本结论不正确；
②：因为函数，所以该函数的对称性为：，
因为，所以函数也关于对称，
因此函数的图像是轴对称图形，故本结论说法正确；
③：令，
，对于不恒成立，
所以对于不恒成立，
因此函数不是奇函数，故图象不关于原点对称，所以本结论说法不正确；
④：因为，所以，
因为，所以
所以，
因此本结论正确，
故答案为：②④
【点睛】关键点睛：正确理解函数的周期性和对称性是解题的关键.
18．（2021·福建省南平市高级中学高一期中）如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.
【答案】
【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.
【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：
∴.
设底面圆的半径为r,则有,解得,
所以这个圆锥的高为，
则这个圆锥的体积为.
故答案为：.
【点睛】立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.
19．（2020·江苏省天一中学高一期中）在中，角满足，则_________.
【答案】
【分析】先根据正弦定理化角为边，转化为，再利用余弦定理，得.则可求得，又利用正弦定理化为.根据同角三角函数的关系，，则可求值.
【详解】，设外接圆半径为R，
则由正弦定理得：，
又由余弦定理可得：
，
则
，
所以，即
又由正弦定理得：
则
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，同角商数关系化切为弦.难度较大..
20．（2020·河南·郑州一中高一期中）对于函数．现有下列结论：①任取，，都有；②函数有3个零点；③函数在上单调递增；④若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则．其中正确结论的序号为______．（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②④
【分析】作出函数的图象，求出时的最大值和最小值，可判断①；由图可直接判断②③④，进而可得答案.
【详解】的图象如图所示：
①当时，的最大值为，最小值为，
∴任取，，都有恒成立，故①正确；
②如图所示，函数和的图象有3个交点，即有3个零点，故②正确；
③函数在区间上的单调性和上的单调性相同，则函数在区间上不单调，故③错误；
④当时，函数关于对称，若关于的方程有且只有两个不同实根，，则，则成立，故④正确；
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及函数的性质，利用分段函数的表达式，作出函数的图象是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.
21．（2021·辽宁·高一期中）设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为__________.
【答案】
【分析】推导出函数是周期为的周期函数 ，然后作出函数与函数在区间上的图象，利用对称性可求得函数在区间上的零点之和.
【详解】由于函数为定义域为的奇函数，则，
，所以，函数是周期为的周期函数，
作出函数与函数在区间上的图象，如下图所示：
由图象可知，函数与函数在区间上的图象共有个交点，
且有对关于直线对称，
因此，函数在区间上的所有零点的和为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数零点之和的求解，解题时要结合图形得出函数图象的对称性，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
22．（2021·湖北·随州市第一中学高一期中）已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用正弦定理，将转化为边，得到，将所求的转化成，结合，全部转化为的函数，再求出的范围，从而得到答案.
【详解】根据正弦定理，
将转化为
即，又因为锐角，所以.
所以
因为是锐角三角形，
所以，所以，得，
所以
故的取值范围是.
【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.
四、解答题
23．（2021·安徽阜阳·高一期末）已知函数(，，)的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）设函数，若在内存在唯一的，使得对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据函数图象，结合最小正周期公式、特殊角的三角函数值进行求解即可；
（2）根据辅助角公式，结合正弦型函数的最值进行求解即可.
【详解】解：（1）根据图象可得，
所以.
因为，，所以.
又因为图象过点，所以.
因为，
所以，，即，，
又因为，所以.
故.
（2）因为，
所以.
依题意可得，
又，所以，
解得.
【点睛】关键点睛：正确理解最小值的定义，结合题意得到不等式是解题的关键.
24．（2021·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）化简 最小正周期；
（2）当时，．
①当为偶数时， ．．②当为奇数时，同理得： 即可求出m的取值范围．
【详解】（1）
．
的最小正周期．
（2）由（1）知．
当时，，，
即．
①当为偶数时， ．
由题意，只需．
因为当时，，所以．
②当为奇数时， ．
由题意，只需．
因为当时，，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
(2)求参数的取值范围，通常采用分离参数法．
25．（2021·江苏省扬中高级中学高一期中）在三角形中，角所对应的边分别为，若且均为整数.
（1）求的值；
（2）求证：
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】（1）先判断出且，由均为整数，可得：
（2）由判断出，分和两种情况讨论.
【详解】解：（1）在中，均为整数，
，且，
最小，当，且
，在之间的角的正切值且为整数，
而
（2），
，
若，
此时；
若，不合题意，舍去.
【点睛】利用三角函数值求角的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）根据条件进行合理的拆角，如等；
（3）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.
26．（2021·北京·北大附中高一期中）雨过天晴时，我们常能见到天空的彩红，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现象．为研究方便将水滴近似视为一个球体．且各光线在球的同一截面大圆内．
Ⅰ．如图1，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经一次内部反射形成反射光线，再折射出球体外得到折射光线．当 ∥时，则称为光线为虹；
Ⅱ．如图2，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经两次内部反射形成反射光线，．再折射出球体外得到折射光线，当 ∥时则称为光线为霓．
图1 图2 图3
可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律：
III．光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入射角与反射角，则入射角等于反射角；
IV．从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射角，即．
设球半径r=1．球为某种透光性较高的介质．空气相对该介质的折射率为．圆弧对光线入射或折射时，其反射镜面为过入射（或反射）点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线．
（1）图3中，入射光线经入射点P进入球内得到折射光线，过P的圆切线为，过点P的半径所在直线为法线，设入射角，若球介质的折射率，求折射角大小；
（2）图1中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率=1.5．折射光线为虹，求；
（3）图2中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率，折射光线为霓，求．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据，代入数据，即可得答案.
（2）根据折射光线为虹，可得∥，根据几何性质，可得，代入公式即可求得的值，进而可求得答案.
（3）根据折射光线为霓，可得∥，根据几何性质，可得，代入公式即可求得的值，进而可求得答案.
【详解】（1）由题意得，所以，
因为，所以
（2）折射光线为虹，所以∥，
所以，且，
所以，又因为=1.5，
所以，
所以.
（3）因为折射光线为霓，所以∥，
所以，且，
所以，
因为，所以，
所以
【点睛】解题的关键是读懂题意，根据所给概念和公式，结合图形的几何性质，计算化简，即可得答案，考查分析理解的能力，属中档题.
27．（2021·广东实验中学高一期末）已知函数为的零点，为图象的对称轴．
（1）若在内有且仅有6个零点，求；
（2）若在上单调，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据的零点和对称中心确定出的取值情况，再根据在上的零点个数确定出，由此确定出的取值，结合求解出的取值，再根据以及的范围确定出的取值，由此求解出的解析式；
（2）先根据在上单调确定出的范围，由此确定出的可取值，再对从大到小进行分析，由此确定出的最大值.
【详解】（1）因为是的零点，为图象的对称轴，
所以，所以，
因为在内有且仅有个零点，
分析正弦函数函数图象可知：个零点对应的最短区间长度为，最长的区间长度小于，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，代入，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以；
（2）因为在上单调，所以，即，所以，
又由（1）可知，所以，
所以，
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然不单调
所以在上不单调，不符合；
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然单调递减，
所以在上单调递减，符合；
综上可知，的最大值为.
【点睛】思路点睛：求解动态的三角函数涉及的取值范围问题的常见突破点：
（1）结论突破：任意对称轴（对称中心）之间的距离为，任意对称轴与对称中心之间的距离为；
（2）运算突破：已知在区间内单调，则有且；
已知在区间内没有零点，则有且.
28．（2021·福建省福州第一中学高一期末）已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；
（1）①的一条对称轴且；
②的一个对称中心，且在上单调递减；
③向左平移个单位得到的图象关于轴对称且
从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）选①②③，；（2）.
【分析】（1）根据题意可得出函数的最小正周期，可求得的值，根据所选的条件得出关于的表达式，然后结合所选条件进行检验，求出的值，综合可得出函数的解析式；
（2）求得，由可计算得出，进而可得出，由参变量分离法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意可知，函数的最小正周期为，.
选①，因为函数的一条对称轴，则，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，则，不合乎题意；
若，则，则，合乎题意.
所以，；
选②，因为函数的一个对称中心，则，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，当时，，
此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；
若，则，当时，，
此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；
所以，；
选③，将函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称，
所得函数为，
由于函数的图象关于轴对称，可得，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，，不合乎题意；
若，则，，合乎题意.
所以，；
（2）由（1）可知，
所以，，
当时，，，所以，，
所以，，
，
，，则，
由可得，
所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
29．（2021·北京八中高一期中）对于定义域分别是，的函数，规定：函数
（I）若函数，写出函数的解析式并求函数值域；
（II）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为的函数及一个的值，使得，并予以证明．
【答案】（I），值域为，
（II），，证明见解析.
【分析】（I）先根据题意分和讨论来求函数的解析式，进而再求每一段值域，最后取并集即可得分段函数的值域；
（II）构造函数，，求出，进而可证明.
【详解】（I）若函数，
则，，
当时，；
当时，；
所以
当时，，，
此时，
当时，；
所以函数值域为，
（II）令，，
则
，
所以
【点睛】关键点点睛：本题需要有较强的阅读能力，猜想和创新能力，要采用逆推的方法即
即可想到所构造的.
30．（2021·江苏苏州·高一期中）已知，函数，其中.
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】（1）由题设得，则，代入可得.
（2）由（1）知，的最大值即为的最大值，讨论、、时在上的单调性，即可得对应的最大值.
（3）将问题转化为，结合（2）所得单调性，求的范围.
【详解】（1）由题意，，而，则，
∴，显然，则，且，
∴，；
（2）的最大值，即的最大值.
①时，在递减，；
②时，在递增，；
③时，在递增，递减，；
综上，
（3）由题意，，即，；
①时，在递减，
则：；
②时，在递增，
则：；
③时，在递增，递减，，
则：：
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，要求的最大值，即求的最大值，讨论参数a结合的区间单调性写出最大值；第三问，将问题转化为，结合所得单调性求参数范围即可.
一、单选题
1．（2021·重庆市清华中学校高一期末）已知函数且），周期，，且在处取得最大值，则的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】利用辅助角公式，求得的解析式，根据题意，可求得的表达式，根据，可求得，又根据，可求得，进而可求得的值，根据同角三角函数的关系，可求得a的值，即可求得的表达式，根据的范围，即可求得答案.
【详解】，
因为，所以，
因为在处取得最大值，
所以，即，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以，
所以，
又，
解得，又，
所以，所以，
所以或，
解得或，
又，所以的最小值为13.
故选：C
【点睛】解题的关键是根据题意，求得的表达式，代入求得，的表达式，再结合同角三角函数关系进行求解，计算量大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
2．（2021·河南·高一期末（文））已知，，，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】先由已知条件得到，再利用两角差的正切公式求解即可.
【详解】由，得，即，由，可得，则，故．
故选：D．
【点睛】利用三角函数值求值（角）的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）根据条件进行合理的拆角，如等；
（3）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.
3．（2020·吉林·舒兰市实验中学校高一期中）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得．
【详解】由题意，的最小值是，
又，
由，得，
，，
时，，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．
4．（2019·山东文登·高一期中）若不等式在恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据化简不等式，然后常变量分离，最后利用正切函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为，所以.
所以，
于是有，因为，所以，要想
在时恒成立，一定有.
故选：D
【点睛】本题考查已知三角不等式恒成立求参数取值范围，考查了正切函数的单调性，考查了数学运算能力.
5．（2020·浙江邵外高一期中）关于函数有下述四个结论：
①是奇函数；
②在区间单调递增；
③是的周期；
④的最大值为2.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】计算得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，③正确，假设的最大值为2，取，得到矛盾，④错误，得到答案.
【详解】，
，
所以为非奇非偶函数，①错误；
当时，令，，
又时单调递增，单调递减，根据复合函数单调性判断法则，
当时，，均为增函数，
所以在区间单调递增，所以②正确；
，
所以是的周期，所以③正确；
假设的最大值为2，取，必然，，
则，与，矛盾，所以的最大值小于2，所以④错误.
故选：.
【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
6．（2021·河南驻马店·高一期末（理））已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题首先可根据函数是偶函数得出，通过计算得出，然后通过转化得出，通过图像变换得出，最后根据正弦函数对称性得出且，通过求出此时的值域即可得出结果.
【详解】因为函数是偶函数，
所以，即，
，解得，，
则
，
则，
向左平移个单位长度后，得到，
向上平移个单位长度，得到，
当时，，
结合正弦函数对称性易知，
在有两个不相等实根，则且，
此时，实数的取值范围是，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.
7．（2021·陕西阎良·高一期末）已知函数，若存在实数、，使得，且，则的最大值为（ ）
A．9B．8C．7D．5
【答案】A
【分析】本题首先可根据正弦函数性质得出、，然后根据得出，根据得出，最后根据得出，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，，
，即，，
，即，，
则，
因为，所以，，
因为，所以的最大值为，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦函数性质求参数，能否根据求出、是解决本题的关键，考查计算能力，是难题.
8．（2020·甘肃·临泽县第一中学高一期中）已知函数（，）的图象经过点，若关于x的方程在上恰有一个实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的图象经过点，可得，可得，由，可得，所以的所有正解从小到大为，在上恰有一个实数解，可列出关于的不等式组，可得答案.
【详解】解：因为的图象经过点，所以，
又因为，所以，
所以由，得，即，
所以的所有正解从小到大为，
因为关于x的方程在上恰有一个实数解，
所以，即，其中T为的最小正周期，
所以，所以，所以，
所以或.
所以或，所以，
故选:A.
【点睛】本题主要考查三角函数的图形与性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.
9．（2021·上海·高一期中）函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得，即，，从而得到，进而得到的值.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，可得的图象.
由条件为奇函数，则，即
又，所以，即
关于的方程在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即在内有两个不同的解，
即，其中(为锐角) 在内有两个不同的解，
即方程即在内有两个不同的解，
由，则，
所以，
所以
则，即，
所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
10．（2020·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【答案】D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
则有，
由的内角为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有
故选：D.
【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
11．（2021·四川·成都外国语学校高一期中（理））函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知：或
∴或
∴或
∵在上单调递减，∴
∴
①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知
此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.
二、多选题
12．（2021·湖北·沙市中学高一期末）已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是（ ）
A．B．点是的图象的一个对称中心
C．在上的值域为D．的图象在上有四条对称轴
【答案】BD
【分析】根据题意，求得平移后的解析式，根据其为偶函数，可求得的表达式，根据的范围，即可求得的值，即可判断A的正误；根据的解析式，代入，即可判断B的正误；根据x的范围，即可求得的范围，结合正弦型函数的图象，即可判断C的正误；令，即可求得对称轴的表达式，对k赋值，即可求得的对称轴，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：将函数的图象向左平移个单位所得的解析式为：，
由题意得：其图象对应的函数为偶函数，
则，，解得，
因为，令，得，故A错误．
所以；
对于B：因为，所以，
所以点是的图象的一个对称中心，故B正确；
对于C：因为，所以，
所以当时，即时，有最大值2，
当时，即时，有最小值，故C错误；
对于D：令，解得，
因为时，令，解得
令，解得，
令，解得，
令，解得，
所以的图象在上有四条对称轴，故D正确.
故选：BD
【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦型函数的图象与性质，并灵活应用，在求解值域时，通过换元法令，将其转化为研究的性质，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
13．（2021·广东实验中学高一期末）已知函数，其中，且的，若对一切恒成立，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．是奇函数
【答案】BC
【分析】由，可知为的一条对称轴，
结合辅助角公式，可得，进而可得，再分别判断选项即可.
【详解】由题意得，，
因对一切恒成立，
故，即，计算得，
故.
对于选项A，，，
虽然，但时正负不知，故与无法比较大小，故A错；
对于选项B，因，
所以，故B正确；
对于选项C，因，所以为奇函数，故C正确；
对于选项D，，所以为偶函数，故D错.
故选：BC.
【点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用以及三角函数的图像性质.对于图像性质问题，一般情况下需先把解析式化成的形式，再结合的图像性质即可解决.
14．（2021·江苏·高一期中）已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．在区间上单调递增B．是的一个周期
C．的值域为D．的图象关于轴对称
【答案】CD
【分析】代入特殊值检验，可得A错误；求得的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得的范围，利用二次函数的性质，即可求得的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为，所以，
，
所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误；
对于B：，
所以不是的一个周期，故B错误；
对于C：，所以的周期为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上：的值域为，故C正确；
对于D：，所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故D正确，
故选：CD
【点睛】解题的关键是根据的解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.
15．（2021·江苏启东·高一期中）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】通过求，来判断出正确选项.
【详解】
，
所以，A错误.
，
所以，B正确.
.
所以，
由于，所以，
由于，所以，
所以由解得，
所以，C正确.
，所以D错误.
故选：BC
【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.
三、填空题
16．（2020·吉林江城中学高一期末）已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】先把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．
【详解】，
如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，
则是函数的最小值，是函数的最大值．
，最小，则函数周期最大，此时，，所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，解题方法是利用二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解．解题关键是认识到是最小值，是最大值，结合与周期的关系可得．
17．（2021·北京西城·高一期末）设函数，，有以下四个结论.
①函数是周期函数：
②函数的图像是轴对称图形：
③函数的图像关于坐标原点对称：
④函数存在最大值
其中，所有正确结论的序号是___________.
【答案】②④
【分析】根据正弦型函数和二次函数的周期性、对称性、值域进行逐一判断即可.
【详解】①：函数的最小正周期为：，函数没有周期性，所以函数不是周期函数，故本结论不正确；
②：因为函数，所以该函数的对称性为：，
因为，所以函数也关于对称，
因此函数的图像是轴对称图形，故本结论说法正确；
③：令，
，对于不恒成立，
所以对于不恒成立，
因此函数不是奇函数，故图象不关于原点对称，所以本结论说法不正确；
④：因为，所以，
因为，所以
所以，
因此本结论正确，
故答案为：②④
【点睛】关键点睛：正确理解函数的周期性和对称性是解题的关键.
18．（2021·福建省南平市高级中学高一期中）如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.
【答案】
【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.
【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：
∴.
设底面圆的半径为r,则有,解得,
所以这个圆锥的高为，
则这个圆锥的体积为.
故答案为：.
【点睛】立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.
19．（2020·江苏省天一中学高一期中）在中，角满足，则_________.
【答案】
【分析】先根据正弦定理化角为边，转化为，再利用余弦定理，得.则可求得，又利用正弦定理化为.根据同角三角函数的关系，，则可求值.
【详解】，设外接圆半径为R，
则由正弦定理得：，
又由余弦定理可得：
，
则
，
所以，即
又由正弦定理得：
则
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，同角商数关系化切为弦.难度较大..
20．（2020·河南·郑州一中高一期中）对于函数．现有下列结论：①任取，，都有；②函数有3个零点；③函数在上单调递增；④若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则．其中正确结论的序号为______．（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②④
【分析】作出函数的图象，求出时的最大值和最小值，可判断①；由图可直接判断②③④，进而可得答案.
【详解】的图象如图所示：
①当时，的最大值为，最小值为，
∴任取，，都有恒成立，故①正确；
②如图所示，函数和的图象有3个交点，即有3个零点，故②正确；
③函数在区间上的单调性和上的单调性相同，则函数在区间上不单调，故③错误；
④当时，函数关于对称，若关于的方程有且只有两个不同实根，，则，则成立，故④正确；
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及函数的性质，利用分段函数的表达式，作出函数的图象是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.
21．（2021·辽宁·高一期中）设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为__________.
【答案】
【分析】推导出函数是周期为的周期函数 ，然后作出函数与函数在区间上的图象，利用对称性可求得函数在区间上的零点之和.
【详解】由于函数为定义域为的奇函数，则，
，所以，函数是周期为的周期函数，
作出函数与函数在区间上的图象，如下图所示：
由图象可知，函数与函数在区间上的图象共有个交点，
且有对关于直线对称，
因此，函数在区间上的所有零点的和为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数零点之和的求解，解题时要结合图形得出函数图象的对称性，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
22．（2021·湖北·随州市第一中学高一期中）已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用正弦定理，将转化为边，得到，将所求的转化成，结合，全部转化为的函数，再求出的范围，从而得到答案.
【详解】根据正弦定理，
将转化为
即，又因为锐角，所以.
所以
因为是锐角三角形，
所以，所以，得，
所以
故的取值范围是.
【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.
四、解答题
23．（2021·安徽阜阳·高一期末）已知函数(，，)的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）设函数，若在内存在唯一的，使得对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据函数图象，结合最小正周期公式、特殊角的三角函数值进行求解即可；
（2）根据辅助角公式，结合正弦型函数的最值进行求解即可.
【详解】解：（1）根据图象可得，
所以.
因为，，所以.
又因为图象过点，所以.
因为，
所以，，即，，
又因为，所以.
故.
（2）因为，
所以.
依题意可得，
又，所以，
解得.
【点睛】关键点睛：正确理解最小值的定义，结合题意得到不等式是解题的关键.
24．（2021·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）化简 最小正周期；
（2）当时，．
①当为偶数时， ．．②当为奇数时，同理得： 即可求出m的取值范围．
【详解】（1）
．
的最小正周期．
（2）由（1）知．
当时，，，
即．
①当为偶数时， ．
由题意，只需．
因为当时，，所以．
②当为奇数时， ．
由题意，只需．
因为当时，，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
(2)求参数的取值范围，通常采用分离参数法．
25．（2021·江苏省扬中高级中学高一期中）在三角形中，角所对应的边分别为，若且均为整数.
（1）求的值；
（2）求证：
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】（1）先判断出且，由均为整数，可得：
（2）由判断出，分和两种情况讨论.
【详解】解：（1）在中，均为整数，
，且，
最小，当，且
，在之间的角的正切值且为整数，
而
（2），
，
若，
此时；
若，不合题意，舍去.
【点睛】利用三角函数值求角的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）根据条件进行合理的拆角，如等；
（3）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.
26．（2021·北京·北大附中高一期中）雨过天晴时，我们常能见到天空的彩红，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现象．为研究方便将水滴近似视为一个球体．且各光线在球的同一截面大圆内．
Ⅰ．如图1，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经一次内部反射形成反射光线，再折射出球体外得到折射光线．当 ∥时，则称为光线为虹；
Ⅱ．如图2，入射光线经折射进入该球体内部，折射光线经两次内部反射形成反射光线，．再折射出球体外得到折射光线，当 ∥时则称为光线为霓．
图1 图2 图3
可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律：
III．光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入射角与反射角，则入射角等于反射角；
IV．从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射角，即．
设球半径r=1．球为某种透光性较高的介质．空气相对该介质的折射率为．圆弧对光线入射或折射时，其反射镜面为过入射（或反射）点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线．
（1）图3中，入射光线经入射点P进入球内得到折射光线，过P的圆切线为，过点P的半径所在直线为法线，设入射角，若球介质的折射率，求折射角大小；
（2）图1中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率=1.5．折射光线为虹，求；
（3）图2中，设初始入射光线的入射角为，球介质的折射率，折射光线为霓，求．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据，代入数据，即可得答案.
（2）根据折射光线为虹，可得∥，根据几何性质，可得，代入公式即可求得的值，进而可求得答案.
（3）根据折射光线为霓，可得∥，根据几何性质，可得，代入公式即可求得的值，进而可求得答案.
【详解】（1）由题意得，所以，
因为，所以
（2）折射光线为虹，所以∥，
所以，且，
所以，又因为=1.5，
所以，
所以.
（3）因为折射光线为霓，所以∥，
所以，且，
所以，
因为，所以，
所以
【点睛】解题的关键是读懂题意，根据所给概念和公式，结合图形的几何性质，计算化简，即可得答案，考查分析理解的能力，属中档题.
27．（2021·广东实验中学高一期末）已知函数为的零点，为图象的对称轴．
（1）若在内有且仅有6个零点，求；
（2）若在上单调，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据的零点和对称中心确定出的取值情况，再根据在上的零点个数确定出，由此确定出的取值，结合求解出的取值，再根据以及的范围确定出的取值，由此求解出的解析式；
（2）先根据在上单调确定出的范围，由此确定出的可取值，再对从大到小进行分析，由此确定出的最大值.
【详解】（1）因为是的零点，为图象的对称轴，
所以，所以，
因为在内有且仅有个零点，
分析正弦函数函数图象可知：个零点对应的最短区间长度为，最长的区间长度小于，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，代入，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以；
（2）因为在上单调，所以，即，所以，
又由（1）可知，所以，
所以，
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然不单调
所以在上不单调，不符合；
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然单调递减，
所以在上单调递减，符合；
综上可知，的最大值为.
【点睛】思路点睛：求解动态的三角函数涉及的取值范围问题的常见突破点：
（1）结论突破：任意对称轴（对称中心）之间的距离为，任意对称轴与对称中心之间的距离为；
（2）运算突破：已知在区间内单调，则有且；
已知在区间内没有零点，则有且.
28．（2021·福建省福州第一中学高一期末）已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；
（1）①的一条对称轴且；
②的一个对称中心，且在上单调递减；
③向左平移个单位得到的图象关于轴对称且
从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）选①②③，；（2）.
【分析】（1）根据题意可得出函数的最小正周期，可求得的值，根据所选的条件得出关于的表达式，然后结合所选条件进行检验，求出的值，综合可得出函数的解析式；
（2）求得，由可计算得出，进而可得出，由参变量分离法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意可知，函数的最小正周期为，.
选①，因为函数的一条对称轴，则，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，则，不合乎题意；
若，则，则，合乎题意.
所以，；
选②，因为函数的一个对称中心，则，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，当时，，
此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；
若，则，当时，，
此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；
所以，；
选③，将函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称，
所得函数为，
由于函数的图象关于轴对称，可得，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，，不合乎题意；
若，则，，合乎题意.
所以，；
（2）由（1）可知，
所以，，
当时，，，所以，，
所以，，
，
，，则，
由可得，
所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
29．（2021·北京八中高一期中）对于定义域分别是，的函数，规定：函数
（I）若函数，写出函数的解析式并求函数值域；
（II）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为的函数及一个的值，使得，并予以证明．
【答案】（I），值域为，
（II），，证明见解析.
【分析】（I）先根据题意分和讨论来求函数的解析式，进而再求每一段值域，最后取并集即可得分段函数的值域；
（II）构造函数，，求出，进而可证明.
【详解】（I）若函数，
则，，
当时，；
当时，；
所以
当时，，，
此时，
当时，；
所以函数值域为，
（II）令，，
则
，
所以
【点睛】关键点点睛：本题需要有较强的阅读能力，猜想和创新能力，要采用逆推的方法即
即可想到所构造的.
30．（2021·江苏苏州·高一期中）已知，函数，其中.
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】（1）由题设得，则，代入可得.
（2）由（1）知，的最大值即为的最大值，讨论、、时在上的单调性，即可得对应的最大值.
（3）将问题转化为，结合（2）所得单调性，求的范围.
【详解】（1）由题意，，而，则，
∴，显然，则，且，
∴，；
（2）的最大值，即的最大值.
①时，在递减，；
②时，在递增，；
③时，在递增，递减，；
综上，
（3）由题意，，即，；
①时，在递减，
则：；
②时，在递增，
则：；
③时，在递增，递减，，
则：：
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，要求的最大值，即求的最大值，讨论参数a结合的区间单调性写出最大值；第三问，将问题转化为，结合所得单调性求参数范围即可.
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