新高考第3章 函数的概念与性质（典型题专练）高一数学上学期期中期末考试满分全攻略解析版

这是一份新高考第3章 函数的概念与性质（典型题专练）高一数学上学期期中期末考试满分全攻略解析版，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2021·全国）函数y＝的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判定奇偶性，根据奇函数的图象性质排除C;考察在（0，1）和（1，+∞)上的函数值的正负，进一步取舍判定.（也可使用赋值法）
【详解】由题意，设，，所以函数的奇函数，故排除C;
当时，，当时，，排除,
故选:A.
2．（2020·江苏）如果函数在区间I上是减函数，而函数在区间I上是増函数，那么称函数是区间I上“缓减函数”，区间I叫“缓减区间”.可以证明函数的单调増区间为，；单调减区间为，.若函数是区间I上“缓减函数”，则下列区间中为函数的“缓减函数区间”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，分析函数和的单调区间，结合“缓减函数”的定义分析可得答案.
【详解】对于，减区间是；
对于，增区间是和为增函数，
的“缓减函数区间”或，
只有中的，其它都不包含在上述区间中的任一个之内，
故选：C.
3．（2021·全国高一单元测试）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．既不是奇函数也不是偶函数
B．的图象与有无数个交点
C．在上为减函数
D．的图象与有两个交点
【答案】C
【分析】选项A，先求函数的定义域，结合即可判断函数为奇函数；选项B，变形的解析式，可得或，即可判断的图象与无交点；选项C,先利用复合函数单调性判断为减函数，结合单调性的定义即可判断的单调性；选项D, 根据的单调性即可判断.
【详解】对于A，函数，其定义域为，
则，则为奇函数，A错误；
对于B，函数，
当时，，
又由为奇函数，则当时，，
则的图象与没有交点，B错误；
对于C，当时，都是减函数，是增函数，所以为减函数，取任意的，且，则，，所以，
故单调递减，C正确；
对于D，若，则有，即，变形可得，即，
设，则为减函数且在其值域为，
则有且只有1解，即的图象与只有一个交点，D错误，
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的基本性质及函数的图象问题，属于能力提升题.
4．（2021·沧源佤族自治县民族中学高一期末）已知函数的最小值为2，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将函数分离变量得到，画出图象，数形结合即得解
【详解】由作出图象，
如图，由图象可得要取得最小值2，则；
∵在区间上单调递减，则时，取得最小值为2，即，可得，
∴a的取值范围为
故选：D
【点睛】本题考查了一次比一次型的分式函数的最值问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于中档题
二、多选题
5．（2021·广东高一单元测试）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意，利用函数的定义域与函数的值域判断函数的图象是否满足题意和函数的定义，由此即可得答案．
【详解】对于A，由图像可知，函数的定义域为，而集合，不符合题意；
对于B，由图像可知，函数的定义域为，值域为，满足函数的定义，故正确；
对于C，由图像可知，函数的定义域为，值域为，满足函数的定义，故正确；
对于D，由图像可知，图形中一个有两个值与之相对应，不满足函数的定义，故不正确.
故选：BC．
6．（2021·肇庆市百花中学高一期末）幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】AC
【分析】由题意得出，解出的取值范围，可得出整数的可能取值，再对幂函数是否为奇函数进行验证，由此可得出整数的值.
【详解】因为幂函数在是减函数，则，解得，
所以，整数的可能取值有、、.
当时，幂函数为奇函数，合题意；
当时，函数为偶函数，不合题意；
当时，函数为奇函数，合题意.
故选：AC.
7．（2021·全国高一单元测试）已知为奇函数，且为偶函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】综合已知，利用奇偶性的定义和性质判定f(x)的周期为4，进而可求得,然后即可判定AB；根据周期性可判定C;根据已得数据可以判定时D中的方程不成立，从而判定D不正确.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
又因为f(x)是R上的奇函数，所以，
所以，所以f(x)的周期为4，
又
故A，B正确；
,∴C正确；
,同时根据奇函数的性质得既相等又互为相反数，故f(2)=0,所以，即对于不成立，故D不正确.
故选：ABC.
【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性，关键难点在于结合奇偶性得到周期性，同时注意，定义域为R的周期为奇函数，必有这一结论值得记忆.
8．（2020·河北承德第一中学高一月考）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定．
【详解】由得，故正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有,
∴在上有最大值为1，故正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；
若时，，则时，，，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
9．（2020·江苏）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．在上是増函数
C．的解集为 D．的解集为
【答案】AD
【分析】分析可知为偶函数，研究时的函数的单调性和最值，即可得出AB的正确与否；研究函数的零点，结合单调性，奇偶性，即可判定C错误；分类讨论求解，即可得到不等式的解集，从而判定D正确.
【详解】，
所以是偶函数，
在时，,
图象为开口向下的抛物线的部分，
对称轴为,
在内单调递增，在上单调递减，
最大值为,
∴函数在R上的最大值为,
在内单调递增，在内单调递减，
故A正确，B错误；
由于,
结合函数的单调性和偶函数的性质画出图象如图所示.
可知的解集为,
故C错误；
画出图象如图所示：
由图象可得不等式的解集为，故D正确.
故选：AD.
三、双空题
10．（2021·全国高一课时练习）同一个函数的概念：
1．前提条件：(1)定义域相同；(2)对应关系_____
2．结论：这两个函数为_____函数．
【答案】相同 同一个函数
【分析】根据同一个函数的概念填空
【详解】当且仅当两个函数的定义域相同，对应关系也相同时，这两个函数为同一个函数.
故答案为：相同；同一个函数.
11．（2020·江苏）已知函数则__________，的最小值是__________.
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，先求得，进而代入进行进一步的计算求得；
分段讨论，并利用二次函数的性质求得的最小值.
【详解】,
；
当时，,最小值为;
当时，，
由二次函数的性质可知，且当时取到最大值，
∴当时取到最小值为；
所以的最小值是，
故答案为：；.
四、填空题
12．（2021·全国高一课时练习）函数的表示方法
列表法：列出____来表示两个变量之间的对应关系
【答案】表格
【分析】根据列表法表示函数的概念填空.
【详解】利用列出表格来表示两个变量之间关系的方法叫做列表法,
故答案为：表格.
13．（2021·全国高一课时练习）函数的表示方法：
解析法：用数学____表示两个变量之间的对应关系
【答案】表达式
【分析】根据解析法的概念填空.
【详解】利用数学表达式表示两个变量之间的对应关系来表示函数的方法叫做解析法.
故答案为：表达式.
14．（2021·云南高一期末）已知函数f（x）= 则f（0）=______..
【答案】0
【分析】根据分段函数，代值求解.
【详解】解：，
故答案为：0.
15．（2021·广东高一期末）函数的定义域为_____________________.
【答案】
【分析】根据函数定义域的求法即可求解.
【详解】解：，解得：，
故答案为：
16．（2021·广东高一单元测试）已知函数，且，则 a 的取值范围是______ .
【答案】
【分析】先得到函数的奇偶性，从而得到函数的单调性，即可将不等式变形求解.
【详解】
函数为奇函数，
又，
由的图象知，在上单调递增，
由，得 ，得，解得，
故答案为：.
17．（2021·全国高一课前预习）已知，，则m与n的大小关系为________．
【答案】
【分析】根据的特征，构造幂函数，利用其单调性可以比较的大小.
【详解】设，已知，则，
因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则，即，
故答案为：.
18．（2021·全国）函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．
【答案】[－1，3]
【分析】利用配方法，结合二次函数的图象和性质求得最小值，计算并比较端点值得到最大值，从而得到值域.
【详解】∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，
∴当x＝1时，g(x)min＝g（1）＝－1，
又g(0)＝0，g（3）＝9－6＝3，
∴g(x)max＝3，
即g(x)的值域为[－1，3]．
故答案为：[－1，3]．
19．（2021·河北邢台·高一月考）写出一个值域为的偶函数________．
【答案】－x2＋4（答案不唯一）
【分析】满足题干条件的函数即可
【详解】只要满足，且函数的值域为即可
【点睛】本题属于开放题型，考查了函数的奇偶性、值域，考查了学生综合分析，构造的能力，属于简单题
20．（2021·全国高一单元测试）已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则______.
【答案】2
【分析】先根据条件求出其周期为4，再结合周期性可得，即可求解结论．
【详解】定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，
且，
；.
即；①
.②
②①得；
故函数f(x)周期为4,
故答案为：2．
【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数求值，是函数图象和性质的简单综合应用．
21．（2021·全国高一单元测试）已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】先通过取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分类讨论思想，分和两个范围分别证明a≤0时符合题意.
【详解】由题易知，即，
所以，
又，
所以.
下证时，在上最大值为3.
当时，，;
当，若，即，
则，满足;
若，即，
此时，
而，满足;
因此，符合题意.
【点睛】本题考查带有绝对值的含参数的二次函数函数的最值问题，利用特值求得a≤0，然后分类讨论证明a≤0时符合题意，是十分巧妙的方法，要注意体会和掌握.
22．（2020·福建泉州五中高一期中）已知函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【分析】分析题意，进行等价转化为两函数的最大值的大小问题，分析转化两个函数的解析式，画出两函数的图象，利用数形结合可以得到实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对于任意，总存在，使得成立，
等价于所以在上的最大值小于在上的最大值.
,,
的图象为分段的二次函数形式，的图象为反比例函数向左平移1个单位，向上平移4个单位得到，画出两函数在时的图象，如图所示.
,点A是直线与函数()的交点，
是、在轴右侧的交点.
由图可知，为使在上的最大值小于在上的最大值.
直线必须且只需在点之间，
由，解得,
由解得,
∴实数的取值范围，
故答案为：.
五、解答题
23．（2021·全国高一单元测试）已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域
（2）直接把代入到函数解析式中可求
【详解】解：（1）由题意可得，
解不等式可得，且
故函数的定义域为且
（2）.
24．（2021·乾安县第七中学高一期末）已知奇函数，且
（1）求的解析式；
（2）用单调性的定义证明：在上单调递减.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）先表示出，结合及，可求出的值；（2）根据定义法证明单调性的步骤：取值、作差变形、定号、判断即可.
【详解】解：（1）函数的定义域是，
.
∵为奇函数，∴，
即，即.
上式对成立,故.
∴，
又∵，即，解得，
∴.
（2）取任意的，且，
则.
∵，
∴，，
∴，
∴，即.
∴在上单调递减.
25．（2021·四川南充·高一期末）已知函数．
（1）求的定义域；
（2）若，求的值．
【答案】（1）且；（2）．
【分析】（1）由，解不等式可得定义域；
（2）时，将代入求值即可．
【详解】（1）由，解得且
故的定义域为且
（2）若，
26．（2021·四川自贡·）已知集合{存在满足}
（1）判断是否存在中，请说明理由；
（2）若证明：
【答案】（1）否，答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）将解析式代入方程化简，由方程无解可得结论；
（2）将解析式代入方程化简，将方程根问题转化为函数零点问题，构造，利用函数的单调性和零点存在定理可证得命题成立．
【详解】（1），则，，令，即，方程无解，故不在中；
（2），则，，令，即，构造，则函数单调递增，且，，故存在，使，即．
27．（2020·河北正定中学高一月考）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R(x)万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润W(x)（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．
【分析】（1）根据销售额减去成本（固定成本万和成本）求出利润函数即可．
（2）根据（1）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值．
【详解】（1）当时，；
当时，，
．
（2）若，，
当时，万元．
若，，
当且仅当时，即时，万元．
2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．
28．（2021·北京顺义·）已知函数是定义在上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）本题可根据求出的解析式；
（2）本题可在上任取、且，然后通过转化得出，即，即可证得结论；
（3）本题首先可根据奇函数性质将转化为，然后根据减函数性质转化为，最后通过计算即可得出结果.
【详解】（1）因为，所以，
因为函数是奇函数，所以，
即，解得，.
（2）在上任取、，且，
则
，
因为，，，，
所以，，在区间上是减函数.
（3）因为是定义在上的奇函数和减函数，
所以即，，
则，解得，不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性求函数解析式、定义法判断函数单调性以及利用函数性质解不等式，偶函数满足，奇函数满足，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
29．（2020·慈溪中学高一月考）已知函数．
（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；求出值域；
（2）给定实数，，问是否存在直线，使得函数的图象关于直线对称？若存在，求出的值（用表示），若不存在，请说明理由．
【答案】（1）是偶函数；证明见解析,值域为；（2）存在；．
【分析】（1）转化，可验证，即得奇偶性，再利用均值不等式可得解值域；
（2）函数在时取到最小值，若关于直线对称，则只可能是，利用可验证
【详解】（1）可判断是偶函数.
因为
因此，是偶函数
因为，则，
因此值域为
（2）
其中，当，即时取到最小值
若关于直线对称，则只可能是
因此关于直线对称，故存在直线，使得函数关于直线对称，且
【点睛】本题考查了对数型复合函数的奇偶性、对称性以及值域，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
30．（2020·黔西南州同源中学高一期中）已知函数的定义域为，且对任意 ，都有，且当时，恒成立．
（1）证明：函数是奇函数；
（2）在定义域上单调递减；
（3），求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）令，得到，令，，得到即可证明；
（2）设，则，由条件得，再由条件可得，即可得证；
（3）利用函数的奇偶性与单调性化抽象不等式为具体不等式组，即可得到结果.
【详解】（1）证明： ，
令，
，则．
令，，
，
即，而，
，
即函数是奇函数；
（2）设，则，
当时，恒成立，则，
，
函数是上的减函数；
（3）由，
可得，又函数是奇函数，
∴，
∵在定义域上单调递减
∴ ，解得，
∴，
解得，，
故的取值范围.
31．（2021·全国）已知函数
（1）求函数的解析式；
（2）设，若存在使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）解法一：运用配凑法，然后整体换元得函数的解析式；
解法二：运用换元法，令，则且．代入原式求得的解析式，进而换元得到函数的解析式；
（2）由（1）代入将问题转化为在时有解．再令，由，得，设．根据二次函数的最值可得取值范围.
【详解】（1）解法一：∵，∴．
又，∴．
解法二：令，则．由于，所以．
代入原式有，
所以．
（2）∵，∴．∵存在使成立，
∴在时有解．令，由，得，
设．则函数的图象的对称轴方程为，
∴当时，函数取得最小值．
∴，即的取值范围为．