黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2022--2023学年八年级上学期期中数学试卷+（有答案）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨六十九中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列运算一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图案中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式：，，，，，，其中分式有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 在中，，如果，那么为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 缩小倍 D. 不变

8. 一棵树在一次强台风中，从离地面处折断，倒下的部分与地面成角，如图所示，这棵树在折断前的高度是(    )
   
    

A.  B.  C.  D.

9. 比较，，的大小，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，是等边三角形，、分别在、上，且，则下列结论：，，，，其中正确的个数是个．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 用科学记数法表示为______．
12. 有意义，则的取值范围是______ ．
13. 将因式分解为______．
14. 若，，则______．
15. 如图，在中，，的垂直平分线交于，连结，若的周长为，则______．

16. 如图，中，是角平分线，交于，交于，若，，则______．

17. 已知，，则的值为______ ．
18. 如图，中，，点、在边上，，，则的度数为______．

19. 若是一个完全平方式，则的值为______．
20. 如图，在四边形中，连接，，，，，，则的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    按要求解答下列各题．
    计算：；
    因式分解：
22. 本小题分
    先化简，再求代数式的值，其中．
23. 本小题分
    在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
    关于轴的对称图形为，画出，点与点对应；
    连接，画出所有的以为底的等腰直角，并写出点的坐标．

24. 本小题分

已知：和都是等腰直角三角形，，连接、交于点，与交于点，与交于点．

如图，求证：；
如图，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等的直角三角形。

25. 本小题分
    如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的相同的小长方形，且．
    该大长方形纸板的长为______厘米，宽为______厘米．用含、的代数式表示
    观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
    若图中阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积．

26. 本小题分
    阅读材料：若，求、的值．
    解：，
    ，，，，．
    根据你的观察，探究下面的问题：
    已知，求的值；
    已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值；
    已知，，求的值．
27. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，，连接，，平分，交轴负半轴于点．
    
    求点的坐标．
    点是轴正半轴上一点，且，延长至点，点在线段上，射线交射线于点，，，求线段的长．
    在的条件下，在轴正半轴上取一点，连接，在线段上，连接，若，且，求点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用负整数指数幂的法则，零指数幂，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，负整数指数幂，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，本选项错误；
B、是轴对称图形，本选项正确；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、不是轴对称图形，本选项错误．
故选B．
结合轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，这个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选B．
根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案．
本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不是分解因式，不符合题意，
故选：．
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据等腰三角形性质即可直接得出答案．
本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程的两边同乘，得
，
即，
解得：，．
检验：把代入，即不是原分式方程的解；
把代入，即是原分式方程的解．
则原方程的解为：．
故选：．
观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是整体代入．
把原分式中的换成，把换成进行计算，再与原分式比较即可．
【解答】
解：把原分式中的换成，把换成，那么
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查含角的直角三角形，关键是应用所对的直角边是斜边的一半．
根据题意可以得在直角三角形中，较短的直角边是，再根据所对的直角边是斜边的一半，得斜边是，从而求出大树的高度．
【解答】
解：如图，

在中，，，，
，
该树的高度为．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
即．
故选：．
把各数的指数转为一样，再比较底数即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握与运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
在和中，，
≌，
，，故正确；
≌，
，
，
，故正确；
≌，
，
，，
，
，
，故错误，
故选：．
由等边三角形的性质得出，，由即可证明≌，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为，
故答案是：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：当分母，即时，有意义．
故答案是：．
分式有意义，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

13.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则将原式化成已知代数式的形式，再代值计算便可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，关键是灵活应用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则变形．
 

15.【答案】 

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
，
的周长为，，
．
故答案为：．
先根据的垂直平分线分别交、于点、得出，再根据的周长为，即可求出的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：是的平分线，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
先根据完全平方公式变形：，再整体代入求出即可．
本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方公式是：，．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，
，，
设，，，
在中，，
，
，
得：，
，
的度数是．
故答案为：．
根据等边对等角的性质求出，，设，，，再根据三角形的内角和定理和直角的定义求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的等边对等角的性质得到相等的角，难度不大．
 

19.【答案】或 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
即，
解得或，
故答案为：或．
根据完全平方公式得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式的知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

，
又，，
≌，
，
设，
则，
在中，，
，
，
，
即，
解得，
即，
故答案为：．
过点作于，通过证明≌得出，设，则，在中，，得出，再由即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：

；


． 

【解析】先计算积的乘方，再进行整式的除法；
先提公因式，再用公式法分解．
本题考查了整式的运算和因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，即为所求；

如图，等腰直角，点的坐标为或． 

【解析】根据轴对称的性质即可画出关于轴的对称图形为；
根据等腰直角三角形的判定利用网格即可画出所有的以为底的等腰直角，进而可以写出点的坐标．
本题考查作图轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：和都是等腰直角三角形，
，
在与中，
≌
≌，≌，≌，≌。 

【解析】先证明，再根据即可求证≌，从而可知。
，和都是等腰直角三角形
，
在与中
，，
≌，
由≌可得，，，
，
，
，
在与中，
，，
≌，
，
，即，
在中，，
，
，
在与中，
，， 
≌，
在与中
，
≌
综上，四对全等的直角三角形：≌，≌，≌，≌。
 

25.【答案】    ． 

【解析】解：由图可知：大长方形的长为厘米，宽为厘米；
故答案为：；．
由题意得，大正方形的面积为平方厘米，小正方形的面积为平方厘米，小长方形的面积为平方厘米，
为大长方形的面积，
大长方形的长为厘米，宽为厘米，
大长方形的面积为平方厘米，
，
故答案为：．
阴影部分的面积为平方厘米，大长方形的周长为厘米，
，，
即，，
，
，
空白部分的面积为平方厘米，
答：图中空白部分的面积为平方厘米．
有图可以的答案；
结合代数式的几何意义因式分解；
根据空白部分的面积得到，再由大长方形的周长得到，然后求得和的大小，即可得到阴影部分的面积．
本题考查了列代数式、二元一次方程组、因式分解，解题的关键是会用含有与的式子表示图中长方形和正方形的面积．
 

26.【答案】解：，
，
，
，，
，，
，
即的值是．
，
，
，
，，
，，
，，
，
的最大边的值可能是、、、、．
，，
，
，
，，
，，，
，
即的值是． 

【解析】根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值各是多少，再把它们相乘，求出的值是多少即可；
首先根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的最大边的值是多少即可；
首先根据，，应用因式分解的方法，判断出，求出、、的值各是多少；然后把、、的值求和，求出的值是多少即可．
此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
 

27.【答案】解：由题意可知，在中，，，
，，
平分，
，
，
；
如图，过点作交轴于点，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
即的长为；
如图，延长至点，使得，连接，
由知，，
是等边三角形，
，，
设，
；
，
，
，
，
，
，
在上截取，连接，
≌，
，，
，
，
由知，
，
，
，
． 

【解析】由角平分线可知，由含的直角三角形的三边关系，可得点的坐标；
过点作交轴于点，易证≌，由此可得，进而可证≌，所以，分别用表达，可求出的长；
延长至点，使得，连接，可得是等边三角形，在上截取，连接，可得≌，进而可得，进而可得点的坐标．
本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含的直角三角形的三边关系，解题关键是作出辅助线构造全等．