2021年陕西省渭南市韩城市高中数学竞赛试题及答案

2021年陕西省渭南市韩城市高中数学竞赛试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则等于

A． B． C． D．

2．已知，，，则，，的大小关系是

A． B．

C． D．

3．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（    ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

5．一只小虫在边长为的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为

A． B． C．2 D．3

7．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是

A． B． C． D．

8．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则的值为

A．-1 B．0 C．1 D．2

9．已知P(x0，y0)是椭圆C：上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若，则x0的取值范围是（       ）

A．  B．

C．  D．

10．已知非零向量、满足，且，则的形状是（    ）

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形

C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形

11．已知函数，实数满足， ，则

A．6 B．8 C．10 D．12

12．函数的定义域为，若满足：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数 是“梦想函数”，则的取值范围是

A． B． C． D．

二、填空题

13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处.

14．幂函数，当取不同的正数时，在区间,上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有．那么______.

15．数列满足，且，.若，则实数__________．

16．若函数的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数的最大值是_______.

三、解答题

17．函数的部分图象如图所示，其中，，.

（Ⅰ）求函数解析式；

（Ⅱ）求时，函数的值域.

18．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

19．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）.

(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？

(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.

20．已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．

21．已知动点P到直线l：的距离比到定点的距离多1.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标.

22．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数．

（1）如果函数（）的值域为，求b的值；

（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；

（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

参考答案：

1．B

【详解】解：，，所以，故选B．

2．B

【分析】通过对数的运算性质化简再利用对数函数的单调性即可得出大小关系．

【详解】解：∵，

，，

又∵且对数函数在单调递增，，

故选B．

【点睛】本题考查对数的运算性质及单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．B

【解析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.

【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，

，

，

当且仅当即时等号成立，，

或舍去，即

所以正实数a的最小值为4.

故选：B.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.

4．A

【分析】由题意构造等差数列，设公差为d，利用基本量代换求出通项公式，然后求.

【详解】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得：

，

解得：

所以，

所以，

即春分时节的日影长为4.5.

故选：A

【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：

求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

(2) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换.

5．A

【分析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率.

【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于为安全区域，

则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，

其面积，故概率.

故选：A.

【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.

6．D

【分析】先判断，由，利用等比数列求和公式可得，结合可得，从而根据可得结果.

【详解】设等比数列公比为

当时，，不符合题意，

当时，，

得，又，

由，得，

，故选D.

【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论与两种情况，这是易错点.

7．C

【详解】因为函数，在区间上单调递增，故在区间上单调递减，故

解得的取值范围是．

故答案为C.

8．B

【详解】∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)＝0.又∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为4的奇函数，∴f(6)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0. 选B.

9．A

【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，根据以及，解不等式可得结果.

【详解】由题意可知F1(－，0)，F2(，0)，则＝.

因为点P在椭圆上，所以，

所以，，解得，

即x0的取值范围是.

故选：A.

【点睛】本题考查了平面向量的数量积，考查了椭圆的标准方程，属于基础题.

10．D

【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状。

【详解】解：因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，

由， 的角平分线与垂直，

为等腰三角形，且，

且，

，又，

，

，

三角形为等边三角形．

故选：D．

11．A

【详解】设函数图象的对称中心为，则有，

整理得，

比较系数可得．

所以函数图象的对称中心为．

又，，且，

∴点关于对称，

∴．选A．

点睛：本题难度较大，考查三次函数图象的对称性．任意三次函数的图象通过平移后都可以得到一个奇函数的图象，故任意的三次函数的图象都是中心对称图形，并且有以下结论，即三次函数图象的对称中心为，并且对称中心在导函数图象的对称轴上．

12．A

【分析】根据“梦想函数”定义将问题改写为，等价转化为有2个不等的正实数根，转化为二次方程，利用根的分布求解.

【详解】因为函数是“梦想函数”，

所以在上的值域为，且函数是单调递增的.

所以，即

∴有2个不等的正实数根，令

即有两个不等正根，

∴且两根之积等于，

解得.

故选：A.

【点睛】此题以函数新定义为背景，实际考查函数零点与方程的根的问题，通过等价转化将问题转化为二次方程根的分布问题，综合性比较强.

13．5

【分析】根据题意求出得反比例与正比例函数解析式，再由均值不等式求最值即可.

【详解】设仓库与车站的距离为d，则，

由题意知，

∴k1＝20，k2＝0.8.

∴，

当且仅当， 即时，等号成立.

故答案为：5

14．1

【分析】先确定、的坐标，然后求得，；再求的值．

【详解】解：，点，，所以

，分别代入，

故答案为：1.

15．

【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期为3，得到，再由，，，列出方程组，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，数列满足且，，

令，可得，即，解得，

令，可得，即，解得，

同理可得 ，可得数列的周期为3，

又由，所以，所以，即，

又由，解得，

所以.

【点睛】本题主要考查了数列的性质的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据数列的周期性，求得的值，再利用的值，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

16．

【分析】由题意题目可转化方程有两个不等的正根，得，令，利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得出答案．

【详解】解：∵点关于原点对称的点为，

∴题目可转化为函数与图像在第一象限内有两个交点，

即方程有两个不等的正根，得，

令，则，

由得，由得，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与化归思想，属于中档题．

17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由求出的值，可得函数的解析式；

（Ⅱ）由已知可求范围，利用正弦函数的图象和性质可得，即可求解.

【详解】（Ⅰ）根据函数的一部分图象，其中，，，

可得，，，∴.

又，得，

∴，即，

∵，∴，

∴；

（Ⅱ）∵，

∴，∴，∴.

【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式、正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.

18．(1)；

(2)

【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；

（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.

【详解】（1），

因为，同理可得，

所以

（2）因为，所以，

因为，

所以．

所以异面直线与所成角的余弦值为．

19．(1)4米；

(2).

【分析】（1）由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可；

（2）由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解.

【详解】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米，

所以屋子的前面墙的长度均为米（），

设甲工程队报价为元，

所以（元），

因为，

当且仅当，即时等号成立，

所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元.

（2）根据题意可知对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

因为，，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功.

20．(1)

(2)6

【分析】（1）由椭圆的定义求解

（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解

【详解】（1）由题意可得，

所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；

（2）由题意可设的方程为，

联立方程得，

设，，则由根与系数关系有，

所以

，

根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为，

所以四边形ABDE面积为，令得，

由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6．

21．(1)；

(2)证明过程见解析，定点坐标为.

【分析】（1）根据两点间距离公式，结合题意进行求解即可；

（2）根据解方程组求出B点坐标，结合直线点斜式方程进行求解即可.

【详解】（1）设，

因为P到直线l：的距离比到定点的距离多1，

所以有，

当时，化简为，显然满足；

当时，化简为，显然不满足，

综上所述：动点P的轨迹E的方程；

（2）设，由题意可知，

因此，所以直线OC的方程为，

当时，直线OC与曲线E只有一个交点，不符合题意，

于是直线OC的方程与曲线E方程联立，得

，或，即，

当时，即时，直线AB的方程为；

当时，即且时，

，

直线AB的方程为：，

因为，所以有，因此直线AB过定点，

显然直线也过点，

综上所述直线AB过定点.

【点睛】关键点睛：利用方程有任意实数解的性质是解题的关键.

22．（1）；（2）该函数在上是减函数，在区间上是增函数，理由见解析；（3）在区间上是减函数，在区间上是增函数，最大值，最小值．

【分析】（1）结合的单调性求得函数的最小值，结合此时的值求得.

（2）结合函数的奇偶性以及函数单调性的定义，判断出函数的单调性.

（3）结合函数的奇偶性和单调性进行合情推理.结合的单调性求得在区间上的最大值和最小值.

【详解】（1）依题意可知当时，函数（）取得最小值是，则，故．

（2）设，．

当时，，函数在上是增函数；

当时，，函数在区间上是减函数；

又是偶函数，故该函数在上是减函数，在区间上是增函数．

（3）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数，当n是奇数时，函数在在上是减函数，在区间上是增函数，在上是增函数，在区间上是减函数；

当n是偶数时，函数在区间上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在区间上是增函数．

．

因此在区间上是减函数，在区间上是增函数．

所以，当或时，取得最大值；当时，取得最小值．

【点睛】能顺利解决本题的源头是函数和函数的图像与性质，因为各小题都是由函数引申出来的研究学习性问题，也就是说在学习各类函数的过程中，对最为原始、最为基本的函数的图像与性质必须掌握牢固、理解透彻，有助于解决各类函数难题．