2022-2023学年山东师范大学附属中学高二上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年山东师范大学附属中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．在四面体P—ABC中，E是PA的中点，F是BC的中点，设，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由向量加减、数乘的几何意义可得，即可得答案.

【详解】由题设，.

故选：A

2．若直线与的方向向量为，，且与平行，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据与平行列方程，化简求得，进而求得的值.

【详解】由于与平行，所以，

而，，

所以，

所以，解得.

故选：B

3．四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长均为1，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则线段A1C的长度是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】根据空间向量运算法则得到，再利用模长公式进行求解.

【详解】因为，，

所以，，，

因为，

所以

，

所以，即线段的长度是.

故选：A.

4．过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用中点坐标公式可求得坐标，由两点连线斜率公式可求得结果.

【详解】设，，则，解得：，，，

.

故选：D.

5．如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接与交于点，先利用线面垂直的条件证得平面，可知即为直线与平面所成的角，从而得出答案.

【详解】连接与交于点，，所以即为直线与直线所成的角，即．该几何体为正四棱柱，，可得，所以．

连接，易得，平面，平面，所以平面，

所以即为直线与平面所成的角，，所以．

故选：A.

6．已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得直线l的方程，再利用点到直线距离公式去求点到直线l的距离即可.

【详解】以向量为方向向量的直线l的斜率

则过点P的直线l的方程为，即

则点到直线l的距离

故选：B

7．已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（    ）

A．10 B．13 C．16 D．20

【答案】B

【分析】由题意，直线与直线互相垂直且垂足为点，又直线过定点，直线过定点，在中，根据勾股定理及两点间的距离公式即可求解.

【详解】解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点，

又因为直线过定点，直线，即过定点，

所以在中，，

故选：B.

8．如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值.

【详解】连接并延长，交于点，

以为空间一组基底，

由于是的重心，点M在上，且，

所以

①.

连接，因为四点共面，

所以存在实数，使得，

即，

②，

由①②以及空间向量的基本定理可知：

，

，

所以.

故选：C

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（    ）

A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为

B．直线在轴的截距是2

C．直线的倾斜角为30°

D．过点且倾斜角为90°的直线方程为

【答案】CD

【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案.

【详解】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.

B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.

C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.

D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.

故选：CD

10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（      ）

A．若非零向量，，满足，，则有

B．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则

C．空间向量，夹角的余弦值为

D．已知，，若与垂直，则

【答案】BCD

【分析】对于A：与的位置关系不确定，根据空间向量基本定理判断B，根据空间向量夹角的坐标运算判断C，求出与的坐标，再根据得到方程，解得即可；

【详解】解：对于A，若非零向量满足，则与的位置关系不确定，也有可能平行，故A错误；

对于B，若向量与空间任意向量都不能构成基底，则只能两个向量是共线向量，故，故B正确；

对于C：因为，，所以，，，设与的夹角为，则，故C正确；

对于D：因为，，所以，，因为与垂直，所以，即，解得，故D正确；

故选：BCD

11．（多选题）已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据直线过点，设所求直线的方程为，然后根据直线与点，等距离，利用点到直线的距离求解.

【详解】因为直线过点，

设所求直线的方程为，即，

因为直线与点，等距离，

所以，

解得或，

即所求直线方程为或.

故选：AB.

【点睛】本题主要考查点到直线的距离的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

12．如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．当为中点时，直线平面

B．当为中点时，直线与所成的角为

C．若是棱上的动点，且，则平面平面

D．当在棱上运动时，直线与平面所成的角的最大值为

【答案】ACD

【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系依次求解每个选项即可判断.

【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，

当为中点时，，

所以,

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则可得，

因为，所以，

因为平面，所以平面，故A正确；

因为，所以当为中点时，直线与所成的角为，故B错误；

若，则，又,

则，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，可得，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，可得，

因为，所以平面平面，故C正确；

因为，易得平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，

则，

则当时，取得最大值为，所以直线与平面所成的角的最大值为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知四面体的所有棱长都是，点是的中点，则___________.

【答案】

【分析】先拆分，在根据向量数量积的定义计算.

【详解】依题意得，四面体为正四面体，于是每一个面为等边三角形，，

，易知的夹角是，的夹角是，连接，易知是等边三角形的高，故，于是.

故答案为：

14．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的一般式方程为___________.

【答案】

【分析】先求点关于直线的对称点，连接,则直线即为所求.

【详解】设点关于直线的对称点为，则

，

解得，

所以，

又点，

所以，

直线的方程为：，

由图可知，直线即为入射光线，

所以化简得入射光线所在直线的方程:.

故答案为：.

15．已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为_________.

【答案】

【分析】利用，将其两边同时平方即可求，再开方即可求解.

【详解】

如图：，，，

所以

，

所以，

所以的长为，

故答案为：.

四、双空题

16．直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则面积的最小值为 __，当面积取最小值时，直线的一般式方程是 __．

【答案】         

【分析】把直线方程设出来，然后求出两点的坐标，进而写出的面积，然后通过基本不等式即可求出面积的最小值,进而得到答案.

【详解】因为直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，则可设直线的斜率为，且，

所以直线的方程为：即，令，得到，所以；令，得到，所以.

由，则三角形AOB的面积为

,

当且仅当,即，因为，所以，

所以直线方程为.

故答案为：，.

五、解答题

17．已知两条直线：，：.（）

(1)若，求的值；

(2)若，求，之间的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据列方程，化简求得的值.

（2）根据列式，化简求得，进而求得，之间的距离.

【详解】(1)由于，所以.

(2)当时，两条直线的方程分别为和，此时两直线不平行，不符合题意.

当时，

由于，所以，解得或（舍去）

当时，两条直线的方程分别为和，

，之间的距离为.

18．如图，在直三棱柱中，，.

(1)若三棱锥的体积为，求线段的长；

(2)在（1）的条件下，求二面角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用线面平行的性质，将三棱锥的体积进行转换，变成一个容易算的三棱锥的体积；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.

【详解】(1)根据直棱柱性质，侧棱//，又平面，平面，故//平面，故到平面的距离等于到平面的距离，即，而，解得，而，解得.

(2)

根据直棱柱的性质，题干的条件可知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量，由，则由可得，不妨取，则，故；设平面的法向量，由，则由可得，不妨取，则，故，结合几何体特征可知二面角的大小是锐角，由，故二面角的大小是

19．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为.

(1)求直线的一般式方程；

(2)在下列两个条件中任选一个，求直线的一般式方程.

①角A的平分线所在直线方程为；

②边上的中线所在的直线方程为.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

【答案】(1)

(2)答案详见解析

【分析】（1）求得直线的斜率，进而求得直线的一般式方程.

（2）若选①，先求得点的坐标，求得关于直线对称点的坐标，从而求得直线的一般式方程.

若选②，先求得点的坐标，根据线段的中点在直线以及在直线上求得点的坐标，从而求得直线的一般式方程.

【详解】(1)边上的高所在的直线方程为，斜率为，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，

整理得.

(2)若选①，角A的平分线所在直线方程为，

，故.

设是点关于直线的对称点，

则，解得，即，

由于是直线上的点，

所以，

所以直线的方程为，

整理得直线的一般式方程为.

若选②，边上的中线所在的直线方程为，

，故.

设，则的中点在直线上，

即，整理得，

在直线，即，

，即，

所以，

所以直线的方程为，

整理得直线的一般式方程为.

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD.

（1）证明：BC⊥平面PDB，

（2）若AB，PB与平面APD所成角为45°，求点B到平面APC的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）通过证明平面证得，即有，结合，证得平面.

（2）利用等体积法，由列方程，解方程求得点到平面的距离.

【详解】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC在平面ABCD内，BD在平面ABCD内，

∴PD⊥BC，PD⊥BD，

又AP⊥BD，AP∩PD=P，且AP，PD均在平面APD内，

∴BD⊥平面APD，

又AD在平面APD内，

∴BD⊥AD，

又底面ABCD为平行四边形，

∴BC⊥BD，

又PD∩BD=D，且都在平面PBD内，

∴BC⊥平面PDB；

（2）由（1）知，PB与平面APD所成角即为∠BPD，故∠BPD=45°，

又AB，∠DAB=45°，

∴，，

∴AP2+PC2=AC2，即AP⊥CP，

∴，，

又VP﹣ABC=VB﹣PAC，

∴，即，解得，

即点B到平面APC的距离为.

【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

21．已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面平面.

(1)求证：在四棱锥中，；

(2)在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)当点为线段靠近的四等分点时，二面角的余弦值为.

【分析】（1）、先在长方形中证明；再根据面面垂直的性质定理证明平面,得到；然后利用线面垂直的判定证明平面，进而证明;

（2）、以中点为坐标原点建立空间直角坐标系，设表示出，再分别求出平面、平面的法向量，然后利用向量形式表示二面角的余弦值，进而求出最终确定的位置；

【详解】(1)连接,为的中点，，,

为长方形,中，,

在中，,

同理,,,

在折叠后的图形中：

平面平面，平面平面，,平面,

又平面，,

又，平面,平面,,平面，

又平面,,

(2)由（1）可知：、均为等腰直角三角形，过点作底边的高，交于点，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：

则,,,,

易知平面的一个法向量为，

假设在线段上存在点，使二面角的余弦值为，

设,则

设平面的一个法向量为，

取，则，，

即当点为线段靠近的四等分点时，二面角的余弦值为.

22．正方体中.

(1)已知，，分别为，中点.

①若过的截面与平面平行，求此截面的面积；

②若，分别是，上动点，且，求长度的最小值；

(2)若正方体各个顶点都在平面的同侧，且A，，，到平面的距离分别为1，2，3，5，试求与平面所成的角的正弦值.

【答案】(1)①；②

(2)

【分析】（1）①取中点，中点，的中点，证明平面即为所作截面，然后求出其面积即可；

②方法一：以为轴建立空间直角坐标系，设，，由得关系，然后计算，由函数性质得最小值；

方法二：根据给定条件，作出直线GF与EH所成的角，求出DH与DF长的关系即可求解作答.

（2）方法一：把平面平移至过点，记平面为，利用距离得出平面过直线及的靠近点四等分点，然后设正方体棱长，在空间直角坐标系中用空间向量法求线面角．

方法二：过点B作平面，探讨平面截正方体所得截面，作出直线与平面所成的角，再在直角三角形中计算作答.

【详解】(1)①如图，取中点，中点，的中点，连接，

由，得是平行四边形，，

，，则是平行四边形，，

分别是中点，则，所以

平面，平面，所以平面，

取中点，连接，则，而正方体中，

所以， 平面，平面，所以平面，

又，平面，所以平面平面．

所以平面即为过且平行于平面的截面，

，则，，，，

所以；

②方法一：以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，，

则，，，，

，．

由题意，，

，

所以，时，．

方法二：在正方体中，令，取的中点R，连接RE并延长至P，使，连DP，如图，

因为中点，则，当与不重合时，四边形为平行四边形，

，且，过点P作平面于点L，因平面，有，

点L到平面的距离等于点P到平面的距离1，在LP的延长线上取点K，使，

连，则四边形为平行四边形，有，，

因，则，过作交于，交AD于点Q，

而平面，有平面，且L是的中点，，

，，

，

当与重合时，EH与ED重合，上式成立，由得，

，

所以当，时，．

(2)把平面平移至过点，此时平面记为，则到平面的距离都是1，因此平面过中点，从而过直线，

又由题意点到平面的距离为3，设，则，

如下图，仍然以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，，即，

，

与平面即与平面所成的角的正弦值为．

方法二：过点B作平面，则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，

因到平面的距离分别为1，2，3，5，则点A与点，在平面两侧，且点到平面的距离分别为1，1，3，

平面必过线段AC的中点N，因此，平面与棱相交，令交点为M，有，连，如图，

正方体中， 平面，平面，则，而，

，平面，平面，平面平面，连MN，

平面平面，过A作于，平面，则，令，

即是直线与平面所成的角，延长与直线交于点E，如图，

矩形中，点N为线段AC的中点，有，令，则，，

因此，，，中，，

于是得，

所以与平面所成的角的正弦值为．