2022-2023学年新疆塔城市第三中学高二上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年新疆塔城市第三中学高二上学期第一次月考数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆塔城市第三中学高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是A． B． C． D．【答案】D【详解】每一次出现正面朝上的概率相等都是，故选D.2．下列说法正确的是（    ）A．任何事件的概率总是在(0，1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】C【分析】对于A，举例判断，对于B，由频率的性质判断，对于CD，根据频率与概率的关系判断.【详解】必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，故A错；频率是由试验的次数决定的，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错．故选：C．3．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组频数234542 则样本数据落在区间［10,40）的频率为A．0.35 B．0.45 C．0.55              D．0.65【答案】B【分析】计算样本数据落在区间［10,40）的频数，根据频率计算公式，即得解【详解】样本数据落在区间［10,40）的频数，则样本数据落在区间［10,40）的频率为．故选：B4．某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”，根据数学成绩从某班学生中任意找出一人，如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2，该同学的成绩在之间的概率为0.5，那么该同学的数学成绩超过120分的概率为（    ）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8【答案】B【分析】利用概率的性质即可求解.【详解】由题意得，该同学的数学成绩超过120分的概率为.故选:B.5．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（    ）A． B．C．表示向上的点数是1或2或3 D．表示向上的点数是1或2或3【答案】C【分析】根据题意可知，，求出与即可得到结果.【详解】由题意，可知，，则，，∴表示向上的点数为1或2或3．所以D正确故选:C6．年某省新高考将实行“”模式，即语文､数学､外语必选，物理､历史二选一，政治､地理､化学､生物四选二，共有种选课模式.某同学已选了物理，记事件“他选择政治和地理”，事件“他选择化学和地理”，则事件与事件（    ）A．是互斥事件，不是对立事件 B．既是互斥事件，也是对立事件C．既不是对立事件，也不是互斥事件 D．无法判断【答案】A【分析】由互斥事件和对立事件的定义直接判断即可.【详解】事件和事件不能同时发生，事件和事件是互斥事件；该同学还有政治和化学、政治和生物等不同选择，事件和事件不是对立事件；综上所述：事件和事件是互斥事件，不是对立事件.故选：A.7．已知向量 ， 如果 ，那么 等于（    ）A． B．1 C． D．5【答案】B【分析】利用空间向量共线的条件求解即可【详解】， ，，故选：B8．已知向量，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．【详解】向量，，故错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确．故选：D．9．已知空间四边形ABCD中，，，，则等于（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由向量的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得.故选：C.10．下列结论错误的是（    ）.A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C．若､是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底D．若､､不能构成空间的一个基底，则､､､四点共面【答案】C【分析】根据空间向量基本定理：空间中任意三个不共面的非零向量，都可以作为空间的一个基底，根据此定理判断即可..【详解】A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；C选项，∵ 满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，D选项，因为､､共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，故选C.11．给出以下命题，其中正确的是（    ）A．平面的法向量分别为，则B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则【答案】C【分析】对于A，由两平面的法向量是否共线进行判断，对于B，由直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零判断，对于C，由两直线的方向向量数量积为零进行判断，对于D，求出的坐标，再由数量积为零列关于的方程组求解.【详解】对于A，若，则，所以，此方程组无解，所以与不共线，所以不平行，所以A错误，对于B，因为，所以，所以或∥，所以B错误，对于C，因为，所以，所以l与m垂直，所以C正确，对于D，由，得，因为向量是平面的法向量，所以，得，所以，所以D错误，故选：C12．已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，根据点在直线上，求得，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得时，取得最小值，即可求解.【详解】设，由点在直线上，可得存在实数使得，即，可得,所以,则，根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.  二、填空题13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量/mm[ 100, 150 )[ 150, 200 )[ 200, 250 )[ 250, 300 ]概率0.210.160.130. 12  则年降水量在 [ 200，300 ] （mm）范围内的概率是___________【答案】0.25【详解】试题分析：年降水量在 [ 200，300 ] （mm）包括[ 200, 250 )与[ 250, 300 ]而且是互斥的，所以年降水量在 [ 200，300 ] （mm）范围内的概率.【解析】互斥事件的概率.14．已知空间向量，，则向量与的夹角为___________.【答案】【分析】利用向量夹角公式直接计算即可.【详解】，，.故答案为：.15．正四面体ABCD的棱长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为_____________.【答案】【解析】，结合，由数量积定义计算．【详解】正四面体中，点E、F分别是BC、AD的中点，连接，则，而，所以平面，又平面，所以，即，所以．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算，解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计算的向量，然后由数量积定义计算，是基本方法，实质上也可以应用空间向量基本定理表示向量，把向量的运算转化为空间向量的基底进行运算． 三、双空题16．一个袋子中有5个红球,4个绿球,8个黑球,如果随机地摸出一个球,记事件摸出黑球},事件模出绿球},事件摸出红球},则______;______.【答案】          【解析】直接根据概率公式计算即可得出结果.【详解】由古典概型的算法可得，，故答案为：，.【点睛】本题主要考查了古典概率公式，属于基础题. 四、解答题17．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：（１）甲被选中的概率；（２）丁没被选中的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定甲被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率（2）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定丁没被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.【详解】（1）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6种基本事件，其中甲被选中包括甲乙，甲丙，甲丁三种基本事件，所以甲被选中的概率为 .（2）丁没被选中包括甲乙，甲丙，乙丙三种基本事件，所以丁没被选中的概率为.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18．已知长方体中，，点N是的中点，点M是的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出点的坐标并求线段的长度；(2)判断直线与直线是否互相垂直，说明理由.【答案】(1)，(2)不垂直，理由见解析 【分析】（1）根据长方体的长，宽，高，结合中点坐标公式，即可得出点的坐标；根据空间中两点的距离公式求解即可；（2）由空间中向量的数量积公式，证明即可.【详解】(1)由于为坐标原点，所以由得：点N是AB的中点，点M是的中点，(2)直线与直线不垂直理由：由（1）中各点坐标得：与不垂直，所以直线与直线不垂直19．某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二个小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少？（2）两人中至少有一人抽到足球票的概率是多少？【答案】(Ⅰ) 两人都抽到足球票的概率是(Ⅱ)两人中至少有1人抽到足球票的概率是【详解】记“甲从第一小组的10张票中任抽１张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽１张，抽到足球票”为事件B，则“甲从第一小组的10张票中任抽１张，抽到排球票”为事件，“乙从第二小组的10张票中任抽１张，抽到排球票”为事件，于是，；，．由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件．（Ⅰ）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P（A·B）＝P（A）·P（B）＝＝．答：两人都抽到足球票的概率是．（Ⅱ）甲、乙两人均未抽到足球票（事件·发生）的概率为：P（·）＝P（）·P（）＝＝．∴ 两人中至少有1人抽到足球票的概率为：P＝1－P（·）＝1－＝．答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是．20．智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机时间（单位：分钟）的频率分布直方图（如图所示），其分组如下：.(1)根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者使用时间的中位数；（精确到整数）(2)在抽取的100名手机使用者中，在和中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然后从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自和的概率.【答案】(1)57分钟(2) 【分析】（1）设中位数为x，利用面积之和为0.5求解即可；（2）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可【详解】(1)设中位数为x，易知x∈（40，60]，则0.0025×20+0.0100×20+0.0150×（x-40）=0.5，解得x=≈57.∴这500名手机使用者使用时间的中位数是57分钟.(2)设在（20，40]内抽取的2人分别为a，b，在（40，60]内抽取的3人分别为x，y，z，则从5人中选出2人共有以下10种情况：（a，b），（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z），（x，y），（x，z），（y，z），2名组长分别选自（20，40]和（40，60]的共有以下6种情况：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z）.∴所求概率为=.21．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.【答案】证明见解析【分析】以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．分别求出两平面的一个法向量，由法向量垂直得证平面垂直．【详解】由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，则＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝.设平面AA1C1C的一个法向量为＝(x1，y1，z1)．则令x1＝1，得y1＝1.∴＝(1，1，0)．设平面AEC1的一个法向量为＝(x2，y2，z2)．则⇒令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴＝(1，－1，4)．∵＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.∴，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法证明平面垂直，证明方法是建立空间直角坐标系，求出两平面的一个法向量，由法向量垂直得两平面垂直，同样可由法向量平行得两平面平行．用向量法也可证明其他线面平行与垂直，直线平行与垂直．22．正方形的边长为，平面，且，分别为的中点.(1)求点到直线的距离；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)(2) 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量夹角坐标运算可求得，由此可得，则所求距离为；（2）利用点到平面距离的向量求法可直接求得结果.【详解】(1)以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，则，点到直线的距离为.(2)由（1）知：，，，则，设平面的法向量，则，令，解得：，，，点到平面的距离.