四川省达州市2023届高考第一次诊断测试模拟考试文科数学试题（有答案）

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这是一份四川省达州市2023届高考第一次诊断测试模拟考试文科数学试题（有答案），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
达州市2023届毕业年级第一次诊断测试模拟考试文科数学总分: 150分一单选题（5分*12）1. 设集合 , 则等于（）A. B. C. D.2. 如图, 若向量对应的复数为, 则表示的复数为（）A. B. C. D.3. 已知函数 , 则（）A. B.1 C. D.54. 设条件甲: “事件与是对立事件”, 结论乙: “概率满足” , 则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 执行程序框图, 则输出的的值为（）A.31 B.32 C.63 D.646. 已知平面向量是非零向量,夹角, 则向量在向量方向上的投影为（）A. B.1 C. D.27. 已知直线与圆相切, 则的最大值为（）A.3 B.2 C. D.8. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）A. B.C. D.9. 已知定义在上的函数满足, 当时,, 则等于（）A.1 B. C. D.210. 已知函数在区间上单调递增, 则的取值范围为（）A. B.C. D.11. 某顾客在 2022 年 1 月 1 日采用分期付款的方式购买一辆价值 2 万元的家电, 在购买一个月后 2 月 1 日第一次还款, 且以后每个月 1 日等额还款一次, 如果一年内还清全部贷款月 1 日最后一次还款), 月利率为.按复利计算, 则该顾客每个月应还款多少元? (精确到 1 元, 参考值（）A.1767 B.1818 C.1923 D.194612. 如图所示, 设正方体的棱长为, 点是棱上一点, 且, 过的平面交平面于在直线上, 则（）A. B.C. D.二填空题（5分*4）13. 设变量满足约束条件:则目标函数的最大值为__________.14. 已知数列满足, 则等于__________.15. 已知点是坐标平面内一定点, 若抛物线的焦点为, 点是抛物线上的一动点, 则的最小值是__________.16. 已知当时, 不等式恒成立, 则正实数的最小值为__________.三解答题17. （12分）中, 内角的对边分别为, 已知.(1)求 ;(2) 设是线段的中点, 若, 求.18. （12分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训活动的效果，从A，B两所大学各随机抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图.（1）计算A，B两所大学学生的考核成绩的平均值；（2）将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示.现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率.19. （12分）如图, 在四棱锥中, 底面是边长为 2 的菱形,, 侧面为等边三角形.(1)求证: ;(2) 若平面平面, 点为的中点, 求三棱锥的体积.20. （12分）平面直角坐标系中, 已知椭圆, 椭圆。设点为椭圆上任意一点, 过点的直线交椭圆于两点, 射线交椭圆于点.(1) 求证: ;(2)求面积的最大值.21. （12分）已知函数 , 其中为常数.(1) 当时, 判断在区间内的单调性;(2) 若对任意 , 都有, 求的取值范围.22. （10分）在平面直角坐标系中, 曲线的方程为以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线的极坐标方程分别为.(1) 若曲线相交于异于极点的点, 求点的极坐标;(2) 若直线与相交于异于极点的两点, 求的最大值.23. （10分）设的最大值为.(1) 求 ;(2) 若 , 求的最大值.
答案 1. A 【解析】得或 1 ，所以，解得，所以则 .故选: A. 2. D 【解析】由题图可得，即，所以 .故选: D. 3. B 【解析】则 ,,解得 .故选: B. 4. A 【解析】①若事件与事件是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得；②投掷一枚硬币 3 次，满足，但不一定是对立事件，如：事件: “至少出现一次正面”，事件: “出现3次正面”，则，满足，但，不是对立事件.所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A. 5. C 【解析】模拟程序的运行，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为 63 .故选：C. 6. A 【解析】略 7. D 【解析】因为直线与圆相切，所以，即，因为，所以，所以，所以的最大值为，故选：D. 8. B9. D10. B 【解析】由函数解析式知: 在上单调递增，单调递增，又在区间上单调递增，，解得，所以当时，有，故选: B. 11. A 【解析】设每月还款元，共还款 11 个月，所以，.故选: A. 12. A 【解析】因为平面平面，而平面平面，平面平面，所以 .又因为，所以，设，因为，所以 .所以，即.又知，所以，所以，又，所以 .故选A. 13. 【解析】根据不等式组作出可行域，如图所示当目标函数经过点时，取最大值为. 14. 7 【解析】是等差数列，由等差数列性质可得，,. 15. 【解析】抛物线的准线方程为，当轴时，取得最小值，此时点的纵坐标，代入抛物线方程得的横坐标，则 .故答案为 . 16. 【解析】由题意得，原不等式可变形为，即，设，则当时，恒成立，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，因为在上单调递增，所以要使，只要，两边取对数得，，因为，所以，令，则，所以在上单调递增，所以 elne，所以，所以，所以正实数的最小值为，故答案为: . 17. (1).(2). 【解析】(1)根据正弦定理, 由 , 即,由余弦定理可得, ,因为为三角形内角, 所以.(2)因为是线段的中点,,所以 ,则 ,, 解得或(舍),因此 ,所以 . 18. (1) ,.(2). 【解析】(1) , .(2)记事件为 “从样本考核等级为优秀的学生中任取 2 人, 2 人来自同一所大学” .样本中, 校考核等级为优秀的学生共有 3 人, 分别记为校考核等级为优秀的学生共有 3 人, 分别记为,从这 6 人中任取 2 人,所有的基本事件为 ,共 15 个,而事件包含的基本事件是共 6个,因此 . 19. (1)证明见解析.(2). 【解析】(1)证明：如图, 取的中点, 连接,因为为等边三角形,是的中点, 所以,因为底面是菱形,,所以是等边三角形,,因为平面,所以平面, 因为平面, 所以.(2)因为底面是边长为 2 的菱形,为等边三角形,所以 ,底面的面积为,因为平面平面, 平面平面,所以平面,因为为的中点,所以 . 20. (1)证明见解析.(2). 【解析】证明(1)设 , 由题意知.因为 , 又, 即, 所以,即 .(2)由(1)知, 面积为，设 .将代入椭圆的方程, 可得,由 , 可得,①则有 . 所以.因为直线与轴交点的坐标为,所以的面积.设 , 将代入椭圆的方程,可得 ,由 , 可得，②由 (1)(2)可知 , 因此, 故, 当且仅当 , 即时取得最大值.所以面积的最大值为. 21. (1) 在区间上单调递增.(2) . 【解析】(1) 当时, 得,故 ,当时,恒成立,故在区间上单调递增.(2) 当时,,故 , 即, 即.令 ,① 当时,, 又,故在上恒成立, 故;② 当时,,令 ,故在上恒成立,在上单调递增,故 ,即在上单调递增,故 , 故;③ 当时, 由②可知在上单调递增,设时的根为, 则在上单调递减;在上单调递增.又 , 故, 舍去.综上, . 22. (1) .(2) . 【解析】(1) 由 , 由.所以点的极坐标为.(2) 可得的极坐标方程为,则 .设 ,则 ,所以 ,因为 ,所以 .故的最大值为. 23. (1).(2)2 . 【解析】(1)所以 ,即 .(2)由(1)知 .因为 , 所以,所以 .所以的最大值为 2 .