2022年全国中学生数学奥林匹克（预赛）贵州省初赛试题及答案

这是一份2022年全国中学生数学奥林匹克（预赛）贵州省初赛试题及答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年全国中学生数学奥林匹克（预赛）贵州省初赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．双曲线上格点（横纵坐标均为整数的点）的个数为（    ）A．0 B．4 C．8 D．122．平面与长方体的六个面所成的角分别为，则的值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，，是离心率都为的椭圆，点A，B是分别是的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作的切线，．若直线，的斜率分别为，，则的值为（    ）A． B． C． D． 二、多选题4．如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中），得到四个小正方形，记它们的面积分别为，则以下结论正确的是（    ）A．B．C．D．5．如图，M，N分别是两直角边上的动点，P是线段MN的中点，则以下结论正确的是（    ） A．当△AMN的面积为定值时，点P的轨迹为双曲线一支B．当|MN|为定值时，点P的轨迹为一圆弧C．当为定值时， 点P的轨迹为不含端点线段D．当△AMN的周长为定值时，点P的轨迹为抛物线 三、填空题6．，使得（）恒成立，则所有满足条件的a的和_____．7．甲烷分子的四个氢原子位于棱长为1的正四面体的四个顶点，碳原子C位于四面体的中心，记四个氢原子分别为，，，，则_____．8．如图，“爱心”是由曲线和所围成的封闭图形，在区域内任取一点A，则A取自“爱心”内的概率_____．9．函数的对称中心为，则_____． 四、解答题10．已知是曲线上的点，C在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交C于，C在处的切线交轴于，过作轴的垂线交C于点，C在处的切线交轴于，过作轴的垂线交C于，重复上述操，依次得到，，……，求．11．已知半径为1的圆上有2022个点，求证：至少存在一个凸337边形，它的面积小于．（，）12．函数的图像酷似教师批改作业时所画的“对勾”，所以我们常称为“对勾函数”．其图像是双曲线，其渐近线方程为（即轴）与．(1)求C顶点的坐标与离心率；(2)求C焦点坐标．13．正数，满足，求证：．14．求所有正整数n和素数p满足15．甲乙二人轮流给一个正方体的棱涂色，首先，甲任选3条棱涂成红色，然后乙从余下的9条棱中任选3条涂成绿色，接着甲从余下的6条棱中任选3条涂成红色，最后乙将余下的3条棱涂成绿色，如果甲能将某个面上的4条边全都涂成红，甲就获胜，试问甲有必胜策略吗？说明理由．
参考答案：1．A【详解】由，则，∵，∴与 具有相同的奇偶性，则为奇数或者能被4整除，这与矛盾，所以方程无整数解，故选：A.2．C【详解】解法1．取平面与长方体的一个面平行或重合，则在中有两个为0，四个为，所以4.故选：C.解法2．建立如图的空间坐标系，取的法向量为，长方体相邻三个面的法向量为，，，∴，∴=6．故选：C.3．C【详解】不妨设，，∴，代入的方程得：，，化简得．代入得．．化简得．∴，∴，故选C．4．BC【详解】设，最大正方形的边长为1，小正方形的边长分别为．∵，，，，，所以C正确；，所以，所以B正确，故选：BC.5．ABC【详解】建立如图的直角坐标设，则，，，，对于A，当Rt△AMN面积为定值时，，∴轨迹为双曲线一支，所以A正确．对于B，若，则，是一圆弧，所以B正确．对于C，当时，，即为空端点线段，所以C正确．对于D，当Rt△AMN的周长为定值时，则，即，∴，∴，所以，轨迹为双曲线一支，所以D错误．故选：ABC.6．0【详解】由得，，令，，，，，在同一坐标下的图像如图所示：由得，，当时，，由图对称性知，∴，∴，∴元素之和为0，故答案为：0.7．【详解】在面的射影为，，则，∴，又，∴，即，∴，∴，所以，故答案为：.8．【详解】解法1．区域的面积为，爱心面积，∴．故答案为：.解法2．在图中的阴影部分面积，所以爱心面积为，∴．故答案为：.9．1【详解】∵，设，，∴是奇函数，所以f(x)关于点对称，∴．故答案为：1.10．【详解】由得，∴，∴，∴，由知，∴，，即，∴数列是首项，公差为的等差数列，.11．证明见解析【详解】由于，故将2022个点分成6组，则至少有一个组T的点数不小于337个，将圆周六等分，，将T组的点都放在弧上（有两个点可能是A，B），则凸337边形的面积小于弓形的面积，而弓形的面积为，∴至少存在一个凸337边形，它的面积小于.12．(1)顶点坐标为，，离心率为；(2)，. 【详解】（1）由于的两条渐近线为与，则它的中心为，实轴所在的直线方程为，由得或，∴顶点坐标为，．由于渐近线对实轴的夹角为，∴离心率，，∴.（2）设焦点坐标为，则        ①由得，，所以        ②由①②联解得，．∴焦点坐标为，．13．证明见解析【详解】（柯西不等式），由均值不等式可得，令，，其中，则，所以．所以．14．证明见解析【详解】是唯一解．下面我们证明这个结论．首先排除．假设．则，显然地，等式左边不是4的倍数，但右边是4的倍数，矛盾！因此为奇素数，于是也为奇数，．由于，，我们有，，于是，因此，即，于是．此时原式转化为，显然地，若，．于是，当时，，此外，矛盾！经验证得是唯一解．15．甲没有必胜策略，理由见解析【详解】将正方体的12条棱分成4组：，，．当甲第一次涂红3条棱后，由抽屈原理知，上述4组棱中总有一组的3条棱均未被涂红．乙只要将这一组的3条棱涂绿，则正方体的6个面就各有一条绿边．可见，甲没有必胜策略．