2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）及答案

2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）

1．如图，抛物线交x轴于A(-2，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，连AC、BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（备用公式：点与点的距离为）

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

(3)试探究点M在运动过程中，平面内是否存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点，点P是抛物线第四象限内的动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点D和点E，当四边形是正方形时，求P的坐标；

(3)连接、，过点P作交线段于点Q，连接、、，记与面积分别为，，设，求S的最大值．

3．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，3），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA，抛物线经过点A，与x轴正半轴交于点C，点C的坐标是（1，0）．

(1)求抛物线的表达式；

(2)将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围；

(3)连接BC，设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果B、C、E、F构成平行四边形，直接写出点E的坐标．

4．如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．

(1)请直接写出点A，B，C的坐标；

(2)点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．

(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线与x轴交于A（1，0），B（，0）两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在（1）中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形，求出点M的坐标；

(3)设（1）中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，抛物线与x轴交于A，C两点，与直线交于A，B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P在直线AB上方的抛物线上运动．

①点P在什么位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标；

②当点P与点C重合时，连接PE，将△PEB 补成矩形，使△PEB上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

7．综合与探究：如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点D在x轴的下方，当的面积是时，求的面积；

(3)在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

8．已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．

①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；

②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．

9．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作轴，垂足为点F，直线与直线交于点E，若，求点D的坐标；

(3)如图2，直线交直线于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

10．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接AC

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1，连接BC，点P为第一象限抛物线上一动点，过点Р作PM∥x轴交直线BC于点M，过点Р作PN∥AC交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2，把抛物线y=ax2+bx+4向右平移2个单位长度，平移后的抛物线与原抛物线相交于点Q，点E是原抛物线对称轴上一动点，点F是平移后抛物线上一动点，直接写出所有使得以点A、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点F的坐标，并把求其中一个点F的坐标的过程写出来．

11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，在直线BC上方的抛物线上有动点P，过点P作轴，交BC于点Q，当时，求点P的坐标；

(3)如图2，若点D坐标为，轴交直线BC于点E，将沿直线BC平移得到，移动过程中，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，C，，P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，则的最大值是______；

(3)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．设运动时间为t秒且（），求t为何值时，的面积最大并求出最大值；

(4)过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的横坐标．

13．抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且，，与y轴交于点C．连接BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC．点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

(2)x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．

14．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AE、CE，当的面积最大时，点D的坐标是 　   　；

(3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，直线l： 与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为A．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交l于点E，求的最大值；

(3)设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．

16．如图，抛物线经过点和点，与x轴交于点C和点D，点A为线段CD的中点，直线y=kx-1过点A，与y轴交于点B．

(1)求抛物线的函数表达式．

(2)在第三象限内，以AB为边作正方形ABMN，请求出点M和点N的坐标．

(3)在（2）的条件下，点P是x轴上方抛物线上的一点，以AB为一边，以点P为对角线的交点作平行四边形ABEF，当平行四边形ABEF的面积恰好是正方形ABMN的面积的4倍时，求出点P的横坐标．

17．如图，直线分别交轴于点，经过点的抛物线与轴的另一交点为点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点为第一象限内抛物线上一动点，连接，交于点，求的最大值及此时点的坐标；

(3)若点在轴上，点在抛物线的对称轴上，以点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．

18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B分别位于原点的左右两侧，且BO＝3AO＝3．已知直线y＝kx+n过B，C两点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是抛物线上的一个动点．

①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．记△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，若S1：S2＝1：2，求点P的坐标；

②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．(1)

(2)PN=，当m=时，PN有最大值，最大值为

(3)平面内存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．点D的坐标为(3，5)或(，)

2．(1)

(2)

(3)S有最大值为

3．(1)

(2)1＜m＜

(3)（－1，0）或（－2+，0）、（－－2，0）或（3，0）

4．(1)A（-2，0），B（6，0），C（0，-6）

(2)当m=3时，△PBC的面积最大，最大值为

(3)存在，（4，-6）或或

5．(1)

(2)M（−1，0）

(3)存在，P点坐标为（，）或（，）或（，3）

6．(1)

(2)①当时，最大，为，此时点

②矩形未知顶点的坐标D（-6，-3）；

7．(1)

(2)

(3)存在，或或

8．(1)

(2)①；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：．

9．(1)y=－x2+2x+3

(2)点D坐标为（，2+1）

(3)存在；（2，3），（1+，1），（1-，1），（-2，-5）

10．(1)；

(2)的最大值为，点P的坐标为，

(3)或

11．(1)

(2)

(3)存在，

12．(1)；

(2)；

(3)当t＝3时，面积最大，最大值为；

(4)6或或

13．(1)

(2)存在，点P的坐标为（0，0）或或或（－4，0）

(3)当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形，

14．(1)；

(2)；

(3)当Q点为或或时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．

15．(1)

(2)最大值是3

(3)能，或

16．(1)

(2)，

(3)-1或

17．(1)

(2)当时，有最大值为，点坐标为

(3)

18．(1)

(2)①(1，4)或(2，3)；②点P的坐标为(2，3)时，点Q的坐标为(1，2)或(1，-2)；点P的坐标为(0，3)时，点Q的坐标为(1，4)．