2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（线段周长问题）及答案

2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（线段周长问题）

1．如图，抛物线与x轴交于两点，A点坐标为，C点坐标为，与y轴交于点．点P是抛物线上的一动点，且点P在直线的下方，过点P作x轴的垂线，交直线于点E，垂足为D．

(1)求抛物线的表达式；

(2)当最大时，求点P的坐标；

(3)在（2）的条件下（即最大时）问在直线上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，求出符合条件的Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，点在轴上，点的横坐标为．

(1)点坐标为_________，点坐标为_________．

(2)求此抛物线所对应的函数解析式．

(3)点是抛物线上一点，点与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，设的长为．

①若点在直线的上方，求关于的函数解析式；

②若点在轴的上方，当随的增大而增大时，直接写出的取值范围．

3．抛物线与轴交于点和， 与轴交于点， 连接． 点是线段下方抛物线上的一个动点(不与点重合)， 过点作 轴的平行线交于， 交轴于， 设点的横坐标为．

(1)求该拋物线的解析式；

(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；

(3)过点作于点，

①求点的坐标；

②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标； 若不存在， 请说明理由．

4．如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，若OA=1，OB=3，抛物线的对称轴为直线x=1．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△AOB的面积；

(3)若抛物线上另有一点P满足S△PAO=S△AOB，请求出点P的坐标；

(4)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使它到点A的距离与到点B的距离之和最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点 ，连接，，点E是对称轴上的一个动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的周长最小，并求此时点P的坐标；

(3)当时，求点E的坐标．

6．如图，在平面直角坐标系中，两点在坐标轴上，绕点原点顺时针旋转后得到，，抛物线经过点、、．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点，使得最小值？若存在，请求出点点的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)在抛物线上有一点，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．

7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0，﹣3)．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当点A在四边形OMPN的边上时，用含m的代数式表示该四边形的周长；

(3)当该抛物线的顶点和点B到PN所在直线的距离相等时，求m的值；

(4)当抛物线在矩形PNOM内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

8．如图，抛物线交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．

(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．已知抛物线交轴于、两点，在的左边，交轴于点．

(1)求抛物线顶点的坐标；

(2)如图1，若，在抛物线上且在直线上方，于，求的最大值；

(3)如图2，点（）在抛物线上，过作直线交抛物线于第四象限另一点，点在轴上，以、、为顶角的三角形与相似，求点的坐标．

10．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；

(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

11．综合与探究：

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；

(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；

12．如图1，在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于和，与y轴交于点C，连接．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图2，点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求周长的最大值；

(3)点P为抛物线上的一动点，且，请直接写出满足条件的点P的坐标．

13．如图1，抛物线经过，，点B在x轴上，且，过点B作轴交抛物线于点D，点E，F分别是线段CO，BC上的动点，且，连接EF．

(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；

(2)当是直角三角形时，求点F的坐标；

(3)如图2，连接AE，AF，直接写出的最小值为：______．

14．抛物线与轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)求m的值及顶点D的坐标；

(2)如图1，若点E是抛物线上对称轴右侧一点，设点E到直线AC的距离为，到抛物线的对称轴的距离为,当时，请求出点E的坐标．

(3)如图2，直线交抛物线于点M，N，连接AM，AN分别交y轴的正半轴和负半轴于点P，Q，试探究线段OP，OQ之间的数量关系．

15．如图，抛物线L：与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，直线l经过点B和点C，点P的坐标为．

(1)求抛物线L和直线l的解析式；

(2)当点P在L上时，求m的值；

(3)过点P作y轴的平行线，分别与直线l、抛物线L交于点M、N．

①当线段，求m的值；

②若P，M，N三点不重合，当其中两点关于第三点对称时，直接写出m的值．

16．如图1，直线y＝2x＋2交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为B．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图2，点D是抛物线在第一象限内的一点，连接OD，将线段OD绕O逆时针旋转90°得到线段OM，过点M作MN∥x轴交直线AC于点N．求线段MN的最大值及此时点D的坐标；

(3)在（2）的条件下，若点E是点A关于y轴的对称点，连接DE，试探究在抛物线上是否存在点P，使得∠PED＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式及点C坐标；

(2)如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交y轴于点D，直线AB与之相交，且是抛物线的顶点．

(1)b＝______，c＝______；

(2)如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足，抛物线交x轴于点C，连接PC．

①求直线PB的解析式；

②求PC的长；

(3)如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．

参考答案：

1．(1)

(2)

(3)存在， Q点的坐标为或

2．(1)，

(2)

(3)；或

3．(1)

(2)，

(3)①；②存在点或

4．(1)y＝x2﹣2x﹣3

(2)

(3)，，

(4)（1，﹣2）

5．(1)抛物线的解析式为

(2)找点P见解析，

(3)点E的坐标为或

6．(1)

(2)存在，

(3)或或

7．(1)

(2)

(3)m=1+或m=1-

(4)m＜-1或0＜m＜2

8．(1)

(2)D（5，8）或（﹣1，8）

(3)存在，（2，1）

9．(1)（，）

(2)

(3)（2，0）或（-5，0）或或

10．(1)

(2)（1，-2）

(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）

11．(1)

(2)最小值为-2，最大值为

(3)

12．(1)

(2)

(3)或

13．(1)，点D（-3，-5）；

(2)或

(3)

14．(1)，

(2)

(3)

15．(1)，y＝x－3；

(2)m＝1或3；

(3)m的值为﹣1、0、、1、2、3．

16．(1)

(2)最大值为3；

(3)存在，，

17．(1)抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；C（0，3）；

(2)PE最大值为，点P的坐标为（，）；

(3)点G的坐标为（0，1）或（0，3+1）或（0，1-3）．

18．(1)-1；4

(2)①y＝−x−1；②

(3)（，）或（，−3）