2023年江苏省苏州市高考模拟数学试题（二）及答案

这是一份2023年江苏省苏州市高考模拟数学试题（二）及答案，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省苏州市高考模拟数学试题（二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知复数z与都是纯虚数，则z的共轭复数为（    ）
A．2 B． C． D．
2．已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
3．已知，，，若，则（    ）
A． B． C． D．
4．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中的值为（    ）

A． B． C．6 D．
5．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（    ）

A．1895秒 B．1896秒 C．1985秒 D．2528秒
6．在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（    ）
A． B． C． D．
7．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
8．在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题
9．2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：

90
95
100
105
110

11
10
8
6
5

用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有（    ）A．变量与负相关且相关性较强
B．
C．当时，的估计值为13
D．相应于点的残差为
10．已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为2
11．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（    ）
A．当平面时，不可能垂直
B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]
D．当时，的最小值为
12．已知函数，，则下列说法正确的是（      ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为

三、填空题
13．已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．
14．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为___________.
15．数列满足，，则__________
16．已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______ ．

四、解答题
17．已知各项为正数的数列的前项和为，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
18．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80

(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.
附：

0.010
0.005
0.001

6.635
7.879
10.828


19．如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.

(1)证明：平面；
(2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．在中，，点，分别在，边上．
(1)若，，求面积的最大值；
(2)设四边形的外接圆半径为，若，且的最大值为，求的值．
21．已知动圆与圆及圆中的一个外切，另一个内切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若直线与轨迹相交于、两点，以线段为直径的圆经过轨迹与轴正半轴的交点，证明直线经过一个不在轨迹上的定点，并求出该定点的坐标．
22．已知函数.
(1)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：.

参考答案：
1．D
【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后再动手，纯虚数的特征就是实部为0，虚部不为0的虚数，可用复数的代数形式解.
【详解】设则
为纯虚数，则有：，解得：，
故，则.
故选：D.
2．B
【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果.
【详解】因为或，解得或
即，
因为，所以
当时，，满足要求.
当时，则，由，
可得，即
当时，则，由，
可得，即
综上所述，
故选:B.
3．B
【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得,进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
，
，
所以或，
又，所以，
所以，
所以，
故选：B.
4．C
【分析】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得的坐标，再由数量积的坐标表示计算．
【详解】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
，，
，即，
，由分形知，所以，
所以，
所以．
故选：C．

5．C
【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解．
【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为，高为，
所以细沙体积为
所以该沙漏的一个沙时为秒，
故选：C
6．D
【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.
【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，
故这个人患流感的概率为，
故选：D
7．D
【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.
【详解】因为，定义域关于原点对称，
，
所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,又因为为偶函数,
所以在上单调递增，
又因为,,

又因为,
因为,，所以,
所以，即,
所以,
所以,
即.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.
8．A
【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案
【详解】连接，

在中，因为是的中点，
所以，平方得，
将代入可得，
因为，所以，
所以，
在，，
所以，
当且仅当即时，取等号,
故选：A
9．ABD
【分析】根据相关性、相关系数判断A，利用样本中心点判断B，将代入回归直线方程判断C，求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D.
【详解】对A，由回归直线可得变量，线性负相关，且由相关系数可知相关性强，故A正确；
对B，由题可得，，
故回归直线恒过点，故，即，故B正确；
对C，当时，，故C错误；
对D，相应于点的残差，故D正确.
故选：ABD.
10．ABC
【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A；
根据离心率求出，则，即可判断B；
设上顶点，得到，即可判断C；
根据利用基本不等式判断D.
【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C正确；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，故D不正确．
故选：ABC
11．BD
【分析】对A，作出如图空间直角坐标系，由向量法结合向量垂直判断即可；
对B，由几何关系得出与平面所成线面角，可得，则点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆；
对C，由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置；
对D，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理即可求.
【详解】对A，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，若平面，则，即，
由，则，即P为中点时，有平面，且，A错；
对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角，

若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B对；
对C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，
设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错；
对D，如图，将平面与平面沿展成平面图形，

线段即为的最小值，
利用余弦定理可知，
所以，D对.
故选：BD
【点睛】（1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题；
（2）B中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧；
（3）C中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题；
（4）D中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论.
12．ABD
【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确.
【详解】对于A，当时，，令，则，，
，当时，恒成立，在上单调递增；
在上单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；
对于B，当时，，又为正实数，，
，当时，恒成立，在上单调递增，
则由得：，即，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，则正实数的最小值为，B正确；
对于C，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，则；
不妨设，则必有，
若，则，等价于，
又，则等价于；
令，则，
，，，，即，
在上单调递增，，即，
，可知不成立，C错误；
对于D，由，得：，即，
由C知：在上单调递减，在上单调递增；
，，则，，
，即，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即的最大值为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
13．2
【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可
【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以

当时,,当时,,符合题意
所以展开式中有理项的个数为2
故答案为：2
14．
【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.
【详解】解：，
则，即，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
综上，函数的值域为.
故答案为：.
15．
【分析】由已知整理得，先利用累乘法求数列的通项，再利用错位相减法求其前2021项的和，从而得到结果.
【详解】由得：，
；
设，
则，
，
，
，即，
，，
.
故答案为：.
16．
【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出.在，有
，进而可推出，根据的范围，即可得到结果.
【详解】
由已知，，.
如图，设点，则，
，
在中，有
，
易知，则，
则，
因为，，所以当时，取得最大值，
又，所以，.
所以，的取值范围是.
故答案为：.
17．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用公式，时，，代入化简得到数列的递推公式，即可求解通项公式；
（2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式.
【详解】（1）当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减可得，，又，
，即是首项为，公差为的等差数列，
因此，的通项公式为；
（2）证明：由可知，所以，
，
因为恒成立，所以，
又因为，所以单调递增，所以，
综上可得．
18．(1)可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，理由见解析
(2)
(3)

【分析】（1）计算卡方，与6.635比较后得到结论；
（2）利用事件，利用条件概率求出答案；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，得到，利用构造法得到，即数列是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，得到答案.
【详解】（1），
故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，
则，
则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，
设，则，
所以，解得：，
所以，其中，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，
故第次传球后球在甲手中的概率为.
19．(1)见解析
(2)存在，

【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；
（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出.
【详解】（1）证明：正方形中，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
，且，又，
，又，，
，又，，
又平面，
平面；
（2）解：如图，以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设点，，，
，
，
设平面的法向量为，
，
令，
显然，平面的法向量为，
，
即，即
即，解得或（舍），
所以存在一点，且.

20．(1)
(2)

【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值为1，再利用面积公式即可求解；
（2）由四边形存在外接圆，知四边形为等腰梯形，连接，设，，
利用正弦定理，表示，进而利用基本不等式求解.
【详解】（1）由已知，
在中，利用余弦定理知，
结合基本不等式有，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为1，

所以面积的最大值为
（2）四边形存在外接圆，
又，，，
，所以四边形为等腰梯形，
连接，设，，
在中，由正弦定理得，，
，
同理，在中，由正弦定理得，，
所以



，，
，
当且仅当，即
，，当且仅当时，等号成立，
即，即

21．(1)；
(2)证明见解析，．

【分析】（1）分别讨论与圆A外切圆内切、与圆A内切圆外切，结合双曲线的定义即可求得方程；
（2）分别讨论直线的斜率存在不存在的情况，其中斜率存在时，设直线的方程为，由，结合数量积坐标运算及韦达定理，即可化简得出m与k的关系，即可进一步讨论定点
【详解】（1）依题意，，，
当动圆与圆A外切且与圆内切时，有，即，
当动圆与圆A内切且与圆外切时，有，即，
即，
动圆的圆心的轨迹是以A、为焦点的双曲线，其中，，
轨迹的方程为；
（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，
由得，
由，得，
且，
依题意，以为直径的圆经过点，
，且，
，
，
即，
，
化简，得，即，
或，且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点即是点，不符题意，舍，
当时，直线的方程为，直线过定点，符合题意，
当直线的斜率不存在时，设的方程为，
由解得，
依题意，以为直径的圆经过点，，即，
，即，
解得（舍或，
的方程为，直线过点，
故直线经过一个不在轨迹上的定点，定点的坐标为．
【点睛】关键点点睛：
（1）注意讨论直线斜率存在与否；
（2）斜率存在时，设直线的方程为，由，结合数量积坐标运算及韦达定理，即可化简得出m与k的关系，即可进一步讨论定点
22．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求导，结合导函数特征，分与两种情况，结合，得到实数a的取值范围；
（2）在第一问的基础上，取，得到在上恒成立，令，则，从而，再用裂项相消法求和，不等式得证.
【详解】（1），，，，
，
时，，
∴，函数在上单调递增，
∴恒成立，满足条件.
时，对于方程，其，方程有两个不相等的实数根，
，，
，
当时，，此时函数单调递减，
，则，不满足条件，舍去.
综上可得：实数a的取值范围是.
（2）证明：由（1）可知：取时，函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
令，则，
∴，
∴，
∴.
【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.