四川省成都市第二十中学校2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题及答案

四川省成都市第二十中学校2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，样本极差分别为和，则（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

5．若直线与曲线有公共点，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

6．如图，，为以的直径的半圆的两个三等分点，为线段的中点，为的中点，设，，则（    ）

A． B． C． D．

7．下列命题中， 不正确的是（    ）

A．“若 ， 则” 的否命题为假命题

B．在锐角 中， 不等式恒成立

C．在 中， 若， 则必是等腰直角三角形

D．在 中， 若， 则必是等边三角形

8．函数，其部分图像如图所示，下列说法正确的有（    ）

①；②；

③是函数的极值点；

④函数在区间上单调递增；

⑤函数的振幅为1．

A．①②④ B．②③④ C．①②⑤ D．③④⑤

9．已知为数列的前项和，且，则下列式子正确的是（       ）

A． B．

C． D．

10．设，分别为双曲线（a>0，b>0）的左､右焦点，若双曲线上存在一点P使得，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

11．已知函数若正实数满足，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

12．如图， 在棱长为 2 的正方体 中，均为所在棱的中点， 则下列结论正确的有（    ）

①棱 上一定存在点， 使得

②三棱锥的外接球的表面积为

③过点 作正方体的截面， 则截面面积为

④设点 在平面内， 且平面， 则与所成角的余弦值的最大值为

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

二、填空题

13．已知实数，满足则的最大值为_______．

14．已知平面向量，，若向量，则______．（其中用坐标形式表示）

15．已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．若，，△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为________．

16．已知O为坐标原点，抛物线C：上一点A到焦点F的距离为4，设点M为抛物线C准线l上的动点，给出以下命题：

①若△MAF为正三角形时，则抛物线C方程为；

②若于M，则抛物线在A点处的切线平分；

③若，则抛物线C方程为；

④若的最小值为，则抛物线C方程为．

其中所有正确的命题序号是________．

三、解答题

17．设为数列的前项和，已知，．

(1)证明：为等比数列；

(2)求的通项公式，并判断是否成等差数列？

18．某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.

（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？

（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．

19．如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面ABCE．

(1)设F为的中点，若M为线段AB上的一点，满足．求证：平面；

(2)求点B到平面的距离．

20．已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当时，求的面积；

(3)求证：直线与直线的交点T的纵坐标为定值．

21．已知函数（），.

（1）求函数的极值点；

（2）若恒成立，求的取值范围.

22．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴，建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为.

(1)求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点（异于极点）的极径；

(2)曲线的参数方程为（为参数）.若曲线和曲线相交于除极点以外的，两点，求线段的长度.

23．设函数的最小值为.

（1）求；

（2）设，且，求证：.

参考答案：

1．B

【分析】根据集合的运算的定义求解.

【详解】由解得,所以,

又因为,所以,

所以.

故选:B.

2．D

【分析】先求出复数z，即可求出答案.

【详解】，复数z对应的点为

则复数z对应的点位于第四象限

故选：D.

3．B

【分析】观察图形可知，样本A的数据均在之间，样本B的数据均在之间，利用平均数，标准差，极差的定义可得解.

【详解】观察图形可知，样本A的数据均在之间，样本B的数据均在之间，

由平均数的计算可知，样本极差

样本B的数据波动较小，故，

故选：B

4．C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

5．C

【分析】根据直线与圆相交，结合点到直线的距离公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.

【详解】曲线表示圆心，半径为的圆，

由题意可知，圆心到直线的距离应小于等于半径，

所以，，解得.

故选：C.

6．A

【分析】直接利用向量的线性运算计算即可.

【详解】因为，为以的直径的半圆的两个三等分点

则//，且

又为线段的中点，为的中点

故选：A.

7．C

【分析】根据不等式的性质和正弦定理，余弦定理即可判断求解.

【详解】对于A，原命题的否命题为“若 ， 则”，

由得，，得或或，

所以该否命题为假命题，故A正确；

对于B，在锐角 中，因为,

所以,因为,所以，

又因为在单调递增，所以，

即，故B正确；

对于C， 在中，由 ，

利用正弦定理可得： ，

或，

得 或，

是等腰三角形或直角三角形，故C错误;

对于D，由余弦定理得，

又因为，所以，

所以，又因为，所以是等边三角形，故D正确，

故选:C.

8．C

【分析】根据函数的部分图像求出函数的解析式，即可判断①②⑤是否正确；若是函数的极值点则，可判断③是否正确；求出的单调增、减区间，即可验证④是否正确；

【详解】设的最小正周期为，根据函数的部分图像可知，，是函数的两个相邻的零点，

，，，故①正确；

根据函数的部分图像可知，,故⑤正确；

，，，，

将代入中，，

，，

，当时，，故②正确；

，若是函数的极值点则必有，而，

不是函数的极值点，故③错误；

由，得，

的单调递增区间为，

由得，，

的单调递减区间为，

在上单调递减，在上单调递增，

在上不单调，故④错误.

故选：C

9．D

【分析】由已知得， ，两式作差得，再求得 ，，得数列从第2项起构成以为公比的等比数列，求得时，，，代入判断可得选项.

【详解】解：因为，所以，两式作差得，

即，所以，

又，，解得，，

所以数列从第2项起构成以为公比的等比数列，

所以， ，

，

所以，故A不正确，B不正确；

，所以，故C不正确，D正确，

故选：D.

10．B

【分析】由双曲线的定义得到，再由题意知，，三个式子组合即可得到，解出的值，在由双曲线的离心率为，即可得到答案.

【详解】，即①.根据双曲线的定义可得，即②，①减去②得.，故，解得或（舍）. 双曲线的离心率为.

故选：B.

11．D

【分析】构造函数，由导数结合奇偶性得出在上单调递增，进而得出，最后由基本不等式得出答案.

【详解】函数定义域为，令

，

易知和均奇函数，所以为奇函数

，所以在上单调递增

由得

即，所以，即

则

当且仅当时，取等号

故选：D

【点睛】关键点睛：本题考查点较为综合，解决时关键在于利用导数得出，进而由基本不等式得出最值.

12．C

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出满足题意的位置即可，经计算可知点不存在，故①错误；根据三棱锥的几何特征，可计算出其外接球半径为，所以②正确；由图可知，过点 的截面为边长是 的正六边形，即可计算其面积，所以③正确；利用空间向量写出与所成角的余弦值的表达式求其最值即可，所以④正确.

【详解】建立如图空间直角坐标系，

设， 其中，

所以 ，

若棱 上存在点， 使得， 则，

整理得， 此方程无解， ①不正确;

设 的中点为， 则四边形是边长为的正方形， 其外接圆的半径为，

又 底面， 所以三棱锥的外接球的半径为；

所以其表面积为 ，②正确;

过点 作正方体的截面， 截面如图中六边形所示，

因为边长均为 ， 且对边平行， 所以截面六边形为正六边形，

其面积为， ③正确;

点 在平面内，设，

 则，

设 是平面的一个法向量， 则，

令 可得， 即，

因为平面， 所以， 即，

设与所成角为， 则，

当时，取最小值，

所以 与所成角的余弦值的最大值为，故④正确;

故选：C.

13．5

【分析】本题考查简单的线性规划，属基础题，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，观察可得何时目标值取得要求的最值，进而得解.

【详解】解：根据方程组画出可行域如图所示，可以求得B(1,1),

当直线经过点B时取得最大值为5，

故答案为：5.

14．

【分析】根据向量的线性坐标运算，以及向量数量积的坐标运算可求得答案.

【详解】解：因为平面向量，，所以，

所以，

故答案为：.

15．

【分析】利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径.

【详解】由，解得．．解得．

，解得．

故答案为:．

16．①②③④

【分析】根据抛物线的标准方程及抛物线的几何性质依次判断即可.

【详解】①若△MAF为正三角形时，，故①正确；

②若于M，设 ，过的切线方程为:，

代入得，

，又，，

，所以过点的切线的斜率为，

因为，所以过的切线，又,

故抛物线在A点处的切线平分，②正确

③若，则三点共线，，

由三角形的相似比得，故③正确；

④设则，关于准线l对称，，

，

,解得，故④正确.

故答案为: ①②③④

17．(1)证明见解析

(2)，，，成等差数列

【分析】（1）由已知可得：，，解得，可得，可得，即可证明；

（2）由（1）知，，可得，．只要计算即可．

【详解】（1）证明：，，，

，，，

，

是首项为2公比为2的等比数列．

（2）由（1）知，，，

，

，，

即，，成等差数列．

18．（1）男30人，女45人（2）

【分析】（1）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；

（2）求出样本中的男生和女生的人数，写出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．

【详解】（1）由题可得，男生优秀人数为人，

女生优秀人数为人；

（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是，

所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人．

设两名男生为，，三名女生为， ．

则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：

，，，，，，，，，共10个，

记事件：“选取的2人中至少有一名男生”，

则事件包含的基本事件有：

，，，，，，共7个．

所以．

【点睛】本题考查了频率分布问题，考查了古典概型概率问题，是一道中档题．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点N，证明AMFN是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）取AE的中点O，BC的中点Q，连接EF，，由平面平面AECB，得到平面AECB，设点B到平面的距离为d，由求解.

【详解】（1）证明：如图所示：

取的中点N，连AN、NF，则，，

∵，当时，，，

是且，

所以AMFN是平行四边形，

则．

又平面，平面，

所以平面；

（2）如图所示：

取AE的中点O，BC的中点Q，连接EF，．

易知，．

因为，，

所以，平面平面，

平面平面AECB，平面，

所以平面AECB．

设点B到平面的距离为d．

在中，，，

所以．

在中，因为，，

所以．

由，

得．

即

解得．

20．(1)；

(2)面积不存在；

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据题意求出，再由离心率为和，求出与，即可得到椭圆方程.

（2）把直线与椭圆进行联立，得到，直线与椭圆无交点，故的面积不存在．

（3）设直线l的方程并和椭圆进行联立，由直线和椭圆有两个交点，，再由，T，M在同一条直线上，得；，T，N在同一条直线上，.化简得，故交点T的纵坐标为定值.

【详解】（1）因为，所以，即，因为离心率为，所以，设，则，，又，即，解得或（舍去），所以，，，所以椭圆的标准方程为

（2）由得

，

所以直线与椭圆无交点，故的面积不存在．

（3）由题意知，直线l的方程为，设，，

则，整理得，

则，

因为直线和椭圆有两个交点，所以，则，

设，因为，T，M在同一条直线上，则，

因为，T，N在同一条直线上，则，

由于，所以，

则交点T恒在一条直线上，故交点T的纵坐标为定值.

21．（1）当时，无极值点，当时，有极大值点，无极小值点，（2）

【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求出导函数，通过判断导函数的正负来判断函数的极点；

（2）将不等式恒成立转化为对恒成立，构造函数，利用导数研究函数的性质，求解的最值，即可得到的取值范围

【详解】解：（1）函数的定义域为，

由，得，

当时，，所以在上单调递增，函数无极值点，

当时，由，得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以有极大值点，无极小值点，

综上，当时，无极值点，当时，有极大值点，无极小值点，

（2）因为恒成立，即恒成立，

所以对恒成立，

令，则，

令，则，

所以在上单调递减，

因为，

所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点，使得，

即，

两边取对数可得，即，

因为函数在上单调递增，所以，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，

所以的取值范围为

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是恒成立，转化为对恒成立，然后构造函数，利用导数求出的最大值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题

22．(1)极坐标方程为，，极径为

(2)2

【分析】（1）先求出曲线的直角坐标方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的极坐标方程；联立曲线与曲线的极坐标方程，消去可得结果；

（2）将曲线的参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程，联立曲线和曲线的极坐标方程，消去得到两点的极径后相加即可得解.

【详解】（1）曲线的直角坐标方程为，即，

将，代入并化简得的极坐标方程为，.

由消去，并整理得，∴或.

∴所求异于极点的交点的极径为.

（2）由消去参数得曲线的普通方程为，

∴曲线的极坐标方程为和

由和得曲线与曲线两交点的极坐标为，，

∴为极点.

23．（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）利用“零点讨论法”将绝对值函数表示为分段函数的形式，求分段函数的最值即可；

（2）由（1）易构造出，利用柯西不等式即可得结果.

【详解】（1）∵，

∴时，，且时 ，，∴，∴；

（2）由（1）知，∴，

∵

，

∴，当且仅当取等号.

【点睛】关键点点睛：得出，构造柯西不等式的形式.