安徽省部分学校2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案

安徽省部分学校2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B．

C． D．

3．从编号为的个形状大小都相同的球中任取个，则所取个球的最小编号是的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（    ）

A． B．

C． D．

5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.设数列的前项和为，记，，则（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数与函数的部分图象如图所示，且函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到，则在区间上的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

7．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，在棱长为的正四面体中，点分别在棱上，且平面平面为内一点，记三棱锥的体积为，设，关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．，使得

B．函数在上是减函数

C．函数的图象关于直线对称

D．，使得（其中为四面体的体积）

二、多选题

9．如图，在正方体中，下列结论正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面平面 D．平面平面

10．已知，其中为锐角，则（    ）

A． B．

C． D．

11．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，过作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，则下列说法正确的是（    ）

A．若为椭圆的一个焦点，则的周长为

B．若，则的面积为

C．直线的斜率为

D．

12．已知函数，，若存在，，使得成立，则（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时，的最小值为 D．当时，的最大值为

三、填空题

13．多项式，那么______.

14．写出一条与直线平行且与圆相切的直线方程___________.

15．已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.

四、双空题

16．某市某次高中统测学生数学成绩的频率分布直方图如图所示.现按测试成绩由高到低分成四个等级，其中级占级占级占级占的比例，则级的分数线与级的分数线分别为______和______.

五、解答题

17．在中，角的对边分别为.

(1)求；

(2)求内切圆的面积.

18．已知数列各项均为正数，且.

(1)求的通项公式；

(2)记数列的前项和为，求的取值范围.

19．近年来中年人的亚健康问题日趋严重，引起了政府部门和社会各界的高度关切.一研究机构为了解亚健康与锻炼时间的关系，对某地区的中年人随机调查了人，得到如下数据：

(1)从这些中年人中任选人，记“该中年人亚健康”，“该中年人平均每天锻炼时间不足半小时”，分别求和；

(2)完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为亚健康与锻炼时间有关联？

附：，.

20．如图，长方体中，为棱的中点.

(1)求直线被长方体的外接球截得的线段长度；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

21．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.

22．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．B

【分析】先解一次不等式与二次不等式化简集合，再利用集合的并集运算求得即可.

【详解】因为，

所以.

故选：B.

2．A

【分析】根据复平面内的点与复数的对应关系结合共轭复数的定义，复数的乘法和除法运算法则即可求解.

【详解】因为复数在复平面内对应的点为，

所以，

所以.

故选：A.

3．B

【分析】结合组合数的知识可分别求得所有取法和满足题意的取法数，由古典概型概率公式可求得结果.

【详解】从个球中任取个，共有种取法；

若所取球的最小编号为，则编号为的球必选，再从编号为的球中任选个，共有种取法；

所求概率.

故选：B.

4．C

【分析】取的中点，连接，根据平面向量的线性运算计算即可.

【详解】如图，取的中点，连接，

因为是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，

所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，

又为上靠近的一个四等分点，

所以

.

故选：C.

5．C

【分析】根据题意可得，，两式相加可得，再结合已知条件可得答案.

【详解】因为，

所以①，

②，

由①+②，

得，

又，即，

所以.

故选：C.

6．D

【分析】根据三角函数图象变换规律结合已知条件可求函数解析式，然后根据三角函数的性质即得.

【详解】由题意可知，将函数图象上的点向右平移个单位长度，可得的图象与轴负半轴的第一个交点为，

因为的图象与轴正半轴的第一个交点为，

所以，得，则，

又且为增区间上的零点，

所以，由知，

则，

当时，，

故在区间上的最大值为.

故选：D.

7．D

【分析】根据计算可得；根据函数单调性可得当时，由此可得；根据基本不等式可得，由此即可判断三者关系．

【详解】；

设，其中当时，，且，故，所以；

，所以.

故选：D.

8．A

【分析】先求出，然后根据函数性质一一验证.

【详解】设点在平面内的射影为点，连接，如图所示，则为等边的中心，

故，因为平面平面，所以，

所以，所以.因为平面平面，则，

且点到平面的距离为，所以点到平面的距离为，

所以，其中，对于选项，，当时，，此时函数单调递增，；当时，，

此时函数单调递减，，故正确，B错误；对于C选项，，故函数的图象不关于直线对称，故C错误；对于D选项，，故对任意的，故D错误.

故选：A.

9．ACD

【分析】A选项，由得到线面平行；

B选项，由得到与不垂直，得到B错误；

C选项，由平面，平面，得到面面平行；

D选项，由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而得到面面垂直.

【详解】因为平面平面，所以平面，故A正确；

与不垂直，则与不垂直，故平面不正确，故B错误；

因为平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，

所以平面平面，故C正确；

正方体中，有平面，

因为平面，

则，又，，平面，

可得平面，

因为平面，

从而平面平面，故D正确.

故选：.

10．AB

【分析】结合同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换的知识确定正确选项.

【详解】为锐角，即，，，

由于，所以，

所以，

由于，所以，A选项正确.

，所以B选项正确.

①，

②，

①+②并化简得，所以C选项错误，

①-②并化简得 ，

所以，所以D选项错误.

故选：AB

11．BCD

【分析】根据椭圆对称性取左焦点，，进而得，再计算周长判断A；联立方程解坐标，求面积判断B；设，则，再求斜率判断C；设，再根据，得，进而判断D.

【详解】对于，如图，由对称性，不妨设为椭圆的左焦点，则，故易得，则，则，过点作的垂线，垂足为，连接，由于，故四边形是平行四边形，所以，所以的周长为，故错误；

对于，由解得，不妨设，，则，所以，故B正确；

对于C，设，则，所以，，故C正确；

对于，设，则，

又点和点在椭圆上，①，②，①一②得，

因为，则，得，所以，故D正确.

故选：BCD.

12．ACD

【分析】对于A项，可通过解不等式直接得出；对于B项，可以取合适的特殊值验证；求出，可知在上单调递增，在上单调递减，则可画出的图象.利用同构可知等价于，结合图象可知当时，与只有一个交点，则，则 ，代入CD项可构造函数，通过求导得到最值.

【详解】由已知，当时，即，，，，

所以有，A正确；

取，则，此时令，则有，，B项错误；

∵，         ∴

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

所以， 的图象如图所示.

又，即.当时，如图易知，与只有一个交点，

由可得，此时，，.

则.

令，则.

当时，，即在上单调递增；

当时，，即在上单调递减.

所以，在处有最小值，C项正确；

当时，.令，.

当时，，即在上单调递减；

当时，，即在上单调递增.

所以，在处有最大值，D项正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考察利用导数研究函数的单调性与交点问题，属于难题.通过导函数得出性质，画出函数图象.对多个变量时，常考虑利用同构.本题利用同构可知，等价于，结合图象，得出的关系，简化解题过程，找到突破口.

13．

【分析】由的展开式的通项得出.

【详解】的展开式的通项为，所以，则.

故答案为：

14．或

【分析】根据题意设出所求直线方程为，且，利用圆心到直线的距离求出即可得直线方程.

【详解】解：设与直线平行的直线为，且

圆整理为，则圆心为，半径

又直线与圆相切

则圆心到直线的距离为，解得或

则直线方程为：或.

故答案为：或

15．##

【分析】通过确定直线过定点M，得到Q在以FM为直径的圆上，将P到Q的距离转化为到圆心的距离的问题，再利用抛物线的定义就可得到最小值.

【详解】将已知直线化为，当时，可确定直线过定点，记为M点.

∵过点F做直线的垂线，垂足为Q，

∴直线，即，

故Q点的轨迹是以FM为直径的圆，半径，其圆心为FM的中点，记为点H，∴，

∵P在抛物线上，其准线为，

∴等于P到准线的距离.

过P作准线的垂线，垂足为R.要使取到最小，即最小，

此时R、P、Q三点共线，且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示，

此时.

故答案为：

16．     24     49

【分析】先确定所求分数线所在百分位，再判断其所在区间，从而利用频率分布直方图中百分位数的求法得解即可.

【详解】根据题意，级的分数线为分位数，级的分数线为分位数，

由图可知，分数在的频率为，在的频率为，在的频率为，

则分数在的频率为，的频率为，

因此级的分数线位于内，由，

所以级的分数线为24，

级的分数线位于内，由，

所以级的分数线为49.

故答案为：；.

17．(1)

(2)

【分析】（1）首先根据正弦定理将等式中的角转化成边并求出，的值，再根据余弦定理求解边；

（2）首先根据面积公式求出的面积，然后利用等面积法求解三角形内切圆半径，进而求出内切圆面积.

【详解】（1）因为，由正弦定理得，

又，所以，

由余弦定理得，解得.

（2）因为，

所以，

所以的面积.

设内切圆的半径为，则，

所以，

所以内切圆的面积为.

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用已知条件因式分解变形，结合条件得，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求解即可；

（2）由（1）将带入化简，写出前项和的表达式，根据条件及性质求出

的取值范围.

【详解】（1）因为，

所以

所以，

因为各项均为正数，，

所以，

所以数列是首项为4，公差为4的等差数列，

，

所以数列的通项公式为.

（2）因为

所以，

则

，

因为，故，

所以，又，所以，

所以的取值范围为.

19．(1)，

(2)列联表见解析；可以认为亚健康与锻炼时间有关联

【分析】（1）根据已知数据可得满足事件、和的人数，由此可求得对应概率，同时结合条件概率公式可求得结果；

（2）根据表格数据可补充列联表，计算可得，由此可得结论.

【详解】（1）由题意知：中年人亚健康且平均每天锻炼时间不足半小时的人数为人，则；

中年人无亚健康且平均每天锻炼时间超过半小时（含半小时）的人数为人，平均每天锻炼时间超过半小时（含半小时）的人数为人，

，，.

（2）由已知数据可得列联表如下：

零假设：亚健康与锻炼时间无关，

，

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即可以认为亚健康与锻炼时间有关联，该推断犯错误的概率不超过.

20．(1)；

(2).

【分析】（1）设的中点为，根据长方体的性质结合条件可得球心到直线的距离，然后根据球的性质即得；

（2）利用坐标法，根据线面角的向量求法即得.

【详解】（1）设的中点为，连结，

则为长方体外接球的球心，且平面，

由题意知，，

所以，所以，

设到直线的距离为，则，解得，

因为外接球的半径，

所以直线被此外接球截得的弦长为；

（2）以为原点，建立空间直角坐标系，

则，

设平面的一个法向量，

因为，

则由，得，令，可得，

又，

设直线与平面所成的角为，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据双曲线的定义，结合离心率得，，进而得答案；

（2）设，则，进而求出直线，的方程，并与椭圆联立方方程解得，进而得直线的方程为，并整理得即可证明结论.

【详解】（1）解：因为，

所以，解得，

设双曲线的半焦距为，因为离心率为，

所以，解得，

则，

所以双曲线的标准方程为.

（2）证明：设，则，，

直线的方程为，

直线的方程为.

联立方程消去并整理得

显然，即

所以，，

联立方程消去并整理得，

显然，即，

，

即当时，直线的方程为，

将上面求得的的解析式代入得，

整理得，

所以直线过定点.

22．(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求得，结合的单调区间求得的极值.

（2）将不等式进行转换，利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论，由此来求得的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

则，

令，得，

当变化时，的变化情况如下：

因此，当时，有极小值，并且极小值为，无极大值.

（2）因为等价于，

令，

则，

（i）若，对于函数，有，

所以恒成立，

故当时，不等式恒成立；

（ii）若，

当时，，

所以，

故不等式恒成立；

现探究当时的情况：

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，

要使不等式成立，

只需，

解得，

故当时，不等式恒成立；

（iii）若，

当时，，

所以，

故不等式恒成立；

现探究当时的情况：

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，

要使不等式成立，只需，

即.

设，则化为，

因为，所以在上为增函数，

于是，由及，得，

故当时，不等式恒成立.

综上，实数的取值范围为.

【点睛】研究含参数的不等式恒成立问题，导数是工具的作用.化归与转化的数学思想方法是重要的解题思想方法，将不等式恒成立问题，转化为求函数的单调性、极值、最值等问题来进行研究.对参数分类讨论时，要注意做到不重不漏.