陕西省渭南市富平县2021-2022学年高二上学期期末理科数学试题及答案

陕西省渭南市富平县2021-2022学年高二上学期期末理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．双曲线的虚半轴长是（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

2．命题“对任意一个实数，都有”的否定是（    ）

A．存在实数，使得 B．对任意一个实数，都有

C．存在实数，使得 D．对任意一个实数，都有

3．如果，且，那么下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

4．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得的能量，则需提供的能量为（    ）

A． B． C． D．

5．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

6．在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则（    ）

A． B．

C． D．

7．设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（    ）

A． B． C． D．与均为的最大值

8．下列函数中，最小值是2的是

A． B．

C． D．

9．“”是“函数的最小正周期为”的（    ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分且必要 D．既不充分也不必要

10．若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为（    ）

A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8

11．已知命题，方程都表示双曲线；命题：抛物线的焦点坐标为．则下列判断正确的是（    ）

A．是假命题 B．是真命题

C．是真命题 D．是假命题

12．将正方形沿对角线折成直二面角，得到如图所示的三棱锥，其中为的中点，则下列结论错误的是（    ）

A．平面

B．平面与平面所成角的余弦值为

C．与所成的角为

D．与所成的角为

二、填空题

13．设等差数列的前项和，若，那么=___________.

14．海面上有三个灯塔，，从望和成视角，从望和成视角，则______.（表示海里，）

15．设双曲线的右焦点为，以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，且，则双曲线的离心率为__________．

三、双空题

16．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则__________，__________．

四、解答题

17．求下列不等式的解集.

(1)

(2)

18．在中，角的对边分别为，且满足.

(1)求角的大小；

(2)点为边的中点，，设，求面积的最大值.

19．已知各项均不为零的数列满足，且.

(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；

(2)令为数列的前项和，求.

20．设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，线段的中点到轴的距离为3.

(1)求抛物线的方程；

(2)若直线与圆和抛物线均相切，求实数的值.

21．如图，在空间直角坐标系中有单位正方体分别是棱和的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

22．已知分别是椭圆的的左、右焦点，，点在椭圆上且满足.

(1)求椭圆的方程；

(2)斜率为的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求直线的方程.

参考答案：

1．A

【解析】由双曲线方程求出的值可得结果

【详解】解：由题意得，

所以，

所以双曲线的虚半轴长为3

故选：A

2．A

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到答案.

【详解】“对任意一个实数，都有”的否定是：存在实数，使得.

故选：A

3．B

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值，即可得出.

【详解】对于A项，因为，所以，所以，故A项错误；

对于B项，因为，所以，所以，故B项正确；

对于C项，因为，若，则，故C项错误；

对于D项，取，，则满足，但，故D项错误.

故选：B.

4．C

【分析】设需提供的能量为a,由题意知有大约的能量能够流到下一个营养级，即的能量为，的能量为，即构成等比数列，要使获得的能量，列等式，即可求得a的值.

【详解】设需提供的能量为a,由题意知：的能量为，的能量为，

即，解得：，

所以要能使获得的能量，则需提供的能量为，

故选：C.

5．A

【分析】根据一元二次不等式与二次函数的联系即可得解．

【详解】因为不等式的解集为空集，

所以，即，

解得，即实数的取值范围为.

故选：A．

【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数范围，理解一元二次不等式与二次函数之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

6．C

【分析】利用空间向量的线性运算即可求出结果.

【详解】

,

故选：C.

7．C

【分析】由可判断B；由，分析可判断A；由可判断C；由，可判断D.

【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：

是等差数列，若，则，故B正确；

又由得，则有，故A正确；

而C选项，，即，可得，

又由且，则，必有，显然C选项是错误的.

∵，，∴与均为的最大值，故D正确；

故选：C

8．C

【分析】结合基本不等式以及各个选项的定义域，即可求出的取值范围.

【详解】解：A：当时，，最小值不是2，故A错误；

B：当时，，则，

当且仅当，即时等号成立，故当时，，B错误；

C：，当且仅当，即时等号成立，C正确；

D：因为，所以，所以，

当且仅当，即时等号成立，由得，D错误.

故选:C.

【点睛】本题考查了基本不等式.在用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.

9．A

【分析】先利用二倍角的三角函数公式化简函数的表达式,根据时函数的解析式,利用余弦函数的周期性求得最小正周期，从而判定充分性；反之，当函数最小正周期为时，利用周期公式求得a的值，从而判定是否必要；注意函数的最小正周期公式，不要遗漏绝对值.

【详解】解：

当时，的最小正周期为，故充分性成立

当函数的最小正周期为时，

所以,不能得出，故必要性不成立，

综上：“”是“函数的最小正周期为”的充分而不必要条件.

故选：A.

10．D

【解析】分焦点在轴或轴两种情况，讨论椭圆的长轴长.

【详解】当椭圆的焦点在轴时，，，则，

离心率，则

，椭圆的长轴长.

当椭圆的焦点在轴时，，，则，

离心率，则，

此时椭圆的长轴长.

综上可知，椭圆的长轴长为4或8.

故选：D

11．C

【分析】根据双曲线知识判断出是真命题；根据抛物线知识判断出是假命题，进而可判断出和的真假.

【详解】当时，，，所以方程表示焦点在轴上的双曲线，故是真命题；故A不正确；

由，得，所以抛物线的焦点坐标为，故是假命题，故B不正确；

因为是假命题，所以是真命题，又是真命题，所以是真命题，故C正确；

因为是真命题，是假命题，所以是真命题，故D不正确.

故选：C

12．D

【分析】根据题意，利用线面垂直的判定定理可以证明A正确；

由于平面，可得C正确；

建立空间直角坐标系，设出三棱锥的棱长，求出平面与平面的法向量，计算可得B正确；

求出与的方向向量，通过其方向向量计算异面直线所成的角,得D错误.

【详解】因为折叠前为正方形，由题意则折叠后有，，

又平面，平面，，所以平面，故A正确；

又平面，所以，与所成的角为，故C正确；

因为二面角为直二面角，而平面，

所以为二面角的平面角，即，

如图所示，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

设，则，

，，

设平面的法向量为，

则令，则可得，

取平面的法向量为，

平面与平面所成角的余弦值为，故B正确；

设与所成的角为，则，

又因为，所以，故D错误.

故选：D.

13．20

【分析】利用等差数列的性质求解．

【详解】∵是等差数列，∴，

∴．

故答案为：

14．

【分析】根据题意得到中的两角一边三个元素，从而利用正弦定理即可得解.

【详解】根据题意，可知在中，，，，则，

所以由正弦定理得，即，解得，

所以.

故答案为：．

15．

【分析】根据题意可得，再结合渐近线的斜率与离心率的关系列式求解即可.

【详解】因为以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，故.又根据渐近线的斜率可得，故离心率.

故答案为：

16．         

【分析】根据两个平面平行，可得其法向量也平行，由共线向量定理，列方程求解得答案.

【详解】因为平面，所以其法向量，

故，所以，解得.

故答案为：①；②.

17．(1)

(2)

【分析】（1）由题得，即求；

（2）由题可得且，即求.

【详解】（1）∵即，

又方程的根是，，

所以原不等式的解集为.

（2）原不等式转化为：

且

所以，

所以，原不等式的解集为.

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，从而求得角；

（2）利用余弦定理与基本不等式求得，从而利用三角形面积公式即可求得面积的最大值.

【详解】（1）因为，

所以由正弦定理得，则，故，

又，所以.

（2）在中，，

所以由余弦定理得，即，

又，当且仅当时，等号成立，则，

所以，此时，

故面积的最大值为.

19．(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）构造得解决即可；

（2）由（1）得，错位相减解决即可.

【详解】（1）由，

得，

又，

是首项为5，公差为3的等差数列.

，故.

（2）由（1）知，

所以①

②，

①-②得：

，

.

20．(1)；

(2).

【分析】（1）设出A、B点坐标，由已知可得，又易得，即可解出；

（2）根据直线与圆相切，可得；联立直线与抛物线，根据直线与抛物线相切可得，即可推得.联立两式，即可解出实数的值.

【详解】（1）设，，.

则线段的中点坐标为，

由题意知，则，

如图，分别过点、作准线的垂线，垂足为、，根据抛物线的定义可知，，，

又，所以，所以，

所以，抛物线的方程为：.

（2）因为圆圆心为，半径为，直线，即与圆相切，

，即有①

联立直线与抛物线的方程，可得，

因为直线与抛物线相切，

所以，得②，

联立①②，解得或，

即实数的值为.

21．(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用线面平行判定定理证明即可.

(2)应用空间向量法求线面所成角的正弦值即可

【详解】（1）由题知，，

，

，故，

平面平面，

平面．

（2）由题知，，

，

设平面的法向量为，

则即令，得，

平面的一个法向量为，

，

直线与平面所成角的正弦值为．

22．(1)

(2)或

【分析】（1）根据焦点坐标求出c，进而根据椭圆定义求出a，然后求出b，最后求得答案；

（2）设直线的方程为，，直线与轴交于点，则，将直线方程代入椭圆方程并化简，进而结合根与系数的关系求得答案.

【详解】（1）由题意，，所以，所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，，由得：，

则即：.

.

设直线与轴交于点，则

所以的面积为

      ，化简得：解得：所以.

直线的方程为或.