2022-2023学年浙江省宁波市慈溪市育才中学九年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)

2022-2023学年浙江省宁波市慈溪市育才中学九年级（上）第一次月考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，钟摆的摆动，这种图形的改变是(    )

A. 平移
B. 旋转
C. 轴对称
D. 相似

2. 已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆内，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知∽，它们的面积分别为和，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某林业部门要调查某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率，结果如表：

所以可以估计这种幼树移植成活的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法中，正确的是(    )

A. 任意三点确定一个圆
B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 三角形的外心到它的三顶点的距离相等
D. 平分弦的直径垂直于弦

6. 对抛物线而言，下列结论正确的是(    )

A. 开口向上 B. 顶点坐标是 
C. 与轴的交点坐标是 D. 与两坐标轴有两个交点

7. 如图，直线，直线，分别交，，于点，，和，，，若：：，，则的长等于(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，四边形内接于，，为中点，，则等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽为，如果再注入一些水后，水面上升，此时水面宲度变为则该水槽截面半径为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，，，点是中点，是直线上一动点，连结，以为斜边在其左侧作，使，连结，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 已知，则______．
12. 任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被整除的概率是______．
13. 装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的部分的上下的宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为，则______．

14. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______ ．
15. 如图，为的直径，为上一点，弦平分，交于点，，，则的长为______．

16. 如图，上有两点，，点在内，若，，，的半径为，则弦的弦心距离______，______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知二次函数．
    求该函数图象的顶点坐标，并写出当在什么范围内时随的增大而增大；
    求该函数图象与轴的交点坐标，并写出当在什么范围内时，．
18. 本小题分
    某校在防疫期间开设，，，四个测体温通道．一天早屒，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．
    利用画树状图或列表的方法，写出小丽与小聪选择通道的所有可能结果．
    求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率．
19. 本小题分
    已知，矩形的一组邻边长分别为和，画一线段把它分割成两个矩形，若这两个矩形相似，且其中一个矩形有一边长为，求的值．
     
20. 本小题分
    如图，用长为米的篱笆靠一道长为米的墙围一个矩形养鸡场靠墙一面不用篱笆．
    求下列情形下养鸡场的面积的最大值；
    ；
    ．
    若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为平方米，求的值．

21. 本小题分
    如图，已知等腰中，，以为直径的与交于点，与交于点．
    求证：；
    若．
    设，的半径为，求关于的函数表达式．
    当时，求图中阴影部分的面积．

22. 本小题分
    如图，在中，，，点，分别在近，上，且．
    求证：∽；
    当时，求的长．

23. 本小题分
    已知一个二次函数的图象与轴的交于点，，且顶点在直线上．
    求该二次函数的表达式；
    若把这个二次函数的图象平移后得到一个新的二次函数，且当时，新的二次函数有最大值，求的值．
24. 本小题分
    如图，已知，四边形内接于，且．
    求证：；
    若为直径，则．
    已知的半径为，四边形有一个角为，且，求四边形的面积．
    设，，，，探究并用等式表示，，，的数量关系．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：钟摆的摆动，这种图形的改变是旋转．
故选：．
根据钟表的摆动是以悬挂点为圆心，钟摆的长为半径形成的图形是扇形解答．
本题考查的是旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：点在圆内，且的半径为，
，
故选：．
根据点与圆的位置关系判断得出即可．
本题主要考查了点与圆的位置关系，正确记忆点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：∽，它们的面积分别为和，
其相似比为，
，
，解得．
故选：．
先求出相似三角形的相似比，进而可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由表格中的数据可以估计这种幼树移植成活的概率是，
故选：．
大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
 

5.【答案】 

【解析】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，在同一直线上的三点不可能在同一圆上，故选项错误；
B.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，在大小不同的圆中，相等的圆心角所对的弧不相等，故选项错误；
C.三角形的外心就三角形的外接圆的圆心，它到它的三顶点的距离相等，故选项正确；
D.平分弦非直径弦的直径垂直于弦，故选项错误．
故选：．
根据不在同直线上的三点确定一个圆的定理判断；根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等定理判断；根据三角形的外心性质判断；根据平分弦定理判断．
本题考查了确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，三角形的外心性质，垂径定理，关键是熟记和正确理解这些定理与性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，顶点坐标为，
抛物线与轴有个交点，
将代入得，
抛物线与轴交点坐标为，
抛物线与两坐标轴有个交点，
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式，再按二次函数的性质求解．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，即，
．
故选：．
利用平行线分线段成比例定理得到，然后把已知条件代入计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出是解此题的关键．
求出，根据圆周角的度数求出它所对的的度数，求出的度数，再求出答案即可．
【解答】
解：为中点，
，
，
，
，
圆周角，
对的的度数是，
的度数是，
对的圆周角的度数是，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，依题意得，，过点作的垂线，垂足为，交于点，连接，，

由垂径定理，得，，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
解得，
半径．
故选：．
如图，水面上升得到油面，依题意得，，过点作的垂线，垂足为，交于点，连接，，由垂径定理，得，，设，则，在中和中，根据勾股定理求得、的长度，然后由，列方程求即可求半径，得出直径．
本题考查了垂径定理的运用．关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径的平方，根据半径相等列方程求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，取中点，以为半径作，交于点，连结、，
以为斜边，
，
，
点、点都在上，
是的直径，
，
，，
，，，
，
点是中点，
，
，
，
点在经过点且与直线交成的锐角等于的直线上运动，
当时，的值最小，则，
∽，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
取中点，以为半径作，交于点，连结、，则，由勾股定理求得，，因为，所以，可知点在经过点且与直线交成的锐角等于的直线上运动，当时，的值最小，此时∽，则，再由，求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长，得到的最小值．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，




．
故答案为：．
通过等式，可以用表示，代入分式，约分化简求值．
本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛掷一枚骰子有、、、、、种可能，
其中所得的点数能被整除的有、这两种，
所得的点数能被整除的概率为，
故答案为：．
根据概率公式可得．
此题主要考查了概率公式，要熟练掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：．
利用相似多边形的性质可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
图象的开口向下，对称轴是直线，
关于直线的对称点是，
，
，
故答案为．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

连接、，
为的直径，
，
，
弦平分，
，
，
在和中，
，
∽，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
连接、，由勾股定理先求出的长，再利用∽，得出，可解得的长，由求解即可得出答案．
此题考查了三角形相似的判定和性质，及圆周角定理，解答此题的关键是得出∽，进一步利用性质解决问题．
 

16.【答案】  

【解析】解：如图所示：延长交于点，过点作于点，于点，连接、、，

，
，
，
作于点，
，，
，
则弦的弦心距离为；
，，
，
，
，
，，
，
∽，
，即，
，
，
，
，，
，
在中，，
在中，，
故答案为：，．
过点作于点，根据垂线定理与勾股定理即可求出弦的弦心距离；利用等腰三角形的三线合一和同弧所对的圆周角是圆心角的一半推出：，然后利用两角相等证出：∽，即可求出的长，然后再利用垂径定理和勾股定理即可求出的长．
本题考查了垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定，解题关键：一是辅助线的作法，二是知识点的应用．
 

17.【答案】解：，
对称轴是直线，开口向下，顶点坐标是，
当时，随的增大而增大；
令，则，解得，；
图象与轴交点坐标是、，
抛物线开口向下，
当时，． 

【解析】利用配方法把二次函数化为顶点式，即可得出其对称轴方程及顶点坐标；根据开口方向和对称轴即可确定其增减性；
令求出的值，即可得出抛物线与轴的交点坐标；再结合函数的图象和性质得出时，的取值范围．
本题考查的是二次函数的性质、抛物线与轴的交点及配方法的应用，熟知以上知识是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果；
由树状图可知，共有种等可能的结果，小丽和小聪从两个不同通道进入校园有种，
小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为． 

【解析】画出树状图，即可得出结果；
共有种等可能的结果，小丽和小聪从两个不同通道进入校园有种，再由概率公式即可得出结果．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：设，
如图，当，则，，，
当矩形∽矩形时，
，即，解得；
当矩形∽矩形时，
，即不成立，故此种情况不存在；
如图，若，则，，此时，，
当矩形∽矩形时，
，即，解得；
当矩形∽矩形时，
，即，解得．
综上所述，，或． 

【解析】根据题意画出图形，再分和两种情况进行讨论．
本题考查的是相似多边形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
 

20.【答案】解：设矩形的长为米，则宽为米，由题意可知，
设矩形的面积为，则
，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
时，即；
当时，有最大值为平方米；
时，即，
当时，面积的最大值为平方米．
令得：，
解得或，
由可知，当时，，
由知，此时矩形最大值在时取得，面积最大值为平方米，故舍去．
． 

【解析】设矩形的长为米，则宽为米，由题意可知，设矩形的面积为，根据题意用含的式子表示出，将其写成二次函数的顶点式，则可知其对称轴，然后分别对；计算求得相应的最大值即可．
令得关于的一元二次方程，求得方程的解并结合由的结论可得答案．
本题考查了二次函数与一元二次方程在几何图形问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：如图，连接，

是直径，
，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
当时，则，
连接，，

则、是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
阴影部分的面积为． 

【解析】连接，根据圆周角定理得，再根据等腰三角形三线合一得，则，即可证明结论；
证明∽，得，代入化简即可；
当时，则，连接，，则、是等边三角形，得，利用阴影部分的面积为．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，扇形的面积计算等知识，根据相似三角形的判定与性质得出与的函数解析式是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，，
，
∽．
解：∽，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
，
，即，
解得：． 

【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
利用相似三角形的判定和性质，列出比例式，求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确记忆三角形相似的条件和性质．
 

23.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
即，
则抛物线的对称轴为直线，
当时，，即顶点坐标为，
当时，，解得：，
故抛物线的表达式为：；

新抛物线的表达式为：，
当，即，
则当时，新函数取得最大值，即，
解得：舍去或，
即；
当时，即，
则当时，新函数取得最大值，即，
解得：舍去；
当时，
当时，新函数取得最大值，即，
解得：舍去或，
即；
综上，或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
当，则当时，新函数取得最大值，即，即可求解；当时，则当时，新函数取得最大值，即，即可求解；当时，当时，新函数取得最大值，即，即可求解．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，求得顶点坐标和分类求解是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，四边形内接于，
，，
，
，

；
如图，连接、，

由知，
为直径，
经过点，
，
，
，
，
，
，
；
Ⅰ若时，四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，，
如图，连接，，，，

，
，
，
，
是的直径，
，
，
，，是全等的等边三角形，
，
Ⅱ当时，则，
，
与Ⅰ同理，可得，，是全等的等边三角形，
，
故答案为：；
如图，延长，交于点，

四边形是的内接四边形，
，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】利用圆内接四边形的性质可得：，，结合已知条件即可证得结论；
利用半径相等，等边对等角及的结论可证得，即可得出结论；
分两种情况：Ⅰ若时，Ⅱ当时，分别证得：，，是全等的等边三角形，即可得出答案；
先得出，，进而得出，再判断出∽，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键．