第04讲 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)(原卷版+解析)

第4讲  二次函数与一元二次方程、不等式间的关系

考点一：二次函数与方程的关系

【知识点睛】

        求两函数图象的交点

对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m:

①当求抛物线与x轴的交点横坐标时→则令抛物线的y=0，即：ax2+bx+c=0；

②当求抛物线与直线y＝kx+n的交点坐标时→则联立两个函数解析式，得，先求x，[即]，再代入直线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标；

③当求抛物线与水平直线y＝m的交点是→则联立两个解析式，得

，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入抛物线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标；

        判断抛物线与直线的交点个数

对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m:

①求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数→ax2+bx+c=0

△=b2-4ac，

∴有：△＞0，抛物线与x轴有2个交点；

△＝0，抛物线与x轴有1个交点；

△＜0，抛物线与x轴无交点；

②求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n交点个数→

整理得：，

∴有：△＞0，抛物线与直线y＝kx+n有2个交点；

△＝0，抛物线与直线y＝kx+n有1个交点；

△＜0，抛物线与直线y＝kx+n无交点；

③求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与水平直线y＝m交点个数→

整理得：，后续求交点个数方法同上。

        一元二次方程ax2+bx+c=n的解的几何意义

将“=”左边的部分看作抛物线y＝ax2+bx+c，“=”右边的部分看作水平直线y＝n，则方程ax2+bx+c=n即在两函数图象的交点横坐标，所以交点横坐标的值就是方程的解。

【类题训练】

1．若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

2．如果a是二次函数y＝x2﹣x﹣2与x轴交点的横坐标，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．7 D．9

3．在求解方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，先在平面直角坐标系中画出函数y＝ax2+bx+c的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析图中的信息，方程的近似解是（　　）

A．x1＝﹣3，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝3 

C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝3

4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，

则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　　）

A．或 B．或 C．0或4 D．1或5

5．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

下列结论不正确的是（　　）

A．抛物线的开口向下                      B．抛物线的对称轴为直线x＝ 

C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）  D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为

6．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

7．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（　　）

A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5

8．若方程x2﹣2x﹣t＝0在﹣1＜x≤4范围内有实数根，则t的取值范围为（　　）

A．3＜t≤8 B．﹣1≤t≤3 C．﹣1＜t≤8 D．﹣1≤t≤8

9．已知a，b，c是互不相等的非零实数，有三条抛物线：y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b．则这三条抛物线与x轴的交点个数情况是（　　）

A．三条抛物线中至少有一条与x轴有两个交点  B．三条抛物线中至多有一条与x轴有两个交点 

C．三条抛物线与x轴都只有一个交点          D．三条抛物线与x轴都没有交点

10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①b＞c；②≤n≤4；③若抛物线经过点（﹣3，y1）和点（4，y2），则y1＞y2；④关于x的方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴向下翻折后，得到新的函数图象．若直线y＝m与新的函数图象有4个公共点，则m的取值范围是（　　）

A．m＞0 B．0＜m＜4 C．﹣4＜m＜0 D．﹣4≤m＜0

12．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）

A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4

13．如图，已知函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+＝0的解是　   　．

14．已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和1，若抛物线y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标是 　   　．

15．若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　   　．

16．将二次函数y＝﹣x2+6x﹣5在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，若直线y＝x+b与这个图象恰好有3个公共点，则b的值为 　   　．

17．已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．

（1）若A（﹣1，0），则b＝　   　．

（2）若M（﹣1，0），N（1，0），抛物线与线段MN没有交点，则b的取值范围为 　   　．

18．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝﹣1，经过A（0，﹣2），B（1，m）两点，其中m＞0．下列四个结论：①a＞；②一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣3和﹣2之间：③点P1（t，y1），P2（t﹣1，y2）在抛物线上，当实数t＜﹣时，y1＞y2；④一元二次方程ax2+bx+c＝n，当n＞﹣时，方程有两个不相等的实数根，其中正确的结论是　   　（填写序号）．

19．已知二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示．

（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

其中，m＝　   　．

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．

（3）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法正确的是　   　．

①该函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴．

②该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝0时，函数取得最小值3．

③函数图象与直线y＝有4个交点，所以对应的方程﹣x2+2|x|+3＝有4个实数根．

（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）

考点二：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元一次不等式间的关系

【知识点睛】

        利用函数图象的交点横坐标和上下关系，直接确定不等式的解集

常见关系如下：

①ax2+bx+c＞0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，则交点横坐标的一侧符合题意；

②ax2+bx+c＜0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，则交点横坐标的一侧符合题意；

③ax2+bx+c＞kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在直线y=kx+m上方，则交点横坐标的一侧符合题意；

④ax2+bx+c＜kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在直线y=kx+m下方，则交点横坐标的一侧符合题意；

【类题训练】

1．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 

C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3

2．若二次函数y＝﹣x2+b的图象经过点（0，4），则不等式﹣x2+b≥0的解集为（　　）

A．﹣2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≤﹣2或x≥2

3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为﹣1＜x＜3；③8a+c＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数），其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知，一次函数y1＝kx+m（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的部分自变量与对应的函数值如表：

当y1＞y2时，自变量x的取值范围是（　　）

A．或x＞3 B．或x＞3 C． D．

5．已知二次函数y1＝（ax﹣1）（bx﹣1）和y2＝（x﹣a）（x﹣b）（ab≠0）（　　）

A．若﹣1＜x＜1，a＞＞0，则y1＞y2   B．若x＜1，a＞＞0，则y1＞y2 

C．若﹣1＜x＜1，＜a＜0，则y1＜y2   D．若x＜﹣1，＜a＜0，则y1＜y2

6．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（　　）

A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1

7．抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）经过A（4，0）、B（m，0）、C（1，n）三点，若m，n满足：﹣1＜m＜0，n＞0．下列四个结论：①abc＜0；②当x＞时，y随x增大而减少；③一元二次方程ax2+bx+c＝n的有一个实数根在2和3之间；④不等式ax2+bx+c＞﹣的解集是1＜x＜4．其中正确的结论是 　   　（填写序号）．

8．二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象如图所示，一次函数y＝kx﹣b的图象过该二次函数图象上的点A（1，0），B（4，3），则满足（x﹣2）2﹣kx+b+m≤0的x的取值范围是 　   　．

9．如图，直线y1＝kx+b与抛物线y2＝ax2+bx+c交于点A（﹣2，3）和点B（2，﹣1），若y2＜y1＜0，则x的取值范围是 　   　．

10．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 　   　．

11．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点A坐标为（1，﹣1），与直线相交于O、B两点，点O是原点．

（1）求二次函数的解析式．

（2）求点B的坐标．

（3）直接写出不等式的解．

12．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）关于x的不等式ax2﹣4ax+3＞0的解集为 　   　．

（3）点M（x1，y1），点N（x2，y2）是该抛物线上的两点，若x2﹣x1＝2，试比较y1和y2的大小．

13．请阅读下列解题过程：解一元二次不等式x2﹣3x＜0．

解：设x2﹣3x＝0，解得：x1＝3，x2＝0；则抛物线y＝x2﹣3x与x轴的交点为（3，0）和（0，0），画出y＝x2﹣3x的大致图象；

由图象可知：当0＜x＜3时，函数图象在x轴下方，此时y＜0，即x2﹣3x＜0；所以一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜3．

通过上述解题过程的学习，按其解题思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 　   　和 　   　；（只填序号）

①分类讨论思想；②转化思想；③数形结合思想．

（2）用类似的方法解x2﹣5x+6＞0的解集为 　   　．