第05讲 二次函数的实际应用-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)(原卷版+解析)

第5讲  二次函数的实际应用

【知识点睛】

        利润最大化问题与二次函数模型

牢记两公式：①单位利润=售价-进价；

②总利润=单件利润×销量；

谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；

②总利润转化为售价的二次函数；

函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；

        利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤

1. 设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入
2. 用含自变量的代数式表示销售商品成本
3. 用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式
4. 根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值

注意：

①与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；

②二次函数实际应用的问题，如果是分段函数，最后需要写成一个整体，后边分别写上对应的取值范围

【类题训练】

1．（2022•金安区校级开学）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）

A．y＝6（1+2x）   B．y＝6（1﹣x）2   C．y＝6（1+x）2   D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2

2．（2021秋•科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　）

A．y＝x（40﹣x）  B．y＝x（18﹣x）   C．y＝x（40﹣2x）  D．y＝2x（40﹣2x）

3．（2022•沂南县一模）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（　　）

A．足球距离地面的最大高度超过20m     B．足球飞行路线的对称轴是直线t＝ 

C．点（10，0）在该抛物线上         D．足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降

4．（2022•镇江一模）如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（　　）

A．最小值247 B．最小值266 

C．最大值247 D．最大值266

5．（2022•南山区模拟）某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（　　）

A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元

6．（2022•晋中一模）板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y＝﹣x2+x+1，则板球运行中离地面的最大高度为（　　）

A．1 B． C． D．4

7．（2021秋•温岭市期末）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE∥AB，则S△BDE的最大值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．（2021秋•硚口区期末）以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+bt（a＜0）．若小球在第1秒与第3秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是（　　）

A．第1.9秒 B．第2.2秒 C．第2.8秒 D．第3.2秒

9．（2022•连云港一模）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的为 　  　m．

10．（2022•玉环市一模）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为h1，第二次反弹后的最大高度为h2．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度BC＝h1，若OB＝90dm，OA＝2AB．则为 　    　．

11．（2022•长春一模）圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点．已知雕塑OA高米，与OA水平距离5米处为水柱最高点，落水点C、D之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为 　   　米．

12．（2022春•长兴县月考）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，D在y轴上，且AB＝2，在BC上方有五个台阶（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离BD＝10．从点A处向右上方沿抛物线y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 　      　．

13．（2021秋•潍坊期末）某桥梁的桥洞可视为抛物线，AB＝12m，最高点C距离水面4m．以AB所在直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x．已知点D为抛物线上一点，位于点C右侧且距离水面3m，若以点D为原点，以平行于AB的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系时，该抛物线的表达式为 　          　．

14．（2022•黄冈三模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为 　   　．

15．（2021秋•金湖县期末）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为 　  　米．（结果保留根号）

16．（2021秋•丰台区期末）中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 　    　m．

17．（2021秋•朝阳区校级期末）如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA的坡度为1：2（即AC：PC），洞口A离点P的水平距离PC为12米，则小明这一杆球移动到洞口A正上方时离洞口A的距离AE为 　   　米．

18．（2022•福田区二模）【综合与实践】如图1，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度PH为8米，宽度OA为16米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米（AB＝2米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙CD不少于米．如图2，以O点为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，根据题中的信息回答下列问题：

（1）直接写出点A的坐标是 　   　，抛物线顶点P的坐标是 　   　；

（2）求出这条抛物线的函数表达式；

（3）根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的高度不能超过 　  　米．

19．（2022•成都模拟）某企业以A，B两种农作物为原料，开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍．若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg，生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其它成本9元．市场调查发现：该产品售价为每盒40元时，每天可卖出150盒；如果每盒的售价每涨1元（售价每盒不能高于45元），那么每天少卖10盒．设每盒涨价x元（x为非负整数），每天销售y盒．

（1）求该产品每盒的成本（成本＝原料费+其它成本）；

（2）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；如何定价才能使每天的利润w最大且每天销量较大？每天的最大利润是多少？

20．（2022•浦江县模拟）小明、小林两同学在操场进行实心球训练，发现实心球的飞行路线可近似看作二次函数图象一部分，如图所示是小明同学掷的实心球运动的路线，其中（0，1.5）点是小明掷实心球时出手位置．

（1）求实心球所经过路线的函数表达式．

（2）实心球的落地点离小明有多远？

（3）小林的个子比小明高，若小林掷实心球出手的位置点是（0，1.74），且实心球运动的抛物线形状、对称轴与小明的相同，问：小林掷的实心球位置会比小明的远吗？两者相差多少？

21．（2022•上虞区模拟）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示．

根据相关信息解答下列问题．

（1）求小球的飞行高度h（单位：m）关于飞行时间t（单位：s）的二次函数关系式．

（2）小球从飞出到落地要用多少时间？

（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．

22．（2022春•丰县月考）某商场购进一种每件成本为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；

（3）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过30%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？（利润率＝利润÷成本×100%）

（4）疫情过后，有关部门规定每件商品的利润率不得超过50%，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠a元（10≤a≤25），捐赠后发现，该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大．请直接写出a的取值范围．

23．（2022•海陵区一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市场对口罩的需求量仍然较大．某公司销售一种进价为12元/袋的口罩，其销售量y （万袋）与销售价格x （元/袋）的变化如表：

另外，销售过程中的其他开支（不含进价）总计6万元．

（1）根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断销售量y （万袋）与价格x （元/袋）满足什么函数？并求出y与x之间的函数表达式；

（2）设该公司销售这种口罩的净利润为w （万元），当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？

24．（2022•兰溪市模拟）如图1是城市平直道路，道路限速60km/h．A路口停车线l1和B路口停车线l2之间相距S＝400m，A、B两路口各有一个红绿灯．在停车线l1后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线l1平齐．已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程S、速度v与时间t的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示．某时刻A路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计）

（1）求该汽车从停车线l1出发加速到限速所需的时间；

（2）求该汽车最快需要多少时间可以通过停车线l2；

（3）若A路口绿灯亮起29s后B路口绿灯亮起，且B路口绿灯的持续时间为23s．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶．若该汽车在B路口绿灯期间能顺利通过停车线l2，求该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围．