第13讲 圆弧形动点轨迹与最值问题专题探究-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)（原卷版+解析）

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第13讲 圆弧形动点轨迹与最值问题专题探究
类型一 定义法
【知识点睛】
v 定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）
v 此类问题常出现环境——折叠
v 求最值时常结合原理——①圆与圆外定点最值的求解方法
如图：点A为圆外定点，点P为圆周上一点，
O
P
H
Q
则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r
②圆上点到圆外定直线最值的求解方法
如图：直线l为圆外定直线，点P、点Q为圆周上一点，
则PH即为圆O上的点到直线l的最小值;QH为最大值
l
【类题讲练】
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD＝　 　．

【分析】根据已知条件得到AB＝AC＝AD，于是得到点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，根据圆周角定理得到∠CBD＝∠CAD＝30°，∠BDC＝BAC，过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥BD于F，得到∠CAE＝∠BCD，根据全等三角形的性质得到DF＝AE，CF＝CE＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC＝5，△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝5，
∴AB＝AC＝AD，
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∵∠CAD＝60°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°，∠BDC＝BAC，
过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥BD于F，
∴∠CAE＝，∠AEC＝∠CFD＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
在△ACE与△DCF中，，
∴△AEC≌△DFC，
∴DF＝AE，CF＝CE＝1，
∴BF＝，
∴DF＝＝2，
∴BD＝BF+DF＝+2．
解法二：如图，以BC为边向下作等边三角形，利用全等三角形的性质证明AE＝BD，求出AE即可解决问题．
故答案为：+2．
2．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是 ．

【分析】过点M作MH⊥CD，由勾股定理可求MC的长，由题意可得点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，则当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值．
【解答】解：过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，
∵AM＝AD，AD＝CD＝3
∴AM＝1，MD＝2
∵CD∥AB，
∴∠HDM＝∠A＝60°
∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝
∴CH＝4
∴MC＝＝
∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，
∴AM＝A'M＝1，
∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，
∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值
∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1
故答案为：﹣1
3．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（　　）

A．68° B．88° C．90° D．112°
【分析】由AB＝AC＝AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，继而可得∠CAD＝2∠BAC．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．
故选：B．
4．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 　 　．

【分析】先判断出点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，再取OD＝OA＝4，连接OD，则OM是△ACD的中位线，OM＝，进而可得OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，计算即可求出结果．
【解答】解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，
如图，取OD＝OA＝4，连接OD，
∵点M为线段AC的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝，
∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，
此时在Rt△OBD中，BD＝＝4，
∴CD＝2+4，
∴OM的最大值是1+2．
故答案为：1+2．
5．如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．
（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上．
∴∠AEB＝　 　∠ACB＝　 　°．
（2）若BE＝2，求CF的长．
（3）线段AE最大值为 　 　；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 　 　．

【分析】（1）根据AC＝BC＝EC，得A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，根据圆周角定理可知∠AEB的度数；
（2）由△EFG是等腰三角形可求出FG＝1，利用勾股定理求出CG的长，从而得出答案；
（3）根据直径是圆中最大的弦知当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC＝8，取AB的中点O，连接OF，可证∠AFB＝90°，则点F在以AB为直径的圆O上，当OF经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝，
故答案为：，45；
（2）由折叠可知，CD垂直平分BE，
∴BE⊥CD，
设CD、BE交于点G，则GE＝BG＝，

∴∠FGE＝90°，
∵∠AEB＝45°，
∴FG＝GE＝1，
在Rt△CEG中，
由勾股定理得，CG＝＝，
∴CF＝CG﹣FG＝﹣1；
（3）∵A，B，E，三点在以C为圆心，以AC为半径的圆上，

∴当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC＝8，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝4，
BM＝CM＝，∠ABC＝∠BAC＝45°，
连接BF，取AB的中点O，连接OF，如图，

∵CD垂直平分BE，∠AEB＝45°，
∴BF＝EF，
∴∠EBF＝∠AEB＝45°，
∴∠EFB＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴OF＝，
∴点F在以点O为圆心，AB为直径的圆上，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在⊙O上，
∴当OF经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC，
∴OM＝BM•tan∠ABC＝2×1＝2，
∴MF＝OF﹣OM＝2﹣2，
即线段MF的最小值为2﹣2，
故答案为：8；2﹣2．
类型二 定边对直角
【知识点睛】
v 模型原理：直径所对的圆周角是直角
故：有公共斜边的两个直角三角形必满足四点共圆
v 思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）
用此方法解题的一般步骤：
①确定动点所在角=直角
②确定“定直角”所对的边为定边
③确定该动点的运动轨迹为以“定边”为直径的圆弧
如图：



求最值时常结合原理——同类型一（略）
【类题讲练】
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为（　　）

A．2﹣3 B． C．﹣2 D．
【分析】取AC的中点O，连接OE，OB，由∠DAC＝∠DCE，得出∠AEC＝90°，可得CE⊥AD于点E，可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O，E，B三点在同一直线上时，BE最短，即可求出BE．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝4，
如图，取AC的中点O，连接OE，OB，
∵∠DAC＝∠DCE，∠DCE+∠ACE＝90°，
∴∠DAC+∠ACE＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴CE⊥AD，
可得E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O，E，B三点在同一直线上时，BE最短，
可得此时OE＝OC＝OA＝2，
在Rt△OCB中，OB＝，
故BE的最小值为：OB﹣OE＝﹣2，
故选：C．
2．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC＝2，∠A＝60°，点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为 ．

【分析】如图，连接OB，设OB的中点为M，连接ME．作OH⊥BC于H．首先判断出点E在以OB为直径的圆上运动，求出点D与C重合时∠EMB的度数，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OB，设OB的中点为M，连接ME．作OH⊥BC于H．
∵OD⊥BE，
∴∠OEB＝90°，
∴点E在以OB为直径的圆上运动，
当点D与C重合时，∵∠BOC＝2∠A＝120°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠EMB＝2∠BOE＝120°，
∵BC＝2，OH⊥BC，
∴BH＝CH＝，∠BOH＝∠COH＝60°，
∴OB＝＝2，
∴点E的运动轨迹的长＝＝π．
故答案为π．
3．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为　 　．

【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【解答】解：如图：

取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．
由以上作图可知，BG⊥EC于G．
PD+PG＝PD′+PG＝D′G
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小．
∵D′C′＝4，OC′＝6
∴D′O＝
∴D′G＝2
∴PD+PG的最小值为2
故答案为：2
4．如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且＝，则m+n的最大值为　 　．

【分析】延长AB交l3于E，根据已知条件得到＝，求得CE＝10，∠CBE＝90°，设m＝2x，n＝3x，构造以CE为直径的半圆，则点B在其弧上运动，易知BG≤B′G′＝5，得到3x≤5，由m+n＝5x，于是得到结论．
【解答】解：延长AB交l3于E，
∵，
易知＝，
∵BD＝4，
∴CE＝10，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝90°，
设m＝2x，n＝3x，
构造以CE为直径的半圆，则点B在其弧上运动，易知BG≤B′G′＝5，
即3x≤5，
∴x≤，∵m+n＝5x，
∴m+n的最大值为．
故答案为：．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为 　 　．

【分析】如图1，连接AG，证明AF＝FG＝EF，则∠AGE＝∠AGD＝90°，根据圆周角定理可知：点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O，G，C三点共线时，CG的值最小，由此可解答．
【解答】解：如图1，连接AG，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DC＝AB＝3，
∵F是AE的中点，
∴BF＝AE＝AF＝EF，
∵BF＝FG，
∴AF＝FG＝EF，
∴∠AGE＝∠AGD＝90°，
∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，
当O，G，C三点共线时，CG的值最小，如图2所示，

∴OD＝OG＝2，
∴OC＝＝，
∴CG的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
6．如图，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），点D坐标为（﹣6，0），连接CD，点P为边OA上一个动点，连接CP，过点D作DE⊥CP于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E的纵坐标为（　　）

A．3﹣ B．4﹣ C． D．
【分析】先判断出点E的运动轨迹：以CD中点F为圆心，半径FD＝FC＝FE＝5的圆弧上，连接AF，交⊙M于点E，此时AE最小，再过点F作FM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，通过相似即可求出点E的纵坐标．
【解答】解：∵DE⊥CP，
∴∠DEC＝90°，
取CD中点F（﹣3，4），则点E的运动轨迹在以点F为圆心，半径FD＝FC＝FE＝5的圆弧上，
连接AF，交⊙M于点E，此时AE最小，
过点F作FM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥x轴于点N，则AM＝11，FM＝4，∠FMA＝∠ENA＝90°，

在Rt△AFM中，AF＝＝，
∵∠FMA＝∠ENA＝90°，
∴FM∥EN，
∴，即，
∴EN＝4﹣．
故选：B．
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，代入弧长公式即可．
【解答】解：∵AQ⊥BQ，
∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，

∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴CO＝OA＝1，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴的长为，
故选：D．
8．（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 　　．
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
当点D在BC的下方时，∠BDC＝135°，
故答案是：45或135；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，

（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
故答案为：﹣1．
类型三 定边对定角
【知识点睛】
v 模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等
v 思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）
v 解决办法：
当∠P是那个定角时，此类问题要求点P 的运动路径长，则∠P一定为特殊角。
下以30°，45°，60°，120°为例，说明动点轨迹圆的确定方法：





若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心
若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心
若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心
若∠P=120°，以AB为底，异侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心
另：若∠P=135°，以AB为斜边，异侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心
若∠P=150°，以AB为边，异侧构造等边三角形AOB，O即为圆心
求最值时常结合原理——同类型一（略）
【类题训练】
1．如图，已知等边△ABC的边长为2，D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AE＝CD，连接BE，AD交于点P，则CP的最小值是　 　．

【分析】易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，根据∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，即可求得∠APE＝∠ABC，推出∠APB＝120°，推出点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，求出OC，OA，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：∵CD＝AE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵，
∴，
∴＝＝4．
∴OP＝2，
∴PC的最小值为OC﹣r＝4＝2．
故答案为：2．
2．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（　　）

A．2﹣2 B． C．4 D．2
【分析】如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．证明点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，推出当点P落在线段OD上时，DP的值最小，想办法求出OD，OP，可得结论．
【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．

∵∠BPE＝∠EOB，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O，
∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝3，AE：EB＝1：2，
∴BE＝2，
∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，
∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，
∴OQ＝1，OE＝2，
∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，
∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，
∴四边形AQOJ是矩形，
∴AJ＝OQ＝1，
JO＝AQ＝2，
∵AD＝5，
∴DJ＝AD﹣AJ＝4，
∴OD＝＝＝2，
∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，
故选：A．
3．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（　　）

A． B．7﹣4 C． D．1
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．
【解答】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴所对圆周角为60°，
∴∠BOC＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．
故选：D．

4．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（　　）

A． B． C．2﹣ D．﹣1
【分析】如图，作△AEC的外接圆⊙O′，延长BC交⊙O′于点R，连接AR，则AR是直径，连接OO′，EO′．证明∠AEC是定值，推出点E的运动轨迹是，证明∠BAR＝90°，求出O′E，OO′可得答案．
【解答】解：如图，作△AEC的外接圆⊙O′，延长BC交⊙O′于点R，连接AR，则AR是直径，连接OO′，EO′．
∵EC⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝4，
∵∠D+∠DEC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∠B＝∠D，
∴∠DEC＝∠BAC＝定值，
∴∠AEC是定值，
∴点E的运动轨迹是，
∵∠R+∠AEC＝180°，∠AEC+∠DEC＝180°，
∴∠R＝∠DEC＝∠BAC，
∴∠R+∠B＝90°，
∴∠BAR＝90°，
∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BAR＝90°，
∴△BCA∽△BAR，
∴，
∴，
∴BR＝，
∴CR＝BR﹣BC＝，
∴AR＝＝，
∴EO′＝AR＝，
∵AO＝OB，AO′＝O′R，
∴OO′＝BR＝，
∵OE≥OO′﹣EO′＝，
∴OE的最小值为．
故选：A．

5．问题提出
（1）如图①，AC为⊙O的直径，点P在弧ACB上（不与A、B重合），连接AP、BP，则∠APB
　 ∠ACB（填“＞”“＜”或“＝”）．
问题探究
（2）如图②，在等边△ABC中，M、N为边AB和AC上的两动点，且BM＝AN，连接BN、CM，BN与CM相交于P，求∠BPC度数．
问题解决
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，M、N分别为边AD和CD上的两个动点，且AM：DN＝4：3，连接BM、AN，BM与AN相交于点P，连接CP，求四边形ABCP面积的最大值．

【分析】（1）由圆周角定理即可得出结论；
（2）证△ABN≌△BCM（SAS），得出∠ABN＝∠BCM，求出∠NPC＝∠CBM＝60°，即可得出答案；
（3）证△ABM∽△DAN，得出∠AMB＝∠DNA，证∠APB＝90°，连接AC，由勾股定理求出AC＝10，由S四边形ABCP＝S△ABC+S△PAC，S△ABC＝24，得四边形ABCP面积的最大，则点P到AC的距离最大，由圆周角定理得出点P在以AB为直径的圆弧上，设AB的中点为O，则OP⊥AC时，点P到AC的距离最大，证△OAH∽△CAB，得出＝，则HO＝，得出PH＝，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点P在弧ACB上（不与A、B重合），
∴A、B、C、P四点都在⊙O上，
∴∠APB＝∠ACB，
故答案为：＝；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBM＝60°，
在△ABN和△BCM中，，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠ABN＝∠BCM，
∴∠NPC＝∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABN＝∠CBM＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣∠NPC＝180°﹣60°＝120°；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，∠D＝∠BAM＝∠ABC＝90°，
∴＝＝，
∵AM：DN＝4：3，
∴＝，
∵∠D＝∠BAM，
∴△ABM∽△DAN，
∴∠AMB＝∠DNA，
∵∠DMP+∠AMB＝180°，
∴∠DMP+∠DNA＝180°，
∴∠MPN＝360°﹣（∠DMP+∠DNA）﹣∠D＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∴∠APB＝90°，
连接AC，如图③所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，
∵S四边形ABCP＝S△ABC+S△PAC，S△ABC＝AB•BC＝×8×6＝24，
∴四边形ABCP面积的最大，则点P到AC的距离最大，
∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆弧上，
设AB的中点为O，
∴OA＝AB＝4，
则OP⊥AC时，点P到AC的距离最大，
设OP交AC于H，
∵∠OHA＝∠CBA＝90°，∠OAH＝∠CAB，
∴△OAH∽△CAB，
∴＝，
∴HO＝＝＝，
∴PH＝OP﹣HO＝OA﹣HO＝4﹣＝，
∴S四边形ABCP＝S△ABC+S△PAC＝24+AC•PH＝24+×10×＝24+8＝32，
∴四边形ABCP面积的最大值为32．
6．如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是　 　．

【分析】连接EB，设OA＝r，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EB，设OA＝r，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．
∴E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，
则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，
点C的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，
设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，
∴弧MN的长度：弧GF的长度＝＝．
故答案为：．
7．如图，AB为⊙O的直径，且AO＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，
P为半圆上任意一点过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM
（1）求∠OMP的度数；
（2）随着点P在半圆上位置的改变，∠CMO的大小是否改变，说明理由；
（3）当点P在半圆上从点B运动到点A时，直接写出内心M所经过的路径长．

【分析】（1）由内心的定义可知∠MOP＝∠MOC＝EOP，∠MPO＝∠MPE＝∠EPO，求出∠MOP与∠MPO的和为45°，利用三角形的内角和定理即可求出∠OMP的度数；
（2）连接CM，证△COM≌△POM，即得出∠CMO＝∠OMP＝135°，可知∠CMO的大小不改变，为135°；
（3）连接AC，BC，证明△ACB，△ACO与△BCO为分别为等腰直角三角形，求出CQ＝2，∠CQO＝90°，∠CNO＝90°，由题意分析得出当点P在半径OC的左侧和右侧的半圆上时，点M的轨迹分别在以AC，BC为直径的圆弧上，根据弧长公式即可求出M所经过的路径长．
【解答】解：（1）∵OC⊥AB，
∴∠OEP＝90°，
∴∠EOP+∠EPO＝90°，
∵M为△OPE的内心，
∴∠MOP＝∠MOC＝EOP，∠MPO＝∠MPE＝∠EPO，
∴∠MOP+∠MPO＝（∠EOP+∠EPO）＝45°，
∴∠OMP＝180°﹣（∠MOP+∠MPO）＝135°；

（2）∠CMO的大小不改变，理由如下：
如图2，连接CM，
在△COM和△POM中，
，
∴△COM≌△POM（SAS），
∴∠CMO＝∠OMP＝135°，
∴∠CMO的大小不改变，为135°；

（3）如图3，连接AC，BC，
∵AB为直径，CO⊥AB，
∴AC＝BC，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴△ACO与△BCO为等腰直角三角形，
∴AC＝AO＝4，
∴CQ＝AC＝2，
分别取AC，BC的中点Q，N，连接OQ，ON，
则∠CQO＝90°，∠CNO＝90°，
当点P在半径OC的左侧和右侧的半圆上时，点M的轨迹分别在以AC，BC为直径的圆弧上，所对圆心角为90°，
∴2×＝，
∴内心M所经过的路径长为．
8．（1）发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，B为⊙A外一点，且AB＝a，P为⊙A上一动点，连接PA，PB，易得PB的最大值为 　 　，最小值为 　 　；（用含a，r的代数式表示）
（2）应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，在平面内沿EF将△AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最小值为 　 　；
②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，P为直角顶点，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接BC、AD．若AP＝3，AB＝7，求AD的最大值；
（3）拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，∠ABC＝60°，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为 　 　．

【分析】（1）当P在BA延长线上时，PB最大，PB最大为AB+PA＝a+r，当P在线段BA上时，PB最小，PB最小为：AB﹣PA＝a﹣r；
（2）①由沿EF将△AEF翻折得到△PEF，可知EA＝EP＝AD＝BC＝2，即P的轨迹是以E为圆心，以2为半径的半圆，故当E、P、B共线时，PB最小，此时BE＝＝2，即得PB最小值为：BE﹣EP＝2﹣2；
②连接BC，由△APC和△BPD是等腰直角三角形，可证明△DPA≌△BPC（SAS），即得AD＝BC，故当BC最大时，AD就最大，而AP＝3，△APC是等腰直角三角形，可得当C、A、B共线时，BC最大此为AC+AB＝13，故AD最大为13；
（3）以AC为边，在△ABC异侧作等边△GAC，连接GD、GB，由AB为半圆O的直径，∠ABC＝60°，可得∠ACB＝90°，∠APC＝∠ABC＝60°，AC＝AB•cos30°＝3，从而有∠ADC＝∠DCP+∠APC＝150°，根据∠ADC+∠AGC＝180°，即知D的轨迹是以G为圆心，3为半径的，由∠GAB＝∠GAC+∠CAB＝90°，得BG＝＝3，即有△BGD中，BD＞3﹣3，可得当G、D、B共线时，BD最小为3﹣3．
【解答】解：（1）当P在BA延长线上时，PB最大，如图：
∴PB最大为：AB+PA＝a+r，
当P在线段BA上时，PB最小，如图：
∴PB最小为：AB﹣PA＝a﹣r，
故答案为：a+r，a﹣r；
（2）①如图：
∵沿EF将△AEF翻折得到△PEF，
∴EA＝EP＝AD＝BC＝2，即P的轨迹是以E为圆心，以2为半径的半圆，
∴当E、P、B共线时，PB最小，此时BE＝＝＝2，
∴PB最小值为：BE﹣EP＝2﹣2；
故答案为：2﹣2；
②连接BC，如图：
∵△APC和△BPD是等腰直角三角形，
∴PD＝PB，PA＝PC，∠DPB＝∠APC，
∴∠DPB+∠APB＝∠APC+∠APB，即∠DPA＝∠BPC，
∴△DPA≌△BPC（SAS），
∴AD＝BC，
∴当BC最大时，AD就最大，
∵AP＝3，△APC是等腰直角三角形，
∴AC＝AP＝6，
∵AB＝7，
∴当C、A、B共线时，BC最大，如图：
∴此时BC＝AC+AB＝13，
∴AD最大为13；
（3）以AC为边，在△ABC异侧作等边△GAC，连接GD、GB，如图：
∵AB为半圆O的直径，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝90°，∠APC＝∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝AB•cos30°＝3，
∵CD⊥CP，
∴∠ADC＝∠DCP+∠APC＝150°，
∵△GAC是等边三角形，
∴∠AGC＝∠GAC＝60°，GA＝AC＝3，
∴∠ADC+∠AGC＝180°，即D的轨迹是以G为圆心，3为半径的，
而∠GAB＝∠GAC+∠CAB＝90°，
∴BG＝＝＝3，
△BGD中，BD＞BG﹣GD，
∴BD＞3﹣3，
∴当G、D、B共线时，BD最小，如图：
∴BD最小值为3﹣3，
故答案为：3﹣3．