第14讲 相似三角形单元分类总复习（原卷版+解析版）

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第14讲 相似三角形单元分类总复习
考点一 比例线段
【知识点睛】
v 比例的基本概念中，a、b、c、d成比例 （或 ） ；其中要特别注意：
①　 需要看清楚是数字之间的成比例，还是线段成比例，数字可以为负数，线段只能是正数；
②　 比例线段是有顺序的，线段a、b、c、d成比例，只能得到
③　 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位
v 比例的基本性质：；比例中项：
v 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例
v 当题目中有若干个比例相等的条件是时，一般采用“设k法”解题；如：已知，则设，故有
【类题训练】
1．若2x＝5y，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质直接解答即可．
【解答】解：∵2x＝5y，
∴＝．
故选：A．
2．若＝（a≠0，b≠0），则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接把已知代入进而化简得出答案．
【解答】解：∵＝（a≠0，b≠0），
∴4a＝3b，
故a＝b，
则＝＝．
故选：D．
3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　）
A．3，6，4，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．10，15，8，12
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A、∵3×7≠4×6，∴四条线段不成比例；
B、∵5×8≠6×7，∴四条线段不成比例；
C、∵8×8≠4×6，∴四条线段不成比例；
D、∵15×8＝10×12，∴四条线段成比例；
故选：D．
4．已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么：的值是（　　）
A．： B．： C．： D．：
【分析】直接利用已知条件进而表示出a，b，c，进而代入求出答案．
【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，
∴设a＝x，b＝2x，c＝3x，
∴：＝：＝：．
故选：C．
5．若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（　　）
A． B． C．或 D．或
【分析】由于线段AB的黄金分割点有两个，则AC＝AB或BC＝AB，当AC＝AB＝﹣1，则BC＝3﹣．
【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，
∴AC＝AB或BC＝AB＝﹣1，
当AC＝AB＝×2＝﹣1，此时BC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
综上所述，BC的长为﹣1或3﹣．
故选：D．
6．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（参考数据：2.12＝4.41，2.22＝4.84，2.32＝5.29，2.42＝5.76）（　　）

A．在0.1到0.3之间 B．在0.3到0.5之间
C．在0.5到0.7之间 D．在0.7到0.9之间
【分析】先估计，再求黄金比．
【解答】解：∵2.22＝4.84，2.32＝5.29，
2.2＜＜2.3，
∴1.2＜﹣1＜1.3，
∴0.6＜＜0.65，
故选：C．
7．已知a＝4，b＝9，则这两个数a，b的比例中项为 　 　．
【分析】根据比例中项的概念，得c2＝ab，再利用比例的基本性质计算得到c的值．
【解答】解：设c是a，b的比例中项，
∴c2＝ab，
又∵a＝4，b＝9，
∴c2＝ab＝36，
解得c＝±6．
故答案为：±6．
8．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，＝，＝，
故选项A，C，D错误，
故选：B．
9．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F，若，DE＝6，则EF的长是 　 　．

【分析】利用平行线分线段成9比例定理求解即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，
∵DE＝6，
∴EF＝9，
故答案为：9．
10．（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣+（）0；
（2）已知：＝，求的值．
【分析】（1）先利用算术平方根的定义、绝对值的意义和零指数幂的意义计算，然后计算有理数的加减运算；
（2）设＝＝k，利用k表示x、y、z得到x＝2k，y＝3k，z＝5k，然后把它们代入所求的代数式中进行分式的加减运算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣12+8﹣3+1
＝﹣6；
（2）设＝＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝5k，
∴＝＝＝﹣．

考点二 相似三角形的判定和性质
【知识点睛】
v 相似三角形的性质：
①　 相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
②　 相似三角形的对应高线、对应角平分线、对应中线之比=相似比
③　 相似三角形的周长之比=相似比；面积之比=相似比的平方
v 相似三角形的判定：
①　 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
②　 有两个角对应相等的两个三角形相似
③　 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
④　 三边对应成比例的两个三角形相似
v 相似三角形的对应顶点需要写在对应的位置，当对应点、对应边不明确时，常常需要分类讨论
【类题训练】
1．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为（　　）

A．1：4 B．3：4 C．2：3 D．1：2
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S△ADE，S四边形BEDC＝3S△ADE，
∴S四边形BEDC：S△ABC＝3：4．
故选：B．
2．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 　 　．

【分析】由△ADE和△ABC的相似比是1：2及△ADE的面积是1，利用相似三角形的性质可得出S△ABC的值，再利用S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE，即可求出四边形DBCE的面积．
【解答】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S△ADE＝4，
∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
3．如图，已知△ABC∽△A′B′C′，则图中角度α和边长x分别为（　　）
A．40°，9 B．40°，6 C．30°，9 D．30°，6
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等解答．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠α＝40°，x＝，
故选：A．
4．已知△ABC∽△DEF，且面积比为1：9，若△ABC的周长为8cm，则△DEF的周长是　 　cm．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且面积比为1：9，
∴△ABC与△DEF的相似比1：3，
∴△ABC与△DEF的周长比1：3，
∵△ABC的周长为8cm，
∴△DEF的周长是3×8＝24（cm），
故答案为：24．
5．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上运动，当点D从点B运动到点C时．
（1）当BD＝1时，则CE＝　 　；
（2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　 　．

【分析】（1）证明△BAD∽△CAE，推出＝＝，可得结论；
（2）证明∠DCE＝90°，推出CP＝DE，求出DE的最小值，可得结论．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE，
∴＝，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，＝，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝，
∵BD＝1．
∴CE＝，
故答案为：；

（2）∵△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∵DP＝PE，
∴CP＝DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小，
∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝10，
根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD＝＝＝，
∴DE＝AD＝8，
∴CP的最小值为×8＝4，
故答案为：4．
6．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD＝cm，AF＝cm．
（1）求DE的长；
（2）求▱ABCD的面积．

【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和勾股定理以及四边形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝6；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD＝∠AEB＝90°，
∴在Rt△EAD中，，
∴AE＝3（cm），
∴S▱ABCD＝BC•AE＝．
7．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
【分析】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD＝∠A＝48°，再根据角的和差关系求出∠ACB即可．
（2）利用△BCD∽△BAC，得＝，可得结论．
【解答】解：（1）当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．

（2）结论：CD＝BD．
理由：∵△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∴CD＝BD．
8．如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．

【分析】根据相似三角形的性质得出∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，因为AF是∠BAC的平分线，所以∠BAF＝∠CAF，然后根据三角形外角的性质求得∠AGD＝∠AFC，即可判定△AGD∽△AFC，根据相似三角形的性质求得＝＝，即可求得AG：GF＝2：1．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AGD＝∠CAF+∠AED，∠AFC＝∠BAF+∠ABC，
∴∠AGD＝∠AFC，
∴△AGD∽△AFC，
∴＝＝，
∴AG：GF＝2：1．

考点三 相似三角形的基本模型
【知识点睛】
1.平行线型——A字图、8字图：常见的有如下两种，当CD∥AB时，则有△OCD∽△OAB


2.斜线型——如图，当∠1=∠A时，则有△OCD∽△OAB



3.一线三等角型——如图，当∠B=∠ADE=∠C时，则有△ABD∽△DCE



4.旋转型——如图，当∠1=∠2，且OD：OA=OC：OB（或∠D=∠A）时，则有△OCD∽△OBA

【类题训练】
1．直角三角形ABC中，∠C＝90°，三个正方形如图放置，边长分别为a，b，c，已知a＝2，b＝3，则c值为（　　）

A．4 B．2 C．5 D．6
【分析】根据△CEF∽△OME∽△PFN，得，代入即可．
【解答】解：直角三角形ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为a，b，c的正方形，且a＝2，b＝3，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴，
∵MO＝2，PN＝3，EF＝c，
∴OE＝c﹣2，PF＝C﹣3，
∴，
解得：c＝5或0（舍去），
∴c＝5，
故选：C．
2．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为 　 　．

【分析】先由四边形ABCD是平行四边形推得AB＝CD，AD＝BC，CD∥AB，再证明△DFE∽△ABE，分别求出CD、BC的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，CD∥AB，
∵DF∥AB，
∴△DFE∽△ABE，
∴＝＝，
∴DF＝AB＝CD＝4，
∴AB＝CD＝8，
∵，
∴DE＝AD＝3，
∴BC＝AD＝9，
∴AB+CD+BC+AD＝8×2+9×2＝34，
∴▱ABCD的周长为34，
故答案为34．

3．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：∠DAC＝∠B；
（2）若AD是△ABC的中线，AC＝4，求CD的长．

【分析】（1）由已知条件可证得△ABD∽△CAE，由相似三角形的性质可得∠DAC＝∠B；
（2）由（1）得∠DAC＝∠B，结合∠BCA＝∠ACD，即有△ABC∽△DAC，从而得AC2＝BC•CD，再结合AD是△ABC的中线，从而可求解．
【解答】（1）证明：∵，∠BAD＝∠ECA，
∴△ABD∽△CAE，
∴∠DAC＝∠B；
（2）解：由（1）得∠DAC＝∠B，
∵∠BCA＝∠ACD，
∴△ABC∽△DAC，
∴，即AC2＝BC•CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BC＝2DC，
∵AC＝4，
∴42＝2DC•DC，
解得：DC＝．
4．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，连接AC，EC，EF，FC，且EC⊥EF．
（1）求证：△AEF∽△BCE；
（2）若AC＝，求AB的长．

【分析】（1）由矩形的性质得∠FAE＝∠EBC＝90°，再根据∠CEF＝90°及同角的余角相等证明∠AEF＝∠BCE，即可证明△AEF∽△BCE；
（2）由△AEF∽△BCE得＝，再由E，F分别是AB，AD的中点，得AF＝AD＝BC，AE＝BE＝AB，可以得到，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，其中AC＝，可以求出AB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAE＝∠EBC＝90°，
又∵EC⊥EF，
∴∠CEF＝90°，
∴∠AEF+∠BEC＝90°，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠AEF＝∠BCE，
∴△AEF∽△BCE．
（2）解：由（1）得△AEF∽△BCE，
∴＝，
∵E、F分别是AB、AD的中点，且AD＝BC，
∴AF＝AD＝BC，AE＝BE＝AB，
∴，
∴，
∵AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2＝（）2＝12，
∴，
解得AB＝，
∴AB的长为．
5．如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．
（1）求证：△ADE≌△BFA；
（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．

【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠FAB＝90°，∠FBA+∠FAB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，
设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠DAE+∠FAB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠FAB＝90°，
∴∠DAE＝∠FBA，
在△ADE和△BFA中
，
∴△ADE≌△BFA（AAS）；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠CEB＝∠ABE，
设∠CEB＝∠ABE＝x°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠EBA＝x°，
当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：
①∠DEA＝∠CEB＝x°，
∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，
∴x+x+x＝180，
解得：x＝60，
即∠DEA＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，
∵AE＝AB，
∴＝＝＝；
②∠DEA＝∠EBC，
设∠DEA＝∠EBC＝y°，
∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，
则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，
在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，
即，
解得：x＝90°，
即∠CEB＝90°，
此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；
所以＝．

考点四 相似三角形的应用
【知识点睛】
当物体的高度和宽度不能直接测量时，一般思路是先根据题意建立相关的相似三角形模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系等列式求解
【类题训练】
1．如图，图1是装了液体的高脚杯，加入一些液体后如图2所示，则此时液面AB为（　　）

A．5.6cm B．6.4cm C．8cm D．10cm
【分析】根据相似三角形的高之比等于相似比即可．
【解答】解：由题意根据相似三角形的性质得：，
解得：AB＝6.4，
故选：B．
2．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（　　）

A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米
【分析】作CE⊥AB于E点，如图，则四边形BDCE为矩形，BD＝CE＝9.6，BE＝CD＝2，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到”＝，求出AE从而可得到AB的长．
【解答】解：作CE⊥AB于E点，如图，则四边形BDCE为矩形，BD＝CE＝9.6，BE＝CD＝2，
根据题意得＝，即＝，解得AE＝8，
所以AB＝AE+BE＝8+2＝10（m）．
答：旗杆的高度为10m．
故选：C．

3．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD为1.9米，小明到凉亭的距离BD为2米，凉亭离城楼底部的距离DF为38米，小亮身高为1.7米．那么城楼的高度为（　　）

A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米
【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．
【解答】解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，

由题意得：AN＝2米，CN＝1.9﹣1.6＝0.3（米），MN＝38米，
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴＝，
∴＝，
∴EM＝6，
∵AB＝MF＝1.7米，
∴城楼的高度为：6+1.6﹣1.7＝5.9（米）．
故选：B．
4．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．
【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形CDEF的边长为．
故选：B．

5．如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子里看到楼的顶部，如果王青身高1.55m，她估计自己服睛距地面1.50m．同时量得LM＝30cm，MS＝2m，则这栋楼高 　 　m．

【分析】根据镜面反射的性质，△KLM∽△TSM，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：根据题意，
∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠KML＝∠TMS（反射角等于入射角），
∴△KLM∽△TSM，
∴＝，即＝＝，
∴TS＝10（m），
所以这栋大楼高为10m，
故答案为：10．

6．如图，小明在B时测得直立于地面的某树的影长为12米，A时又测得该树的影长为3米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 　 　米．

【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EC2＝ED•FE，代入数据可得答案．
【解答】解：根据题意，作△DFC，
则树高为CE，∠DCF＝90°，ED＝3米，FE＝12米，
∵∠DCF＝90°，∠DEC＝∠FEC＝90°，
∴∠D+∠F＝∠D+∠DCE，
∴∠DCE＝∠F，
∴Rt△DEC∽Rt△CEF，
∴＝，即EC2＝ED•EF，
∴EC2＝3×12＝36，
∴EC＝6，
答：树的高度为6米．
故答案为：6．

7．疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点．当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 　 　cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 　 　cm．

【分析】延长PQ交FC延长线于点M，先证明△BCE是等边三角形，进而可以求出PF的值；过点Q作QH⊥BM于点H，求出tan15°＝＝2+，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，延长PQ交FC延长线于点M，

由题意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，
∴∠QMB＝30°，
∵Q点是AB中点．
∴QB＝AB＝10cm，
∴BM＝2QB＝20cm，QM＝QB＝10cm，
∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝6cm，
∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，
∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），
∴PF＝FM＝18（cm），
∴当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18cm，
∴PM＝2PF＝36cm，
∴PQ＝PM﹣QM＝36﹣10＝26（cm），
当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，如图，延长P′Q交FC延长线于点N，
∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，
∴∠N＝75°﹣60°＝15°，
∵∠QMB＝30°，
∴∠MQN＝15°，
∴∠MQN＝∠N＝15°，
∴MQ＝MN＝10cm，
∴FN＝FM+MN＝（54+10）cm，
如图，过点Q作QH⊥BM于点H，

设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝xcm，
∴NH＝MN+MH＝（2x+x）cm，
∴tan15°＝＝，
∴tan15°＝＝2+，
∴P′F＝（2+）（54+10）＝（78﹣34）cm，
∴PP′＝PF﹣P′F＝18﹣（78﹣34）＝（52﹣78）cm．
故答案为：18；（52﹣78）cm．
8．如图，为了估测笔直的公路l旁边矩形场地ABCD的面积，在公路l上依次确定点E，F，M，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上，∠CMN＝∠AFE，并测得EF＝20米，FM＝10米，MN＝15米，∠ANE＝45°，则矩形场地ABCD的面积为 　 　米2．

【分析】根据已知可知△AEN和△BFN都是等腰直角三角形，从而求出AN与BN的长，即可求出AB的长，因为已知∠CMN＝∠AFE，想到构造这两个角所在的三角形相似，所以过点C作CH⊥l，垂足为H，过点B作BQ⊥CH，垂足为Q，延长QB交AE于点P，然后证明△FAE∽△MCH，进而得到CH与HM的关系，最后证明△CQB是等腰直角三角形即可解答．
【解答】解：过点C作CH⊥l，垂足为H，过点B作BQ⊥CH，垂足为Q，延长QB交AE于点P，

∵AE⊥l，BF⊥l，
∴∠AEN＝∠BFN＝90°，
∴四边形BFHQ和四边形BPEF是矩形，
∴BF＝QH＝PE，BP＝EF，QB＝HF，
∵EF＝20米，FM＝10米，MN＝15米，
∴FN＝MN+FM＝25米，EN＝EF+FM+MN＝45米，
∵∠ANE＝45°，
∴△AEN和△BFN都是等腰直角三角形，
∴AE＝EN＝45米，BF＝FN＝25米，
∴AN＝AE＝45米，BN＝BF＝25米，
∴AB＝AN﹣BN＝45﹣25＝20米，
∵∠CMN＝∠AFE，∠AEF＝∠CHM＝90°，
∴△FAE∽△MCH，
∴＝＝＝，
∴设MH＝4x米，CH＝9x米，
∴CQ＝CH﹣QH＝（9x﹣25）米，QB＝HF＝HM+MF＝（4x+10）米，
∵AP＝AE﹣PE＝45﹣25＝20米，BP＝EF＝20米，∠APB＝90°，
∴△APB是等腰直角三角形，
∴∠ABP＝45°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＝180°﹣∠ABP﹣∠ABC＝45°，
∵∠CQB＝90°，
∴△CQB是等腰直角三角形，
∴CQ＝QB，
∴9x﹣25＝4x+10，
∴x＝7，
∴CQ＝BQ＝38米，
∴BC＝BQ＝38米，
∴矩形ABCD的面积＝20×38＝1520平方米，
故答案为：1520．
9．如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为　 　米，BC为　 　米．

【分析】根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），于是得到AB＝AN﹣BN＝15（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，根据矩形的性质得到PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AE⊥l，BF⊥l，
∵∠ANE＝45°，
∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，
∴AE＝EN，BF＝FN，
∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，
∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），
∴AN＝25（米），BN＝10（米），
∴AB＝AN﹣BN＝15（米）；
过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，
∴AE∥CH，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，
∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，
∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴＝＝＝，
∴设MH＝3x，CH＝5x，
∵CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，
∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，
∴∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，
∴，
∴＝，
∴x＝6，
∴BQ＝CQ＝20，
∴BC＝20（米），
方法二：∵∠ANE＝45°，
∴∠ABP＝45°，
∴∠CBQ＝45°，
∴CQ＝BQ，
∵CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，
∴5x﹣10＝3x+2，
∴x＝6，
∴BQ＝CQ＝20，
∴BC＝20（米），
故答案为：15，20．

10．学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．

【分析】设BE＝ym，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于y的方程，即可求出建筑物AB的高度．
【解答】解：设BE＝ym，由题意可知，
△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，
∴＝，＝，
∵EF＝HG＝2，
∴＝，
∴＝，
解得：y＝23（m），
则＝，即＝，
解得：AB＝25（m），
答：该古建筑的高度为25米．
11．如图，由边长为1的小正方形组成的6×6网格中，△ABC顶点在网格上，点D在BC边上，且BD＝2CD．
（1）BD长等于 　 　；
（2）请你仅用无刻度的直尺在边AB上找点E，使得△BDE与△ABC相似．（要求画出两种情形）

【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）根据相似三角形的判定方法，作出图形即可．
【解答】解：（1）BD＝＝2．
故答案为：2．

（2）如图，△BDE即为所求．

12．如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．
（1）在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．
（2）在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）

【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）取格点J，K，连接OJ交EF于点M，连接OK交EG于点N，连接MN即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段PQ即为所求；
（2）如图2中，线段MN即为所求．

13．如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使△BCF∽△BDA；
（2）在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH+DH值最小．

【分析】（1）利用旋转变换的性质作出点B的对应点E，取格点P，Q，连接PQ交EC于点F，连接BF即可；
（2）作点D关于BC的对称点D′，连接AD′，交BC于点H，连接DH，点H即为所求．
【解答】解：（1）如图，线段CE，点F即为所求；
（2）如图2中，线段DG，点H即为所求．

14．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）求证：△APQ∽△ABC；
（2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：2，则这个矩形的长、宽各是多少？

【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥PQ，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）设宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形PNQM为矩形，
∴MN∥PQ，
即PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC；

（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵PN：PQ＝1：2，
∴PQ为长，PN为宽，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴＝，
由题意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝xmm，
∴＝，
解得x＝，2x＝．
即长为mm，宽为mm．
答：矩形的长mm，宽为mm．

15．如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为Sm2．
（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）
（2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？

【分析】（1）利用矩形的性质，DG∥EF，利用同位角相等，证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）由（1）可知，DG＝（80﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式．
（3）利用配方法求出最大值即可．
【解答】解：（1）∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，
∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝（80﹣x）（m）；

（2）矩形面积S＝x•（80﹣x）＝﹣x2+100x（0＜x＜80）；

（3）∵S＝﹣（x2﹣80x）＝﹣（x﹣40）2+2000，
∵﹣＜0，
∴x＝40时，S的值最大，最大值为2000．
答：当x＝40时，S的值最大，最大值为2000m2．