第18讲 圆幂定理＋圆与相似综合探究（原卷版+解析）

第18讲  圆幂定理＋圆与相似专题探究

类型一  圆幂定理

【知识点睛】

        弦切角：与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角；

        弦切角性质：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

        【推论】如右图，若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC²=PA·PB

【类题训练】

1．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（　　）

A． B． C．5 D．

2．如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝2，BC＝3，点E为BC上一点，且BE＝1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（　　）

A． B．5 C．+1 D．

3．如图，AB是⊙O的弦，P在AB上，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

4．如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是的中点，连接AB，BC，CD，若BP＝，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为（　　）

A． B．2 C． D．

5．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP＝∠MNQ，下面结论：①∠1＝∠2；②∠P+∠Q＝180°；③∠Q＝∠PMN；④PM＝QM；⑤MN2＝PN•QN．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③⑤ C．④⑤ D．①②⑤

6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，若以点C为圆心，CB为半径的圆交AB点P，则AP＝　    　．

7．如图，BP是⊙O的切线，弦DC与过切点的直径AB交于点E，DC的延长线和切线交于点P，连接AD，BC．若DE＝DA＝，BC＝2，则线段CP的长为 　    　．

8．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC＝3，AD＝，则AB的长为

 　    　．

9．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．

（1）求证：FB2＝FE•FG；

（2）若AB＝6，求FB和EG的长．

10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DF．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求证：AD2＝AB•AF；

（3）若BE＝2，sinB＝，求AD的长．

其他相似结合类型

类型一  母子型相似

1．如图，D、E是以AB为直径的半圆O上任意两点，连接AD、AE、DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加的一个条件是　        　（填正确结论的序号）．

①∠ACD＝∠DAB；②AD＝DE；③AD2＝BD•CD；④CD•AB＝AC•BD．

2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC＝2；

求：AG•AF的值.

3．如图，P是AB为直径的半圆周上一点，点C在∠PAB的平分线上，且CB⊥AB于B，PB交AC于E，若AB＝4，BE＝2，求PE的长．

类型二  X型相似

1．如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，

（1）求证：△AEB∽△OFC；

（2）求证：AE•BC＝AD•BE；

（3）若AD＝8，求OF的长．

2．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．

（1）求证：△AED是等腰直角三角形；

（2）如图1，已知⊙O的半径为．

①求的长；

②若D为EB中点，求BC的长．

（3）如图2，若AF：FD＝2：1，且BC＝4，求⊙O的半径．

类型三  A字型相似

1．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE．

（2）若DE＝，AB＝6，求AE的长．

（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．

【综合练习】

1．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．

（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；

（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；

（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．

2．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．

（1）求证：∠AEB＝∠AFD．

（2）若AB＝10，BF＝5，求AD的长．

（3）若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．