2023届天津市耀华中学高三上学期第二次月考数学试题含解析

2023届天津市耀华中学高三上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据补集、交集的知识求得正确选项.

【详解】.

故选：B

2．在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（　　）

A．﹣40 B．40 C．﹣80 D．80

【答案】C

【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得x2的系数．

【详解】在（x﹣2）5的展开式中，含x2的项为，

故x2的系数为：﹣80．

故选：C.

【点睛】本题主要考查了利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题.

3．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.

【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；

当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.

故选：C

4．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）

A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】C

【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.

【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.

5．设，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系.

【详解】解：，，

∴．

故选：D

6．等比数列的公比为，前项和为.设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】令先说明充分性，若是递增数列，则必有 成立说明必要性即可

【详解】当时，数列不是递增数列，

所以甲不是乙的充分条件．

若是递增数列，则必有 成立，若 不成立，

则会出现一正一负的情况，是矛盾的，所以成立

所以甲是乙的必要条件．

故甲是乙的必要不充分条件

故选：B.

7．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（    ）

A．

B．

C．

D．在方向上的投影向量为

【答案】C

【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.

【详解】由题意，分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

在正八边形中，

由

过作

因为，所以，

所以

对A选项：，

故A正确，

对B选项：，故B正确，

对C选项：

所以

所以，故C不正确，

对D选项：

所以在方向上的投影向量为：

，故D正确

故选：C.

8．已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（    ）

A．351 B．353 C．531 D．533

【答案】B

【分析】根据题意讨论的奇偶，当为奇数时，可得，按等差数列理解处理，当为偶数时，可得，按并项求和理解出来，则按奇偶分组求和分别理解处理．

【详解】依题意，，

显然，当n为奇数时有，

即有，，…，，

令，故，

所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，

故；

当n为偶数时有，

即，，…，，

于是，

，

故选：B．

9．已知函数的图像在轴上的截距为，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为.关于该函数有下列四个说法：

①；②；

③函数在上一定单调递增；④在轴右侧的第一个最低点的横坐标为.

以上说法中，正确的个数有（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据题意，得到，求得，再由，求得，得到函数，结合函数的导数，三角函数的图像与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，函数的图像在轴上的截距为，

可得，

因为，可得，所以A正确；

又由，且在轴右侧的第一个最高点的横坐标为，

可得，

则，

可得，

所以，

则，

可得

所以

，

所以函数最大值为，所以B错误；

由，

当，可得，

根据正弦函数的性质，可得函数在上单调递增，所以C正确；

由，

令，

解得，

当时，可得，

即在轴右侧的第一个最低点的横坐标为，所以D错误.

所以正确的个数有2个.

故选：B.

二、填空题

10．复数（为虚数单位），则的虚部是______.

【答案】

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】，因此，复数的虚部为.

故答案为：.

11．= _____________

【答案】3

【详解】主要考查对数运算．

解：原式=

12．正八面体的八个面均为正三角形，如图，若正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为________.

【答案】##

【分析】该几何体的体积为上半部分正四棱锥的体积的2倍，因此利用图形以及锥体体积公式算出正四棱锥的体积即可解决问题.

【详解】连接交于点，取的中点，连接

如图所示：

由题意得：平面,所以它为正四棱锥的高.

所以，

又该正八面体的八个面均为正三角形且棱长为均为2，

所以，

所以

所以

所以此正八面体的体积为

故答案为：.

13．设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简得，由的取值范围求出的取值范围，令，将问题转化为函数在区间上的极值点个数问题，数形结合来求解.

【详解】

，

当时，，

令，则，

作出函数的图像如图所示：

由于函数在上有且仅有个极值点，

则，解得.

故答案为：

14．记，若有三个不等实根，若，则实数________.

【答案】

【分析】首先根据定义，画出函数的图象，并在同一坐标系中画出的图象，根据图象，并联立方程，求得，利用条件求解的值.

【详解】令，两边平方后得，

令，定义域为，恒过点，

联立，解得：，，

所以,画出函数的图象，

在上，在上，，，

联立，解得：，

联立 ，得，解得：，，

，，

，解得：，因为，

所以.

故答案为：

三、解答题

15．在中，内角所对的边分别是，，.已知，，.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据余弦定理，运用代入法进行求解即可；（2）根据正弦定理进行求解即可；（3）由（2）利用二倍角公式计算出，然后利用两角差的正弦公式展开计算即可.

【详解】（1）由余弦定理，得

，

所以

（2）在中，因为，

所以，

由正弦定理 ，得

，

所以

（3）由（2），

所以

所以

.

16．如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，，分别是，的中点．

（）求证：平面．

（）求二面角的余弦值．

（）求点到平面的距离．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）1

【详解】试题分析:（1）根据三角形相似得，根据直棱柱性质得，又由等边三角形性质得，所以由线面垂直判定定理得平面，即，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角的余弦值．（3）根据向量投影得点到平面的距离为，再利用向量数量积求夹角可得结果

试题解析：（）证明：∵平面，平面，∴，

∵是等边三角形，∴，又，

∴平面，

以为原点建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，，，

∴，，，

∴，，∴，，

又，∴平面．

（），，

设平面的法向量为，则，∴，

令得，又为平面的法向量，

∴二面角的余弦值为 ．

（），，，

∴直线与平面所成角的正弦值为，∴点到平面的距离为．

17．在平面直角坐标系中，为坐标原点．椭圆C：过点，且离心率为，右焦点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知点满足，在椭圆上是否存在点（异于的顶点），使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)·

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）由题意可得，解得的值，即可得椭圆方程；

（2）若存在这样的点使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，设直线的方程为，与椭圆方程联立求解可得点的坐标，从而可得点的坐标，由，可得点的坐标为，因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据斜率计算公式列方程求解，即可判断是否存在点．

【详解】（1）解：由题意可知，得

椭圆C的标准方程为．

（2）解：若存在这样的点使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，由题意可得直线和直线的斜率均存在．

设直线的方程为，

由方程组消去可得，

解得或．

则点的坐标为．

因为为线段的中点，点的坐标为，

所以点的坐标为．

由，可得点的坐标为，

所以直线的斜率为．

因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以，

所以，整理得，方程无解．

所以，不存在满足题意的点．

18．已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.

(1)求数列和通项公式；

(2)令，求数列的最大项并说明理由.

(3)令设数列的前项和为，求.

【答案】(1)

(2)时，数列有最大项，且为，理由见详解

(3)

【分析】（1）设公差为，公比为，结合，解出，即可求解和通项公式；

（2）根据（1）将代入中，设为最大项，列出不等式组

解出，分析即可

（3）由的表达式，对分类求出的通项公式，然后求出

然后写出，观察可知利用错位相减法即可求出

【详解】（1）因为为等差数列，设公差为 ，为等比数列，设公比为，

因为，，，

所以，即①，

，即②，

联立①②得，

则；

（2）由（1），则

设为最大项，则：

由解得：或

由解得：

所以

又因为

所以

即时，数列有最大项，且为

（3）

当为奇数时，

当为偶数时，

所以

所以

               ①

所以          ②

①②：

所以

19．已知函数，．

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)若有两个极值点，且．

①求实数的取值范围；

②求证：．

【答案】(1)

(2)①；②证明见解析.

【分析】（1）根据条件，求出，，根据利用导数的几何意义，即可得解；

（2）①利用导数分析函数的单调性，根据函数有个极值点可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；

②分析可知，，将所证不等式转化为，分、两种情况讨论，在时，利用不等式的基本性质可证得结论成立；利用，，要证，只需证，构造，并利用导数分析函数的单调性，可证得.

【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为，

则，所以，，，

此时，曲线在处的切线方程为，即.

（2）解：①，

令，，则，

令，则对任意的恒成立，

所以，函数在上单调递增，

因为，当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

因为函数有两个极值点，所以，，

解得，

此时，

所以，函数在、上各有一个极值点，合乎题意；

所以的取值范围为．

②由于的两根为，

所以，由①知

要证，只需证，即证：

令，则

令，则.

当时，，此时函数单调递增，所以，，即.

所以

又，在上单调递增

所以，所以在上单调递增，

可得，因为，故得证，

即.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

四、双空题

20．如图，在中，，，为上一点，且满足，则的值为________；若的面积为，的最小值为________.

【答案】     ##    

【分析】由平面向量共线定理求解，由数量积的运算律，结合三角形面积公式与基本不等式求解，

【详解】由题意得，则，

而三点共线，得，，

，则，

而，得，

由基本不等式得，当且仅当时等号成立，

故，的最小值为，

故答案为：；