2023届贵州省贵阳第一中学高三高考适应性月考（三）数学（文）试题含解析

2023届贵州省贵阳第一中学高三高考适应性月考（三）数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分式不等式的解法和集合的交集、并集运算求解.

【详解】由得 解得，

所以，

所以，

故选：B．

2．已知复数z满足，则复数的模是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】计算，得到，再计算模长得到答案.

【详解】，故，的模为，

故选：A

3．若样本数据的标准差为10，则数据的方差为（    ）

A．30 B．90 C．300 D．900

【答案】D

【分析】的方差为，则的方差为.

【详解】已知样本数据的标准差为，则其方差，所以数据，的方差为.

故选：D

4．已知数列是公比为的等比数列，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由及等比数列通项公式求出且，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由即，显然，，所以，解得且．

所以由不一定能推出，但由一定能推出，

因此“”是“”的必要不充分条件；

故选：C．

5．已知向量、为相互垂直的单位向量，若，则向量与向量的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出，，再根据夹角公式求出，即可得解.

【详解】解：因为、为相互垂直的单位向量，所以且，

所以，，

所以，又，所以；

故选：D．

6．若正数x，y满足，则的最小值为（    ）

A．4 B．1 C．5 D．2

【答案】D

【分析】将整理成“1”的形式，然后运用“1”的妙用解题.

【详解】由，有，所以，则 ，当且仅当即时，等号成立，故选D．

故选：D．

7．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（    ）

A． B． C．8 D．

【答案】A

【分析】先根据定义求出点的横坐标，将其代入抛物线方程，求出点的纵坐标，进而求出面积.

【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为，

由抛物线焦半径公式知，

将代入，可得，

所以的面积为，

故选：A．

8．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化简，代入即可求解.

【详解】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，可得

.

故选：C.

9．如图，是的直径，所在的平面，是圆上一点，，直线和平面所成角为，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】作出异面直线和所成角，解三角形求得角的余弦值.

【详解】如图，因为平面，所以为斜线在平面上的射影，所以.

因为是的直径，所以.

设，则.

取的中点的中点，

则，所以是异面直线和所成角或其补角.

，，

所以，

所以异面直线和所成角的余弦值为.

故选：B

10．已知函数为R上的偶函数，对任意不相等的，均有成立，若，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设恒成立可得在为减函数，结合偶函数性质则在为增函数，由对数函数单调性可判断，即可根据单调性得a，b，c的大小关系.

【详解】∵对任意不等，，均有成立，∴此时函数在区间上为减函数，又∵是偶函数，∴当时，为增函数．

由，，

所以，所以，即.

故选：D．

11．已知双曲线的右焦点为，过作轴的垂线与的一个交点为，与的一条渐近线交于为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】将转化为，从而得到，进而可得，即可得答案.

【详解】因为，所以，

即.又设，其中 .

则点P，点Q横坐标为c.又，

则其中一条渐近线方程为：.得.

则由可得，即，所以，

所以，即，故.

故选：C.

12．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若关于x的函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数分析的单调性，结合函数是奇函数，数形结合即可求得参数的范围.

【详解】如图，当时，，在上单调递减，在上单调递增，

且当时，；时，；

又是R上的奇函数，，其函数图象如下所示：

的零点，即的根；

数形结合可知，有个根，故只需与的图象有一个交点即可.

即满足条件或，解得.

故选：A．

二、填空题

13．已知向量，若，则______.

【答案】

【分析】则坐标计算即可.

【详解】已知向量，所以.由，得，所以.

故答案为：.

14．已知数列.的前项和为，且.若，则______.

【答案】116

【分析】先判断出数列是等差数列，然后运用等差数列的性质可得答案.

【详解】为等差数列，

.

故答案为：116.

15．直线与圆交于两点，则最小值为______.

【答案】

【分析】求出直线过定点，然后结合圆的性质分析出当直线与OA垂直时，弦长最短，然后结合垂径定理即可求解.

【详解】直线过定点过，因为点在圆的内部，且，由圆中弦的性质知当直线与OM垂直时，弦长最短，此时结合垂径定理可得，

故答案为：

16．在三棱锥中，已知是线段上的点，.若三棱锥的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.

【答案】

【分析】结合余弦定理、正弦定理、勾股定理求得球的半径，进而求得球的表面积.

【详解】如图，因为，且平面，

所以平面.又平面，所以.

因为，即，且，

平面，所以平面.

在中，因为，可得.

设外接圆的半径为，则，可得，即，

设三棱锥的外接球的半径为，

可得，

即，球的半径为，故表面积.

故答案为：

三、解答题

17．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：．

(1)求角A的大小；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后，再利用余弦定理可求得结果；

（2）利用正弦定理求出角，从而可判断三角形为直角三角形，进而可求出三角形的面积.

【详解】（1）由已知及正弦定理可得，

整理得，

所以．

又，故．

（2）由正弦定理可知，

又，，，

所以．

故，

所以，

故为直角三角形，

于是．

18．为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，观山湖区某学校以问卷形式对教职工做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有2名不愿意接种疫苗，50名女性中有10名不愿意接种疫苗．

(1)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？

(2)从不愿意接种疫苗的12份调查问卷中得知，其中有5份是由于身体原因不能接种，且3份是女性问卷，若从这5份问卷中任选2份继续深入调研，求这2份问卷分别是1份男性问卷和1份女性问卷的概率．

附：

【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关；

(2)

【分析】（1）根据男女生的总人数和不愿意接种人数为突破点可完成联表，然后将数据代入卡方公式进行计算；（2）根据概率计算公式可算.

【详解】（1）列联表如下：

的观测值，

∴有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．

（2）记3份女性问卷为A，B，C，2份男性问卷分别为a，b，则5份问卷任取2份的方法为：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种．其中是1份男性和1份女性的有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6种，

∴这2份问卷分别是1份男性问卷和1份女性问卷的概率．

或解：

19．正的边长为2，是边上的高，E，F分别是和的中点（如图甲）.现将沿翻成直二面角（如图乙）.在图乙中：

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合三角形的中位线以及线面平行的判定定理证得平面.

（2）利用等体积法求得点到平面的距离.

【详解】（1）在△ABC中，因为E，F分别是AC，BC的中点，

所以.

又平面DEF，平面DEF，

所以平面DEF.

（2）在题图甲中，因为是正的高，

所以，

所以在题图乙中，，所以是二面角的平面角，

又二面角是直二面角，所以，

由于平面，所以平面.

因为是的中点，所以三棱锥的高为.

三角形的面积是，

又是的中点，所以，

所以.

因为，

所以.

设点到平面的距离为，则，

解得，

所以点到平面的距离为.

20．已知椭圆，短轴长为，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的直线被截得的弦长为3．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点的直线l与椭圆C交于D，E两点，则在x轴上是否存在一个定点M，使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，也请说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，.

【分析】（1）根据已知条件，列出满足的方程组，解得，即可求得椭圆方程；

（2）讨论直线的斜率是否存在，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理以及直线的斜率互为相反数，即可求得结果.

【详解】（1）对椭圆，令，解得，故可得

解得，， 所以椭圆C的标准方程为．

（2）据题设知点，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为．

由得．

设，，则，．

设，则，．

又因为直线MD，ME的斜率互为相反数，

所以，

所以，

则，

所以，

所以，

所以．

若对任意恒成立，则，

当直线l的斜率k不存在时，若，则满足直线MD，ME的斜率互为相反数．

综上，在x轴上存在一个定点，使得直线MD，ME的斜率互为相反数．

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中存在某点满足条件；第二问处理的关键是合理使用韦达定理，结合斜率之和为进行求解，属综合中档题.

21．已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数有两个零点，则且有，即可求出实数的取值范围.

【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，.

①当时，由，知函数在内单调递增；

②当时，由，即得；

由，即得.

所以，函数在内单调递增，在内单调递减.

因此，当时，在内单调递增；

当时，在内单调递增；在内单调递减；

（Ⅱ）当时，则函数在上为增函数，函数最多一个零点，不合乎题意，舍去；

当时，由（Ⅰ）知，函数在内单调递增，在内单调递减.

且当时，，当时，，

则，即，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求曲线C和直线l的普通方程；

(2)已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据参数方程得到，展开极坐标方程再代换得到直线方程.

（2）确定直线的参数方程，代入曲线方程得到，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算得到答案.

【详解】（1）曲线C的参数方程为(为参数)，则有，

即曲线C的普通方程为.

直线l的极坐标方程为，展开可得，

将代入，可得，即，即．

（2）点在直线l：上，则直线l的参数方程为(t为参数).

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得，

整理得：，设点A，B对应的参数分别为，，则，．

所以．

23．已知．

(1)求不等式的解集；

(2)若方程有实数解，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分段讨论，化简绝对值，再解不等式即可.

（2）方程有实数解转化为函数有交点，利用三角不等式求出函数的最小值，即可求得m的取值范围

【详解】（1）解：不等式，即，

①当时，不等式化为，

解得，故；

②当时，不等式化为成立，故；

③当时，不等式化为，

解得，故，

综上所述，不等式解集为.

（2）解：由三角不等式可得，，

所以，

要使方程有实数解，

则函数的图像与函数的图像有交点，需，

故m的取值范围是.