人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线学案

3.3.1《抛物线及其标准方程》学案

目标要求

1. 掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念
   2.学会画抛物线的图像
   3.了解抛物线标准方程的推导
   4.根据条件会求出抛物线的标准方程
   5.通过学习，提升直观想象和数学运算的素养
   重难点

1. 抛物线的定义及其焦点、准线的概念（重点）
2. 抛物线的图像及标准方程的求解（难点）

复习回顾

1. （1）椭圆的定义是什么？

（2）写出椭圆的标准方程及对应的焦点坐标。

2. （1）双曲线的定义是什么？

（2）写出双曲线的标准方程及对应的焦点坐标。

新课探究

导语

根据椭圆和双曲线的第二定义，我们知道：如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，

当0<k<1时，点M的轨迹为椭圆；当k>1时，点M的轨迹为双曲线.

问题1：当k＝1时，点M的轨迹会是什么形状？

知识清单

1. 抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的            的点的轨迹叫做抛物线。
2.定点F称为抛物线的         ；定直线l称为抛物线的       。

3.当直线l经过点F时，动点M的轨迹是                      。问题2：你能具体的画出抛物线的几何图形吗？
      （结合课本中探究的实验活动，画出图形。）

问题3：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，根据你所画出的图形，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？并完成下列表格

观察四种不同形式的抛物线的图像和标准方程，我们发现

相同点：

1. 抛物线的顶点是        ；2.对称轴为       ，焦点在坐标轴上；

3.标准方程的结构特征：左边是二次项，右边是一次项；

4.原点到焦点的距离等于原点到准线的距离，其值为      。

不同点：

1.一次项变量为x(y)，则对称轴为    轴；焦点在      轴;

2.一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的     方向。

典型例题

例1  已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程。

例2  已知抛物线经过点(－3，－1),求它的标准方程。

反思感悟

求抛物线的标准方程一般有两种方法：

（1）定义法，直接利用定义求解．      （2）待定系数法．

例3  一种卫星接收天线的轴截面如图所示．卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径为4.8m，深度为1m，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

反思感悟

求解抛物线的实际应用问题的基本步骤

(1)建:建立适当的坐标系.(2)设:设出合适的抛物线标准方程.

(3)算:通过计算求出抛物线标准方程.(4)求:求出所要求出的量.

(5)还:还原到实际问题中,从而解决实际问题.

随堂演练

1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.

(1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)

(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.(　　)

(3)若抛物线的方程为y2=-4x,则其中的焦参数p=2.(  　)

(4)抛物线y=6x2的焦点在y轴的正半轴.(　　)

2.若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P的轨迹是(　　)　　　A.椭圆                    B.抛物线                C.直线                  D.双曲线

3.平面内到点A(2,3)和直线l:x+2y-8=0距离相等的点的轨迹是(　　)

A.直线     B.抛物线       C.椭圆        D.圆

4.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝_____，准线方程为________.

5.焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为__________。

课堂小结

1. 抛物线的定义；2.抛物线的四种不同形式的标准方程及其图像；

3.求抛物线的标准方程的两种方法：定义法和待定系数法