2023届河北省张家口市第一中学高三上学期期中数学试题含解析

2023届河北省张家口市第一中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式的解法、对数函数的单调性，结合集合相等定义、子集的定义、集合交集、集合并集的定义逐一判断即可.

【详解】由，或，

由，

显然，，

，，

故选：C

2．欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先利用欧拉公式及纯虚数的概念求得，，由此得到复数对应的点为，从而可得结论.

【详解】因为，所以，

因为为纯虚数，所以，，故，

所以，

则复数在复平面内对应的点为，则其在第四象限.

故选：D.

3．等于（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据三角恒等变换公式化简即可求解．

【详解】由

故选：A

4．如图，点在半径为2的上运动，.若，则的最大值为（    ）

A．1 B．  C． D．

【答案】B

【分析】将原题转化为线性规划问题，求目标函数最大值即可.

【详解】如图：

，

为基底，则 ，令

则有： ，

问题转化为点C在第一象限的圆周 上运动，求目标函数 的最大值，

显然当直线 与圆相切时，z最大，此时 ；

故选：B.

5．命题“”的否定是（    ）

A． B．不存在，使

C． D．

【答案】D

【分析】根据特称命题“存在”，符号，其否定为全称命题，符号为，“”的否定为“”， 即可选出答案.

【详解】该命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，

即命题“”的否定是“”，

故选：D.

6．已知数列满足为常数，且，则的最大值为（    ）

A．18 B．12 C．10 D．8

【答案】A

【分析】根据等差数列的定义、通项公式计算即可.

【详解】由满足得数列为等差数列，

由得，

当时，的最大值为18．

故选：A

7．已知，，则下列结论中正确的个数为（    ）

①与同向共线的单位向量是

②与的夹角余弦值为

③向量在向量上的投影向量为

④

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【分析】根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.

【详解】解：，故①正确；

，故②错误；

向量在向量上的投影向量为，故③正确；

，故④正确；

故选:C.

8．函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，，则方程所有解的和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正切函数的周期性，结合同角三角函数关系式，特殊角的三角函数值进行求解即可.

【详解】设函数的最小正周期为，

因为，所以由题意可知，

又因为，

又因为，所以，即，因此，

由

，或，

当时，，

当时，，

当时，，

所以，

故选：B

【点睛】关键点睛：利用正切函数的最小正周期公式，结合代入法求解函数的解析式是解题的关键.

二、多选题

9．为了得到函数的图象，可将函数的图象（    ）

A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍

B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

C．向上平移一个单位长度

D．向下平移一个单位长度

【答案】BC

【分析】根据函数图像变换求得结果.

【详解】解：由题意函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，

可得到函数的图象，则错误，B正确；

因为，

则将函数的图象向上平移一个单位可得到函数的图象，

则C正确，D错误.

故选：BC.

10．已知等比数列的公比为，且，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由等比数列的通项公式可得，，，，再代入四个选项，结合基本不等式和一元二次不等式的性质得到答案.

【详解】因为等比数列的公比为，且

所以，，，，

因为，故A正确；

因为，当时式子为负数，故B错误；

因为，故C正确；

因为，存在使得，故D错误.

故选：AC

11．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，下面关于的判断正确的是（    ）

A．是函数的最小值 B．的图像关于点对称

C．在上是增函数 D．的图像关于直线对称.

【答案】ABD

【解析】A，,可判断；

B，由偶函数的定义和条件可判断；

C，利用在上是减函数、是偶函数、周期函数可判断；

D，,可判断.

【详解】A，,，

是周期为的周期函数，又在上是减函数，在上是偶函数，所以在是增函数，所以是函数的最小值，正确；

B，由，所以关于点中心对称，正确；

C，又在上是减函数，在上是偶函数，所以在是增函数，是周期为的周期函数，所以在上是减函数，错误；

D，,，的图像关于直线对称，正确.

故选：ABD.

【点睛】对于抽象函数，要灵活掌握并运用函数的图象与奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法.

12．已知函数，是的导函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，在单调递增

B．当时，在处的切线为x轴

C．当时，在上无零点

D．当时，在存在唯一极小值点

【答案】ACD

【分析】当时，，求导判断函数的单调性可知A选项正确；由导数的几何意义求得函数在处的切线方程为：，故B选项错误；当时，判断导函数的单调性及特殊值，进而判断导函数的零点问题可判断C选项；当时，判断导函数在区间的正负，得到原函数的单调性，最后判断函数在区间上有极小值，从而判断D选项.

【详解】当时，，则，

因为当时，，

所以恒成立，所以函数在单调递增，故A选项正确；

，，

故在处的切线方程为：，故B选项错误；

当时，，所以，

令，则，

所以在上单调递增，

即在上单调递增，

所以，所以在上无零点，故C选项正确；

当时，在单调递增，

又，

而，

由零点存在定理得，存在唯一，使得，

当时，，所以函数在上单调递减，

当时，，所以函数在上单调递增，

从而在存在唯一极小值点，故D选项正确；

故选：ACD.

【点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．

(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

三、填空题

13．已知函数，若，则___________．

【答案】3

【解析】分类讨论，分别令，，求得后，继续将作为函数值求自变量.

【详解】由题意，当时，，当时， ，

又，

则，可得，再令，得，符合；

故答案为：.

【点睛】本题考查已知分段函数的函数值求自变量，考查分类讨论的思想，是基础题.

14．已知函数只有一个零点，则__________．

【答案】0

【分析】先判断函数是偶函数，再由求解.

【详解】解：因为，

所以函数是偶函数，

又因为只有一个零点，

所以，

故答案为：0

15．已知，则的单调递增区间为__________．

【答案】和

【分析】根据三角恒等变换公式得到，再根据三角函数的性质求单调区间即可.

【详解】由题可知

=，

令，解得，，

令，解得，，

所以在（）单调递增，

在（）单调递减，

所以在单调递增，单调递减，单调递增，

因为，所以在和单调递增.

故答案为：和.

16．已知数列，数列是递增数列，且每一项都是正整数，设集合，，且．若将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为，其中，则__________．

【答案】7924

【分析】确定集合中元素形式后，得出集合中元素是由正整数去掉集合和集合中的元素构成，因此先估值一个数，然后确定前150个正整数中有集合中的97个元素，从而可得后面的，然后利用等差数列的前项和公式用简接法求和．

【详解】，，

由题意集合中的元素是由正整数去掉集合和集合中的元素构成，

先估值一个数，前150个正整数去掉集合中的元素还有100个，但其中还有4，16，64属于集合也应去除，而中另外的元素2，8，32，128也属于集合已经去除，因此前150个正整数中有集合中的前97个元素，从而，152属于集合A被去除，

前154中正整数中有51个数属于集合，

．

故答案为：7924.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合的定义，解题关键是确定集合中的元素，由集合中元素的构成特征选取求和方法．

四、解答题

17．平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足．

(1)求的值；

(2)已知的最小值为，求实数的值．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，然后可知；

（2）根据平面向量的坐标运算表示出函数的解析式，化简后讨论可得.

【详解】（1），

．

（2），

,

又，所以

当时，当时，取最小值1与已知相矛盾；

当时，当时，取最小值，得（舍），

当时，当时，取得最小值，得，

综上所述，为所求．

18．已知正数数列中，，向量，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前项和，求满足的最小值.

【答案】（1）（2）6

【解析】（1）根据向量垂直对应的数量积为得到之间的关系，由此判断出为等比数列，从而通项公式可求；

（2）先根据等比数列求和求解出，然后根据的单调性以及取值情况，分析出的取值范围，从而的最小值可求.

【详解】（1），

即

，

，

∴数列是首项为1，公比为3的等比数列

.

（2）

.

随着的增大而增大，

所以的最小值是6.

【点睛】本题考查向量的数量积与数列的综合，涉及到根据递推公式求解通项公式以及根据数列单调性求解参数，属于综合型问题，难度一般.

19．已知函数（）．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数在上恰有两个零点，求函数在上的最小值．

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析

(2)

【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解，

（2）根据第一问可知的单调性，进而可判断在上恰有两个零点 ，满足，根据零点存在性定理即可列不等式求解.

【详解】（1）由题意得．   

当时，由，函数在上单调递增．

当时，令,令或

故函数在上单调递减，在和上单调递增．  

当时，令，令或

函数在(k，4)上单调递减，在，上单调递增．

（2）当或时，函数在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点．

当时，函数在(0，k)上单调递增，在(k，3)上单调递减．

要使函数在(0，3)上有两个零点，则需满足：

且 解得．

∴．

又，

∴当时，；当时，．

又 ，∴

20．在①；②；③这三个条件中任选一个，

补充在下面问题中.

问题：在中，内角的对边分别为，_________，，点是线段上一点.

(1)若，求的值；

(2)若，且，求的面积.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）若选①，则可得，然后利用余弦定理可求出角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，若选②，则由已知条件结合正弦定理可求得，再求出，再利用三角函数恒等变换公式可求出，角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，若选③，可得，结合余弦定理化简得，由已知条件可得，然后利用余弦定理可求出角，然后在和分别利用正弦定理，两式相比可求得结果，

（2）由已知可得，两边平方化简可得，再结合，可求出的值，从而可求出三角形的面积

【详解】（1）若选①，，

，

∵，，

∵，所以，

在中，由正弦定理得，，即①

在中，由正弦定理得，，即②，

因为，所以，

所以.

若选②

由，而

，

∵，，

∵，所以，

在中，由正弦定理得，，即①

在中，由正弦定理得，，即②，

因为，所以，

所以.

若选③，

由，

∴，化简得，

∵，∴

，

∵，，

∵，所以，

在中，由正弦定理得，，即①

在中，由正弦定理得，，即②，

因为，所以，

所以.

（2）∵，

∴，

∴，

∴，

，而

.

21．已知数列的前项和为，满足：．

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若，令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2)或

【分析】（1）由与的关系可得，当时，.构造时的式子，可推出，根据等差中项可得到数列为等差数列；

（2）根据，可推得，，令，进而表示出，证明是递减数列，推出，解出即可.

【详解】（1）当时，由，，

得，即①

所以，当时，②

①-②，得当时，，即有.

是等差数列．

（2）由于，，所以，，

所以，，

令，则，

所以

所以是递减数列，

由题意，，解得，或．

22．已知函数，当时，．

(1)求的取值范围；

(2)求证：（）．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由导数法对、分类讨论是否满足即可；

（2）由（1）结论，当时，恒成立，即可得，即可列项得，

构造，由导数法证，则有，即，最后结合对数运算性质即可证

【详解】（1）由题意得．

令，则．

∴函数在区间上单调递增，

则函数的最小值为．

①当，即时，可得，

∴函数在上单调递增．

又，∴恒成立．

②当，即时，函数的最小值为<0，

且存在，当时，．

又，∴当时，，

这与时，相矛盾．   

综上，实数a的取值范围是．

（2）由（1） 得当时，不等式恒成立，

∴．

令，得．  

∴．  

令，则，

时，，为上的增函数；

时，，为上的减函数；

∴，则．

∴，   

∴

=

<=

．

∴．

【点睛】方法点睛：证明数列累乘不等式，可通过不等式两边取对数，转换成累加不等式的证明，接着一般可结合题中结论，通过对数列通项放缩，达到证明目的