2023届山东省菏泽市高三上学期期中数学试题含解析

 2023届山东省菏泽市高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别解出集合A，B，然后求交集运算即可.

【详解】，，

所以，.

故选：C.

2．已知，则“”是“”的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由题意可以结合不等式的性质，充要条件的判断即可得到答案

【详解】先证充分性：，有，且，得

，解得或，明显地，或成立，则不一定成立；充分性不成立；

再证必要性：成立，则必有或成立，必要性成立；

故选：B

3．里氏震级是由美国地震学家里克特于1935年提出的一种震级标度．它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式计算出来的震源处地震的大小．目前世界上已测得的最大震级为里氏8.9级（1960年智利大地震）．里氏震级的计算公式为，其中，A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），5级地震给人的震感已比较明显，则里氏7.5级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍数是（    ）．（参考数据：．）

A．79 B．158 C．316 D．632

【答案】C

【分析】结合已知条件，利用对数运算以及指数和对数的互化即可求解.

【详解】不妨设里氏7.5级地震的最大振幅为，5级地震的最大振幅为，

所以，，

由两式相减可得，，

故，

故里氏7.5级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的316倍

故选：C.

4．若正数x，y满足，则的最小值是（    ）．

A．3 B．6 C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得，即可得到，再利用基本不等式计算可得.

【详解】解：因为正数满足，所以，

所以，当且仅当，即时，等号成立.

故选：B

5．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】配角，根据诱导公式和二倍角公式解答即可.

【详解】因为，所以，

则.

故选：D.

6．已知函数，且，则实数a的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，由定义证为奇函数，由常数分离可得为增函数，

即可将，结合奇偶性及单调性可得，即可求解

【详解】令，由得为奇函数，又为增函数，

由，即，解得.

故选：B

7．设，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将a，c变为与b相同的形式，构造函数，通过对函数求导，得到单调性，判断大小关系.

【详解】∵，，

令，则，，，

，当时，，

即在上单调递增.

∵，

∴，

即.

故选：D.

8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆面积与面积之比的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得，设外接圆半径为，则外接圆面积为，面积为，所以，由三角函数的性质求出的最大值，即可求出答案.

【详解】由可得：，

所以，

因为，所以，所以，

所以或，则或（舍去），

设外接圆半径为，

则外接圆面积为：，

面积为

所以，

而

，

因为，所以，

，

当时，即时，

.

故选：B.

二、多选题

9．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】推导出，，的符号不确定，利用不等式的基本性质可判断AB选项；取可判断C选项；利用函数的单调性可判断D选项.

【详解】因为，，则，所以，，，的符号不确定.

对于A选项，由不等式的性质可得，A对；

对于B选项，由不等式的性质可得，B错；

对于C选项，若，则，C错；

对于D选项，构造函数，则，

函数在上为增函数，在上也为增函数，

且函数在上连续，故函数在上为增函数，

因为，则，即，D对.

故选：AD.

10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）．

A．

B．在区间单调递减

C．在区间上有且仅有2个零点

D．将的图象向右平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

【答案】BC

【分析】根据函数图象，求出解析式，然后逐项分析函数性质即可.

【详解】由图象可知，，所以，.

又在处有最大值，且，

则有，且有.

则，又，所以.

所以，，.

所以，.

则，，A项不正确；

当时，，在上单调递减，则在区间单调递减，B项满足；

当时，，在内有两个零点，则在区间上有且仅有2个零点，C项正确；

将的图象向右平移个单位长度后，得到为一个偶函数，D项不正确.

故选：BC.

11．若，，则下列选项正确的有（    ）．

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】先把指数式化为对数式，求出的值，然后利用对数函数的性质逐个分析判断即可.

【详解】由，得：，，

因为，

所以，故A正确；

，所以，故，故B不正确；

，

所以，所以C正确；

因为，所以等价于，

即，

因为，即，所以，即，

而，

所以成立，所以，故D正确.

故选：ACD.

12．已知函数，，设方程的3个实根分别为，，，且，则的值可能为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用导数研究的单调性、极值及区间值域，由题设可知在上必有两个不等的实根(假设)且，结合的性质有且，，进而求目标式的值，即可确定答案.

【详解】由题设，的定义域为，且，

∴当时，，即递减；当时，，即递增.

∴，又在上逐渐变小时逐渐趋近于0，当时且随趋向于0，趋向无穷大.（如图2）

∴的图象如图1、图2：

图1

图2

∵的定义域为，由可得：在上必有两个不等的实根

 (假设)且，

∴令，要使的3个实根，则

、，即，可得.

∴由知：，，

∴.

故选：BC.

【点睛】首先应用导数研究的性质，根据有3个实根，则在上必有两个不等的实根，结合的值域求m的范围且、，即可求目标式的范围.

三、填空题

13．命题：“，”为假命题，则的取值范围是_________．

【答案】

【分析】由“，”为假命题得到“，”为真命题，然后分类讨论和两种情况，列不等式求解即可.

【详解】“，”为假命题则“，”为真命题，

①当时，，成立；

②当时，，解得；

综上所述，.

故答案为：.

14．已知函数，则______．

【答案】

【分析】先求导函数，解出的值，代入函数即可求得.

【详解】由已知，，则

所以，，

所以，.

故答案为：.

15．已知函数，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用导数的几何意义以及方程的根与函数图像之间的关系，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，已知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点，利用，得到关于t的函数，分离求导，即可求解.

【详解】设切点坐标为，则.

由，可得，

所以切线方程为，整理得，将代入可得，

，，

则在和上单调递减；在上单调递增.

所以，在处有极小值，在处有极大值.

易知当时，（如图所示）

所以，当时，函数有3个零点，

即，当时，过点可作3条与曲线相切的直线.

故答案为：.

四、双空题

16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．

（1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式______；

（2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则______．

【答案】     （答案不唯一）    

【分析】（1）由定义知，将奇函数向左平移2个单位即可得到的解析式；

（2）根据定义，得出恒成立，即可解出.

【详解】（1）由定义知，因为关于点成中心对称，则有为奇函数.则函数可以看作由向左平移两个单位得到.

可令，则；

（2）函数的图象关于点对称，根据定义可得，

函数应为奇函数，

，

有奇函数定义知，，

则有，恒成立，

所以，   解得

所以，.

故答案为：（答案不唯一）；-4.

五、解答题

17．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，．

(1)求A；

(2)D为BC边上一点，，且，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理角化边，化简求出，即可得到；

（2）在和中，利用正弦定理构造等量关系，得到，再将a表示出来，即可求得结果.

【详解】（1）由得，

有正弦定理得，即，

由余弦定理，得，

由于，所以．

（2）由（1）可知，所以，

根据正弦定理，在中，，

在中，，

又，所以，

又，所以，

所以由余弦定理可得，

则，所以．

18．已知函数．

(1)解关于x的不等式，；

(2)若，，，求实数n的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】(1)结合指数函数单调性并对参数进行分类讨论即可求解；(2)结合复合函数单调性以及基本不等式即可求解.

【详解】（1）由，

得，即．

当即时，不等式恒成立，

则的解集为；

当即时，，

则的解集为；

当即时，，

则的解集为.

综上所述，当时，不等式的解集是；

当时，不等式的解集是；

当时，不等式的解集是．

（2）由和是增函数，

所以是增函数，

因为是减函数，

所以是减函数，则是减函数．

由可得，

，

所以，所以能成立，

又，当且仅当时，即时，不等式取等号，

即对恒成立，

由一次函数性质可知，，解得，

所以n的取值范围是．

19．已知函数．

(1)在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数m的值唯一确定，并求出使函数在区间上最小值为时，a的取值范围；

条件①：的最大值为1；

条件②：的一个对称中心为；

条件③：的一条对称轴为．

(2)若，在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围．

【答案】(1)见详解

(2)

【分析】（1）先化简，分别选择3个条件，逐个分析，求得m 的值，代入函数，即可解出a的取值范围；

（2）代入，根据得到.因为能盖住的最小圆为的外接圆，根据正弦定理，可求出a的值，将转化为用三角函数表示，借助三角函数求出最值.

【详解】（1）

，

选条件①：因为的最大值为1，所以，即，

此时实数m的值唯一确定，满足题意．

当时，，

要使最小值为，则，解得，

所以函数在区间上最小值为时a的取值范围为．

选条件②：的一个对称中心为，则，即，

此时实数m的值唯一确定，满足题意，

当时，，

所以，解得，

所以函数在区间上最小值为时a的取值范围为．

条件③：的一条对称轴为，则无法确定m的值，不满足题意．

（2）当时，，

因为，所以，

因为为锐角三角形，所以，，

所以，故有．

已知能盖住的最小圆为的外接圆，由面积为，则半径，

设的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．

由正弦定理，

所以，，

，

因为为锐角三角形，所以，解得．

所以，则，

故，所以的取值范围是．

20．已知函数，．

(1)若，求的极值；

(2)若在区间内有零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）当时，对求导，得出的单调性，即可求出的极值；

（2）方法一：分类讨论，和，得出的单调性，利用单调性列出不等式即可求出实数a的取值范围；方法二：分离参数，构造新函数，研究的单调性，求出在的值域，进而求出实数a的取值范围.

【详解】（1）由函数，则，．

当时，令得，

当时，，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的极小值为，无极大值．

（2）方法一：由，，

①当时，，即恒成立，

所以在上单调递减，

要使在内有零点，则，即，

所以．

②当时，令得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

此时，所以需，

所以．

③当时，，即恒成立，

所以在上单调递增，

此时，所以恒成立，不符合条件．

综上可知，a的取值范围为．

方法二：令得，

设，，则，

令，得，

在上递增，在上递减，

且，，，

所以．

21．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药时，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．现有两种清洗方式：

①用x个单位的水冲洗，冲洗后蔬菜上农药残留量与本次冲洗前残留量之比为函数；

②用x个单位的水充分浸泡，浸泡后蔬菜上农药残留量与本次浸泡前残留量之比为函数．

(1)试规定的值，并解释其实际意义；

(2)试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；

(3)设，，现有m个单位的水清洗蔬菜，可选择冲洗，也可以选择把水均分成两份后浸泡两次，哪种方案清洗后蔬菜上农药残留量比较少？请说明理由．

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】（1）没有用水清洗时，蔬菜上的农药残留量没有减少，易得；

（2）根据题意写成条件和性质即可；

（3）求出两种情况的残留的农药比例，作差即可判断.

【详解】（1），表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药残留量没有减少．

（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：，，

在上单调递减，且．

（3）若用m个单位的水进行冲洗，则残留的农药比例为，

若将水均分成两份进行浸泡，则残留的农药比例为，

所以，

当，即时，，浸泡两次后农药残留量较少，

当，即时，，冲洗与浸泡两次后农药残留量相等，

当，即时，，冲洗后农药残留量较少．

22．已知函数．

(1)若，讨论函数的单调性；

(2)若时，，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据函数的导数讨论函数的单调性.先求出导函数，讨论参数范围，得到函数的单调区间；（2）由不等式在时恒成立，可以将参数分离得到，构造函数，通过导函数求函数在上的最小值来求得；也可将其变形得到，进而分析求解.

【详解】（1）函数的定义域为R，由．

得．

若，则，函数在R上单调递增．

若，则时，，

即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

若，则时，时，

即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

综上所述，当，则，函数在R上单调递增；当，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

（2）方法一：当时，，

所以，

令，则；

令，则，

所以在上单调递增，

又，，

所以，使得，

则当时，，即；

当时，，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．

由得：，则，

所以，

又在上单调递增，

所以，，所以，

所以，解得，即实数a的取值范围为．

方法二：

先证明．设，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，当且仅当时等号成立，

设，则，

当且仅当时等号成立，

设，则在上单调递增，

且，，

所以存在使成立，所以，

所以，．

【点睛】在根据不等式在区间上恒成立求解参数时，可以将参数分离构造不等式恒成立，将不等式另一边构造为函数，通过导函数求函数在区间上的最小值来求得.