2023届山东省青岛市青岛第二中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届山东省青岛市青岛第二中学高三上学期期中数学试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届山东省青岛市青岛第二中学高三上学期期中数学试题

一、单选题
1．已知复数z满足，则（    ）
A． B． C．2 D．5
【答案】B
【分析】根据共轭复数将复数z表示出来，再通过复数平面与复数的模的关系即可求出答案.
【详解】由题意，复数z满足，则
故选:B．
2．设非空集合若，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可知，进而可得，即得.
【详解】由题可知，，
则，
解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：C.
3．已知公差为的等差数列中，、、成等比数列，若该数列的前项和则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求出的值，再由可求得正整数的值.
【详解】由已知，则，解得，
故，因为，解得.
故选：B.
4．已知正数a，b，c满足成等差数列，则下列两条直线.的位置关系是（    ）
A．垂直 B．重合 C．平行 D．相交
【答案】B
【分析】由直线与直线的位置关系判断，
【详解】由题意得，得，
故，即，两直线重合，
故选：B
5．下列说法正确的是（    ）
A．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，平均数和方差都不变
B．设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强
C．在一个2×2列联表中，由计算得K²的值，则K²的值越小，判断两个变量有关的把握越大
D．若 ，则
【答案】D
【分析】对A根据方差与平均数定义即可判断，对B利用线性相关定义则可判断，对C根据的含义即可判断，对D对于正态分布的特点，即可求出区间概率.
【详解】对于A,方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变,但平均数变化，故A错误，
对于B,具有线性相关关系的两个变量,的相关系数为,则越接近于,和之间的线性相关程度越强,故B错误,
对于C,在一个列联表中,由计算得的值,则的值越大,判断两个变量有关的把握越大,故C错误,
对于D，,

故D正确.
故选：D.
6．“角a与β的终边关于直线对称”是“”的（    ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解.
【详解】角与的终边关于直线对称,则,
.
反之，当时，则，从而角a与β的终边不一定关于直线对称.
故“角与的终边关于直线对称”是“”的充分不必要条件.
故选：C
7．已知，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出的值，即可得解.
【详解】因为，则，因为，则，可得，
因为，则，，
所以，，，
所以，
，
所以，.
故选：A.
8．已知椭圆  过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于A，B两点，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当 取最小值时，椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用斜率公式求得，结合在椭圆上，化简可得，令，利用导数求得使函数取最小值的，根据离心率定义即得.
【详解】由题可知，设，则，
而，则，
又，
令，则，
所以，
由，可得，函数单调递减，由，可得，函数单调递增，
故，即时， 取最小值，
此时.
故选：C.

二、多选题
9．已知，且 ，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由题可得，根据对数的性质判断A，利用基本不等式判断B，根据指数函数、幂函数的单调性判断C，由基本不等式“1”的代换判断D.
【详解】因为，且 ，
所以，即，则，A正确；
由，又，可得，B错误；
由知：，C错误；
，又，
∴，D正确.
故选：AD.
10．已知向量   则下列命题正确的是（    ）
A．若，则 B．存在θ，使得
C．与向量共线的单位向量是 D．向量模的最大值是
【答案】BD
【分析】根据平面向量的坐标运算性质，逐项进行检验即可求解.
【详解】对于选项：因为，所以，
所以得到：，故选项错误；
对于选项:当时，，此时与同向共线，
所以成立，故选项正确；
对于选项：与向量共线的单位向量为，有两个，故选项错误；
对于选项：，
其中，
所以，所以当时， 取最小值，，
所以向量模的最大值是,故选项正确.
故选：BD.
11．若点P是棱长为2的正方体表面上的动点，点M是棱的中点，则（    ）
A．当点P在底面内运动时，三棱锥 的体积为定值
B．当时，线段长度的最大值为4
C．当直线AP与平面所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D．直线DM被正方体 的外接球所截得的线段的长度为
【答案】ACD
【分析】对A找到高不变，底面为定值，则体积不变，求出相关高与底面积即可，对B找到点轨迹是矩形（除点）与重合时最大,即可计算，对C找到点的三次轨迹，第三次轨迹为四分之一圆，计算即可，对D建立空间直角坐标系，利用点到直线距离公式即可计算.
【详解】对A选项，根据正方体上下底面平行得到平面的距离始终为2，因为为的中点，故，故，故，故A正确；

对于B，分别取中点,,连接,,
首先与平行且相等,与平行且相等,因此与平行且相等,则是平行四边形，

在同一平面内,正方形,易得

，
所以(为,的交点),
所以,又平面平面,
所以平面,
所以平面,而,则平面
所以点轨迹是矩形（除点）与重合时最大,为,
故B错误，
对于C，直线与平面所成角为,若点在平面和平面内，最大,不成立;
在平面内,点的轨迹是,
在平面内,点的轨迹是,
在平面时,作平面,如图,

作平面，，

点的轨迹是以为圆心,以2为半径的四分之一
点的轨迹长度为,
点的轨迹总长度为,故C正确;
对于D选项，首先作出如图所示图像，shouxian外接球半径，
直线与球面的一个交点为，另一交点设为，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，首先求出圆心到直线的距离，因为棱长为2，且为中点，故,,,故,
,，故圆心到直线的距离，故线段,
故D正确.

故选：ACD.
【点睛】方法点睛：空间中点到直线的距离公式：
设某空间直线的方向向量为过点;空间上的一点令，即表示由点指向点的向量.
观察
而与要求的距离构成以即为斜边的直角三角形.故
.
12．已知函数 若函数有四个不同的零点：，且,则以下结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】设，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B的正误；分析可知，结合基本不等式可判断A的正误；构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可判断CD的正误.
【详解】设，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且当时，，
作出函数与的大致图象，

由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，B对；
因为，则，由图可知，
则，即，
所以，，A对；
令，其中，由图可知，
，
当时，，，则，此时函数单调递减，
所以，，即，
因为，，且函数在上单调递减，
所以，，则，故，C错D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：函数零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.

三、填空题
13．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于______
【答案】
【分析】由二项式系数和可求得的值，然后在二项式中令，可求得所有项的系数和.
【详解】的二项式系数和为，可得，
所以，的所有项的系数和为.
故答案为：.
14．已知圆C:，直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，则满足上述条件的直线l共有__________________条.
【答案】4
【分析】画出圆的图像，根据图像观察可得答案.
【详解】由已知圆C：，圆心，半径
作出圆的图像如下：

根据图像观察可得：存在4条直线与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等
其中是过坐标原点的直线，是斜率为-1的直线
故答案为：4.
15．已知.若曲线存在两条过点的切线，则的取值范围是___________.
【答案】或
【分析】求导函数设切点坐标为，写出切线方程并代入点得，由于有两条切线，故方程有两非零的根，结合判别式即可求解．
【详解】由题得，设切点坐标为，
则切线方程为，
又切线过点，可得，
整理得，
因为曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根且
若，则，为两个重根，不成立
即满足，解得或．
故的取值范围是或
故答案为：或
16．在三棱锥 中，底面ABC是边长为2的正三角形，，点M为的垂心，且平面，则三棱锥的外接球的表面积为_________.
【答案】
【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，得，则可得是等边三角形，设外接球心为O，则O在CM上，半径为r，在中列方程求出半径，进而即得.
【详解】如图，连接并延长，交于点与交于点，则，

因为平面平面，
所以，
因为 平面，
所以平面，平面，
所以，
因为是正三角形，故为中点，
又，所以是等边三角形，，
易得，，
所以，
设外接球心为O，则O在CM上，半径为r，
在中有，
解得，
故外接球表面积为.
故答案为：.

四、解答题
17．在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理可得，再利用化简，从而求出角；
（2）在中由余弦定理建立等式，再利用得到另一等式，进而求出的三边，由此求出其面积．
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
因为，则，所以，即，故，
又，所以，故.
（2）由题意设，，，由（1）得，
在中由余弦定理可得，①，
因为，所以，
即②，
联立①②，解得（负值舍去），
则，，是等边三角形，
所以，即的面积是．
.
18．在①；②，，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
已知正项数列的前项和为，，  ，数列满足 .
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)条件选择见解析，答案见解析

【分析】（1）令，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式；
（2）选①，可得出，利用错位相减法可求得；
选②，求得，利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）解：当时，，即，解得或（舍）.
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
，，则，
所以，数列为等差数列，且该数列的首项为，公差为，
因此，.
（2）解：若选①，则，则，
所以，，
上述两个等式作差可得
，
因此，；
若选②，，
所以，.
19．某足球俱乐部在对球员的使用上总是进行数据分析,在2022年度赛季中,为了考查甲球员对球队的贡献度,现作如下数据统计:

球队胜
球队负
总计
甲参加

8
30
甲未参加
8


总计

20


(1)求r,s的值,据此能否有95%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;.
(2)根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为:0.3、0.5、0.1、0.1,当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为:0.4、0.2、0.6、0.2.则:
①当他参加比赛时,求球队某场比赛输球的概率;
②当他参加比赛时,在球队输了某场比赛的条件下,求乙球员担当前锋的概率;
③如果你是教练员,应用概率统计有关知识,该如何合理安排乙球员的参赛位置?
附表及公式:
P(K²≥k)
0.15
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828


【答案】(1),有把握
(2)①,②,③守门

【分析】(1)根据列联表中一些数据，将表格填写完整,计算出即可;
(2) ①根据独立事件的概率公式,列出式子计算结果即可;
②根据条件概率的计算公式列出式子计算结果即可;
③分别求出球队输了比赛的条件下,乙担任各个位置的概率,比较大小,判断合适位置即可。
【详解】（1）解:由题知,,
将表格填完整如下所示:

球队胜
球队负
总计
甲参加
22
8
30
甲未参加
8
12
20
总计
30
20
50

,
,
所以有95%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;
（2）①由题知,记“乙球员参加比赛,比赛输球”为事件,
,
故乙球员参加比赛,比赛输球的概率为0.3;
②由题知,记“乙球员担当前锋”为事件,
则,
,
故球队输了比赛的条件下,乙球员担当前锋的概率为0.4;
③记“乙球员乙球员担当中锋”为事件,
记“乙球员乙球员担当后卫”为事件,
记“乙球员乙球员担当守门”为事件,
有,,
,
,
,
所以应该安排乙球员担当守门,赢面大些.
20．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍”   (如图2)。

(1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）取线段中点，连接、，可得四边形是平行四边形，然后线面平行的判定定理即得；
（2）由题可得即为二面角的平面角，以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，求解平面ABE和平面OAB的一个法向量，利用空间向量夹角公式即得．
【详解】（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，
由图1可知，四边形EBCF是矩形，且，
∴O是线段BF与CE的中点，
∴且，
在图1中且，且．
所以在图2中，且，
∴且，
∴四边形AOHG是平行四边形，则，  
由于平面GCF，平面GCF，
∴平面GCF．
（2）由图1，，，折起后在图2中仍有，，
∴即为二面角的平面角．
∴，
以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图，

设，则、、，
∴，，
易知平面ABE的一个法向量，
设平面OAB的一个法向量，
由，得，取，则，，
于是平面的一个法向量，
∴，
∴平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为．
21．已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若   且   恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)极大值为，极小值为；
(2)．

【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数的正负求出函数的极值情况；
（2）不等式变形为，构造，求导后得到，对分类讨论，求出每种情况下的实数a的取值范围，即得.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则
令，得，或．
当x变化时，的变化情况如下：
x






+
0
-
0
+

单调递增

单调递减

单调递减

因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；
（2）因为等价于，
令，则
，
（ⅰ）若，对于函数，有，
所以恒成立，
故当时，不等式恒成立；
（ⅱ）若，
当时，，所以，
故不等式恒成立；
现探究当时的情况：
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，
要使不等式成立，只需，
解得：，
故当时，不等式恒成立；
（ⅲ）若，
当时，，所以，
故不等式恒成立；
现探究当时的情况：
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，
要使不等式成立，只需，
即．
设，则化为，
因为，所以在上为增函数，
于是，由及，得，
故当时，不等式恒成立；
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
22．已知等轴双曲线    的右焦点为，过右焦点F作斜率为正的直线l，直线l交双曲线的右支于P，Q两点，分别交两条渐近线于M，N两点，点M，P 在第一象限，O是原点.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)设的面积分别为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）已知等轴和焦点坐标，可求出双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线l斜率的取值范围.
（2）由直线与渐近线方程联立可求出M，N两点的坐标，再求出P到两条渐近线的距离，整体代入求出，分割利用韦达定理结合三角形面积公式，可求得，进而得到关于t的函数关系式，即可得到答案.
【详解】（1）已知双曲线等轴，可设双曲线方程为，因为右焦点为，故，由得，所以双曲线方程的方程为，设直线l的方程为，联立双曲线方程得， ，解得
即直线l斜率的取值范围为.
（2）设，渐近线方程为，则P到两条渐近线的距离满足，，而，，同理，所以，由，，所以，，