2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期期中数学试题含解析

2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．函数的图象在点处的切线方程为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】f′(x)＝，则f′(1)＝1，

故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.

故选C

2．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ）

A．

B．

C．对任意正数，

D．对任意正数，

【答案】C

【分析】根据正态分布的密度曲线的性质及意义判断即可

【详解】解：由正态密度曲线的性质可知，

、的密度曲线分别关于、对称，

因此结合所给图像可得，

；

又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，

所以，

；

故A、B错误．

由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数，

．

故C正确，D错误．

故选：C．

3．十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于，，的方程没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（    ）

（1）存在至少一组正整数组是关于，，的方程的解；

（2）关于，的方程有正有理数解；

（3）关于，的方程没有正有理数解；

（4）当整数时关于，，的方程有正实数解

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】当整数时方程没有正整数解，（1）错误，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确，当，满足条件，（4）正确，得到答案.

【详解】当整数时，关于，，的方程没有正整数解，故方程没有正整数解，（1）错误；

没有正整数解.即，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确；

方程，当，满足条件，故有正实数解，（4）正确.

故选：C

4．若函数关于的不等式的解集为且则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意得在上，函数的图象应在函数的图象的下方，分类讨论，利用数形结合的方法研究即可求解

【详解】 ，

由题意得在上，函数的图象应在函数的图象的下方．

①当时，显然不满足条件．

②当时，函数的图象是把函数的图象向左平移个单位得到的，

结合图象(右上方)可得不满足函数的图象在函数的图象下方．

③当时，如图所示：

在为减，在为增，

的图象由的图象向右平移的单位得到，

当时的图象在的图象下方，

发现只需当时成立即可满足条件，

即 ，

结合 化简得 故 ，

解得，故此时的范围为．

综上可得的范围为．

故选：A．

二、填空题

5．设集合，，则______．

【答案】

【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式可求得集合，由交集定义可得结果.

【详解】由得：，则；

由得：，解得：，则；

.

故答案为：.

6．若复数（为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案.

【详解】解：，

因为复数（为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

7．直线的倾斜角______．（用反三角表示）

【答案】

【分析】由斜率的定义求解即可

【详解】将直线的方程化为斜截式得：，

所以直线的斜率为，

因为，

所以，

所以倾斜角为钝角，

所以，

故答案为：

8．在的展开式中常数项是________________.（用数字作答）

【答案】45

【详解】(x4+)10的通项为

=()r=,

令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为

==45.

9．已知等差数列前15项的和=30，则=___________．

【答案】6

【详解】试题分析：∵等差数列的前15项的和,∴，而．

【解析】等差数列的性质．

10．函数的单调递减区间为______．

【答案】

【分析】由条件利用正弦函数的单调性，令，求解即可．

【详解】令，，

求得，，可得函数的减区间为．

故答案为：.

11．若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为______．

【答案】2

【分析】直接根据导数的定义计算得到答案.

【详解】，故.

故答案为：2

12．已知抛物线上的两个不同的点，的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为______．

【答案】.

【分析】设直线的方程为，根据题意结合韦达定理可得，联立方程，再次里由韦达定理求得，从而可求出，即可得解.

【详解】解：由题意，直线的斜率存在，

设直线的方程为，

因为点，的横坐标恰好是方程的根，

所以，

联立，消得，

则，

所以，所以，

经检验，符合题意，

所以直线的方程为.

故答案为：.

13．从，，，，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______．

【答案】

【分析】利用条件概率公式计算即可.

【详解】解：设事件表示“甲取到的数比乙大”，事件表示“甲取到的数是5的倍数”，

则甲取到的数是5的倍数，甲取到的数大于乙取到的数的概率为，

，

，

所以，

即甲取到的数大于乙取到的数的概率为.

故答案为：.

14．在中，角的对边分别是，．若，则边的值为______．

【答案】##

【分析】利用二倍角公式化简已知等式得到，平方后可求得，结合的范围可得；将已知等式整理为，由此可得，代入余弦定理中即可求得结果.

【详解】由得：，

，

，，，，

即，，

，又，，则，

，

由得：，

，解得：，，

由余弦定理得：，

.

故答案为：.

15．设向量，满足，，若，，，则的最小值为______．

【答案】

【分析】先由向量的数量积判断出为等边三角形，再计算出的表达式，由，得出，进行代换，最后转化为点与点之间的距离，即可求得.

【详解】解：，

所以，

解得：，

即，

所以为等边三角形，

则，

，

即，

故

，

上式可转化为求点与点之间的距离，

令，，，

即，

又因为的最小值为，

当且仅当重合时，取等号，

所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将转化为求点与点之间的距离，再根据距离公式进行求解.

16．已知，则的最小值为 ______．

【答案】

【分析】根据已知条件，将代入，将问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题.

【详解】因为，

，

所以=，如图所示，当三点共线时，距离最短.所以最小值为.

故答案为：

三、解答题

17．如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径．

(1)计算球的体积：

(2)若是截面小圆上一点，，，分别是线段和的中点，求异面直线与所成的角（结果用反三角表示）．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据截面圆的面积求出截面圆的半径，利用勾股定理求得球的半径，再根据球的体积公式即可得解；

（2）连接，证明，则异面直线与所成角的平面角即为或其补角，在中，利用余弦定理即可得解.

【详解】（1）解：由题意可得截面圆的半径，

则球的半径，

所以球的体积；

（2）解：连接，

因为，分别是线段和的中点，

所以，

则异面直线与所成角的平面角即为或其补角，

在中，，则，

在中，，

则，

所以，

即异面直线AC与MN所成的角为．

18．某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.

【答案】（1）A中学至少1名学生入选的概率为.

（2）X的分布列为：

X的期望为.

【分析】(1) A中至少有1名学生入选代表队的对立事件是A中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B中的学生，计算概率后，再用1减，即是所求概率；

(2)6名队员中有3男，3女，所以选4人中，X表示参赛的男生人数，X的可能取值为1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列分布列和求期望.

【详解】(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．

参赛学生全部从B中学中抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－

(2)根据题意得，X的可能取值为1，2，3.

P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.

所以X的分布列为

因此，X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.

【解析】1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.

19．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．

（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5）

（2）见解析

【详解】试题分析：（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.

（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元

∴蓄水池的总建造成本为元

所以即

∴

∴

又由可得

故函数的定义域为

（2）由（1）中，

可得（）

令，则

∴当时，，函数为增函数

当，函数为减函数

所以当时该蓄水池的体积最大

【解析】1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.

20．已知二次曲线．

(1)求二次曲线的焦距和离心率；

(2)若直线与二次曲线及圆都恰好只有一个公共点，求直线的方程；

(3)任取平面上一点，证明：中总有一个椭圆和一条双曲线都通过点．

【答案】(1)焦距为，离心率为

(2)见解析

(3)见解析

【分析】（1）根据椭圆的焦距与离心率即可得解；

（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设方程为，根据直线与圆只有一个交点求出的关系时，再联立直线与曲线方程，结合根的判别式即可得出答案；

（3）分别求出曲线表示椭圆和双曲线时的范围，再将点代入，结合二次函数的性质及零点的存在性定理即可得出结论.

【详解】（1）解：二次曲线为焦点在轴上的椭圆，

，

所以焦距为，离心率为；

（2）解：二次曲线为焦点在轴上的双曲线，

圆的圆心，半径，

当直线的斜率不存在时，圆的方程为或，

在方程中，当时，，

所以直线和与曲线只有一个公共点，

当直线的斜率存在时，设方程为，即，

圆心到直线的距离，

联立，消得，

当，即时，直线与曲线只有一个公共点，

此时，

所以直线的方程为或或或，

当，即时，

则，整理得，

结合，解得或，

所以直线的方程为或，

综上所述直线的方程为或或或或或或或；

（3）证明：当曲线表示椭圆时，，则，

当曲线表示双曲线时，则，

把点代入得，

即，

设，它是关于的二次函数，且图象开口向上，

因为，

，

所以函数在内穿过一次轴，在内穿过一次轴，

即方程一个根在上，一个根在上，

所以中总有一个椭圆和一条双曲线都通过点．

【点睛】第三问转化为函数的零点存在定理是关键

21．由，，，，，，，，，按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中．

(1)若，求的值；

(2)求证：；

(3)求的最大值．

【答案】(1)57

(2)证明见解析

(3)131

【分析】（1）把数据逐个代入，求解可得答案；

（2）利用绝对值和的性质进行求解；

（3）先求这10个数的2倍和3倍数，相对较大的10个数与较小10个数差为最大值.

【详解】（1）因为，所以.

（2）证明：因为

.

（3），，，，，，，，，的2倍与3倍共20个数如下：

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30.

其中较大的10个数之和为203，较小的10个数之和为72，所以，

当时，

，

所以的最大值为.