2023届四川省成都市第二十中学校高三上学期期中数学试题含解析

2023届四川省成都市第二十中学校高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出复数，从而求出复数的共轭复数，即可判断；

【详解】由已知，得，所以，则对应的点为，在第二象限.

故选：B.

2．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由指数函数的性质，求得集合，再结合集合交集的概念及运算，即可求解.

【详解】由函数，当时，可得，即集合，

又由集合，所以.

故选：A.

3．.设向量， ，若共线，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量共线的坐标运算即可.

【详解】因为，， 且共线，

则解得.

故选：A

4．下列叙述中，错误的是（    ）

A．命题“ ， ”的否定是“ ，

B．命题“若 ， 则 ”的逆否命题是真命题

C．已知 ， 则“ ”是“ ”的必要不充分条件

D．函数 是增函数

【答案】D

【分析】根据存在命题的否定是全称命题可判断A；根据逆否命题与原命题是等价命题可判断B；利用充分条件、必要条件的定义判断即可判断C；根据正切函数的单调性可判断D.

【详解】对于A，命题“ ， ”的否定是“ ，，故A正确；

对于B，命题“若，则”是真命题，则其逆否命题是真命题，故B正确；

对于C，当时，函数在上单调递增，若，则，

反之，若，当时，a，b可以都为负数，即不一定成立，

所以“”是“”的必要不充分条件， C正确；

对于D，函数的单调递增区间是，对于，函数在每一个区间内是单调递增函数，而在整个定义域不具备单调性，故D错误.

故选：D.

5．某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：

根据上表得到回归直线方程，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为　　A．8              B．9              C．10              D．11

【答案】C

【分析】根据所给的数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入回归直线的方程，即可求解．

【详解】由题意，可得，

即样本中心点为，代入回归直线方程，解得，

即，

当时，，解得，故选C．

【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，把样本中心代入回归直线方程，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

6．将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个新增便民核酸采样点参加核酸检测相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有（    ）

A．90种 B．540种 C．1620种 D．3240种

【答案】B

【分析】根据分布计数原理，先求出医护人员的安排方案，再求出志愿者的安排方案即可.

【详解】第一步，医护人员的安排方案有种，

第二步，志愿者的安排方案有种，

∴不同的安排方案共有种，

故选：B

7． 中， 已知 、 、 分别是角 、 、 的对边， 且 ， 、 、 成等差数列， 则角（    ）

A． B． C． 或 . D． 或

【答案】D

【分析】根据正弦定理，求得的关系，结合成等差数列分类讨论即可.

【详解】由 ， 利用正弦定理得: ，

即 ，，

，， .

或 .

或 .

又 、 、 成等差数列， 则 ，

由 ，得 .

当 时， ；

当 时， .

或

故选：D.

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式求解即可.

【详解】

故选：D.

9．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 看作是每天的“进步”率都是 ，一年后是 ； 而把 看作是每天“退步”率都是 ，一年后是 . 若“进步”的值是“退步”的值的 倍， 大约经过（    ）天 . (参考数据：，)

A．天 B．天 C．天 D．天

【答案】D

【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解.

【详解】设经过天“进步“的值是“退步”的值的倍.

则 ，即，

故，故，

故大约经过230天.

故选：D.

10．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由正态分布的概率情况求出，然后由二项式定理展开式的通项公式可得答案

【详解】由随机变量，且，则

则

由的展开式的通项公式为：

令，解得，令，解得

所以的展开式中的常数项为：

故选：B.

11．已知定义在上的函数和都是偶函数，当时，，则函数在上的零点个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意得函数的周期为，进而作出函数图像，数形结合求解即可.

【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，即.又因为函数为偶函数，所以，即，

所以函数的周期为.

因为当时，，

所以，，在上单调递增.

作出函数与函数 的图象如图所示.由图可得，交点共有个，

故函数的零点个数为.

故选:D.

12．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用，判断函数值的大小，即可判断选项.

【详解】，，，

设 ，且，，得，

当和时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

因为，且，

所以，即.

故选：D

二、填空题

13．若曲线在点处的切线平行于x轴，则a＝______．

【答案】1

【分析】利用导数的几何意义与平行的性质得到方程，解之即可.

【详解】由已知得，故，即，则.

故答案为：1．

14．函数 的图像中两个相邻的最高点和最低点的坐标分别为，则函数 在区间 上的值域为_______.

【答案】

【分析】由已知条件先求出函数的解析式，在根据所给自变量的范围求函数的值域

【详解】由题意可得: ，

所以，

又，

又，

即，

又 ，所以 ，

即，

又，则，

则，

则

故答案为：.

15．已知函数， 则 ________.

【答案】1

【分析】先化简，验证为定值，即可解出.

【详解】,

因为函数,

所以

，

所以.

故答案为：1.

16．已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．

【答案】

【分析】由条件求，结合基本不等式求其取最大值的条件，由此可得的齐次方程，化简可得双曲线的离心率.

【详解】解：如图，

根据题意，，，

∴，，

设直线的倾斜角为，

∴，

当且仅当时等号成立，

即，，，又

∴，

故答案为：．

三、解答题

17． 的内角，， 所对的边分别为 ， ， ， 已知  ，

(1)若，且 ，求；

(2)若 ，求.

【答案】(1)

(2) 或

【分析】（1）根据正弦定理和三角形面积公式即可求得，.

（2）利用辅助角公式即可求得.

【详解】（1）由正弦定理可得 ， 因为 ，

所以

所以 ，，故.

， ，

由余弦定理，，得 ，

解得 .

（2），故 ， ，

，

，

故 或

18．为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了人，其中男生占总人数的，且只有的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的．学校为了考查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下列联表：

(1)请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；

(2)从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取人，再从这中随机抽取人，若所选名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．

附：，其中．

【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）根据题意求出表中数据，计算卡方值即可判断；

（2）随机变量的取值可以是，，，求出取不同值的概率，即可求出分布列和期望.

【详解】（1）补充列联表如下：

根据列联表中的数据，

，

所以有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联．

（2）抽取的人中，有人不适应寄宿生活，有人适应寄宿生活，

故随机变量的取值可以是，，，

，，，

随机变量的分布列如下：

因此，．

19．如图，已知三棱柱，平面平面，，分别是的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）通过证明、来证得平面，由此证得.

（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量来求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）如图所示，连结，等边中，，

则，

平面平面，且平面平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，

故，

由三棱柱的性质可知，而，故，

且，由线面垂直的判定定理可得：平面，

结合平面，故.    

（2）在底面内作，以点为坐标原点，

方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系

设，则，，，

据此可得：，

由可得点的坐标为，

利用中点坐标公式可得：，由于，故直线的方向向量为：

，

设平面的法向量为，则：

据此可得平面的一个法向量为，

此时，

设直线与平面所成角为，则.

20．设抛物线的焦点为，过焦点作直线交抛物线于，两点．

(1)若，求直线的方程；

(2)设为抛物线上异于，的任意一点，直线，分别与抛物线的准线相交于，两点，求证：以线段为直径的圆经过轴上的定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设出过焦点的直线，再和抛物线联立，最后运用抛物线的定义及韦达定理可求出直线方程；

（2）求出直线，分别与抛物线的准线相交于，两点的坐标，然后根据向量数量积为零建立方程求解即可.

【详解】（1）由已知，得

设直线的方程为，代入，得．

设，，则，．

则，解得，

所以直线的方程为．

（2）证明：设，

则，故直线的方程为．

令，得，所以点．

同理可得，点．

设以线段为直径的圆与轴的交点为

则，．

由题意，知，则，即．

由（1）可得，

所以

解得或，

故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.

21．已知函数 .

(1)若函数 有两个不同的零点， 求实数 的取值范围；

(2)若方程 有两个不等实根 ， ， 且 ，求 的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将函数的零点问题转化为与图象交点个数问题，然后结合的图象求解即可；

（2）将方程的根转化为的根，得到，然后结合（1）得到，令，得到，构造函数，根据的单调性得到，即.

【详解】（1）由题意可知， 有两个不等根，

令，，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，上单调递减，

，，则的图象如下：

∴，解得，

∴实数 的取值范围为 ；

（2），

，

令，在R上为单调递增函数，

由题意有两个不等实根，

即 有两个不等实根，

由（1）可知 ， ，令 ， ，

，

设， ，

令，，所以在上单调递增，

，所以， 为增函数，

，即，，

的取值范围为 .

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线的极坐标方程以及曲线上的动点到直线的距离的最大值；

(2)若与是曲线上的两点，且，求的值.

【答案】(1)，最大值为；

(2).

【分析】（1）首先通过消去参数把曲线的参数方程转化为普通方程，然后再利用公式，把普通方程转化为极坐标方程；设，利用点到直线的距离公式结合三角函数的性质即可求出点到直线的距离的最大值；

（2）设，，利用曲线的极坐标方程结合同角三角函数关系式，诱导公式即可求出结果.

【详解】（1）由，得，两式平方相加，得，

所以曲线的普通方程为，

因为，所以，即，

所以曲线的极坐标方程为.

设，则动点到直线的距离，

当时，取得最大值，且最大值为.

（2）由（1）得，曲线的极坐标方程为.

因为，所以设，，则，

即

，

故的值为.

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若的最小值为，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，等价于，然后分，和三种情况解不等式，

（2）利用绝对值三角不等式可得，得，由，得，所以化简后利用基本不等式可求得答案

【详解】（1）当时，等价于，

当时，，得，

当时，，则，

当时，，则，

综上，不等式的解集为

（2）因为，

所以，得，

因为，所以，

所以

，

当且仅当，即，即时取等号，

所以的最小值为