2022-2023学年山西省大同市高三上学期11月第二次学情调研数学试题含解析

大同市2022-2023学年高三上学期11月第二次学情调研

数学试题

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则等于（    ）

A．  B．  C．  D．

2．已知复数z满足（i为虚数单位），是z的共轭复数，则等于（    ）

A．     B．     C．     D．

3．已知空间中的两个不同的平面，，直线m⊥平面，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．记为等比数列的前n项和．若，，则等于（    ）

A．7     B．8     C．9     D．10

5．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则等于（    ）

A．  B．  C．  D．

6．已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．若函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（    ）

A．    B．   C．   D．

8．若，其中，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知向量，，则（    ）

A．若与垂直，则     B．若，则

C．若，则      D．若，则与的夹角为

10．设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为3      B．mn的最大值为1

C．的最小值为2      D．的最小值为2

11．设是等差数列，是其前n项的和，且，，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．与是的最大值   C．   D．

12．如图，在直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点）则（    ）

A．存在点P，使得

B．的最小值为

C．的面积最小值为

D．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．______．

14．函数在区间上单调递增，则实数a的取值可以为_____．

15．如图，已知的外接圆为元O，AB为直径，PA垂直圆O所在的平面，且，过点A作平面，分别交PB，PC于点M，N，则三棱锥外接球的体积为______．

16．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“做切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一般地，过点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值，．若，取作为r的初始近似值，则的正根的二次近似值为______．若，，设，，数列的前n项积为．若任意，恒成立，则整数的最小值为______．

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17．（10分）已知函数．

（1）求的最小正周期及单调地增区间；

（2）求在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值．

18．（12分）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，，______？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．（12分）已知等比数列的前n项和为，且，数列满足，，其中．

（1）分别求数列和的通项公式；

（2）若，求数列前n项和．

20．（12分）房同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品．经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x（单位：万元），需再投入流动成本C（x）（单位：万元），当年产量小于9万件时，，当年产量不小于9万件时，．已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完．

（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）

（2）当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（注：取）

21．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点．

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且平面EBC与平面BCD的夹角为45°，求三棱锥的体积．

22．（12分）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在处的切线方程为，且对于任意实数，存在正实数，，使得，求的最小正整数值．

大同市20233届高三第二次学情调研测试

数学答案

1．D [由题意得，，故．]

2．A [由得，，

∴，∴．]

3．B [两个不同的平面，，直线m⊥平面，当时，或，充分性不成立；

当时，，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件．]

4．C  [∵为等比数列的前n项和，∴，，等成比数列，

∴，，∴，∴．]

5．B [由题意知，由，可得，

所以]．

6．C[由得，设切点坐标为，

∴切线的斜率，则切线方程为，

∵切线过原点，∴，解得，即切点的横坐标为.]

7．D  [当时，，

∵函数在区间上单调递减，

∴，即解得，

令，则，即，

又函数在区间上存在零点，由，

可得当且仅当时，存在，使得，解得．

综上，的取值范围是．]

8．D [由，得，

，（*）

令，则，

令，得，则函数在上单调递增，

所以，由于，即，则，

由（*）式可得，

从而．设函数，则．

令，得，则函数在上单调递增，又，，

所以，由，可得，则，所以．]

9．ABD [因为，，

对于A，若与垂直，则，解得，故A正确；

对于B，若，则，解得，故B正确；

对于C，若，则，解得，故C错误；

对于D，若，则，设与的夹角为，

则，因为，所以，故D正确．]

10．ABD [因为m，n为正实数，所以，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值3，故A正确；

因为，当且仅当时取等号，此时mn取得最大值1，故B正确；

因为，当且仅当时取等号，

此时取得最大值2，故C错误；

因为，

当且仅当时取等号，此时取得最小值2，故D正确．]

11．ABD  [对于A，D，由，得，即，由，

得，即，因为，所以，故A正确，D正确；

对于B，由是等差数列，可设，由A可知，

是单调递减的数列，易知当，时，，由，得，

当，时，，故和是的最大值，故B正确；

对于C，，则，故C错误．]

12．ACD [由题意得，，即，又在直三棱柱中，

底面ABC，平面ABC，平面ABC，∴，，

则以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，，所以，，，，，，

设，则，，设（），

则，解得，，，所以，

对于A选项，，，要使，

则，解得，

当，即P是的中点时，，故A选项正确；

对于B选项，将和沿展开，如图所示，连接AB交于点T，

可知，当点P与点T重合时取得最小值AB，

由题意得，，，，，

所以，，，

，则，

在中，由余弦定理得

，

则，所以的最小值为，故B选项错误；

对于C选项，，，设，

则，即，

所以，

则，

因为，所以当时，取得最小值，故C选项正确；

对于D选项，

，故D选项正确．]

13．1

解析 ．

14．（答案不唯一）

解析 因为正切函数的单调地增区间为，，

又函数在区间上单调递增，所以，故可以取（答案不唯一）．

15．

解析  ∵平面ABC，AB，平面ABC，∴，；

∵PB⊥平面AMN，AM，平面AMN，∴，

又，则M为PB的中点，∴；

∴AB为圆O的直径，∴，又，PA，平面PAC，

∴平面PAC，又平面PAC，∴，

∵，PB，平面PBC，∴平面PBC，

∵平面PBC，∴，∴外接圆半径，

∴三棱锥外接球半径，

∴三棱锥外接球体积．

16．  2

解析 ，，

当时，，．

，，则，

∴，∴，

∵，，∴，即，∵为整数，∴．

17．解（1）因为，

所以的最小正周期，令，，

得，，所以的单调递增区间是，．

（2）由（1）知，因为，

所以，所以，，

所以当，即时，取得最小值；

当，即时，取得最大值2．

18．解  因为，由余弦定理，

可得，由，得，又，所以．

选①：由正弦定理得，代入得，

又，得A是一个小于C的锐角，故，此时三角形存在，

所以．

选②：由得，代入得，

则当时，A是一个大于C的锐角，此时三角形存在，

所以，

当时，A是一个钝角，此时三角形存在，

所以．

19．解（1）设等比数列的公比为q，由，

得，所以，即，故，

当时，，故，故数列的通项公式为；

由得，故，，，…，，，

以上个式子相乘得，，

故，验证也符合上式，所以．

（2）由，结合（1）可得，

所以，

，

两式相减得，

所以，故．

20．解（1）因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元．

依据题意得，当时，，

当时，，

所以．

（2）当时，，因为

（当且仅当，即时取等号），所以，

即当时，取得最大值为（万元）

当时，，∴，

∴当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴当时，取得最大值为（万元）

∵，∴当时，的最大值为7万元．

∴当年产量约为20万件时，房同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元．

21．（1）证明 因为，O是BD的中点，所以，

因为平面ABD，平面ABD⊥平面BCD，且平面平面，

所以平面BCD．因为平面BCD，所以．

（2）解  方法一  如图所示以O为坐标原点，OA为z轴，OD为y轴，

垂直于OD且过点O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，，，设，则，

所以，，设为平面EBC的法向量，

则由得令，则．

易知平面BCD的一个发向量为，设平面EBC与平面BCD的夹角为，

则，解得．又点C到平面ABD的距离为，

所以，所以三棱锥的体积为．

方法二 如图所示，作，垂足为点G．作，

垂足为点F，连接EF，则．

因为OA⊥平面BCD，所以EG⊥平面BCD，则即为平面EBC与平面BCD的夹角，

因为，所以，由已知得，故，

所以，由余弦定理得，

因为，，所以，则，

．

所以三棱锥的体积为．

22．解（1）函数的定义域为，且，

当时，，则函数在上单调递增；

当时，令，解得，

所以当时，，当时，．

则函数在上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）由（1）知，因为函数在处的切线方程为，

所以，解得，所以，

因为对于任意实数，存在正实数，，使得，

所以可得，

即，

设，令函数，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

故，则，

故，设函数，

因为，可知函数在上单调递减，

故，

解得或（舍去），故的最小正整数值为3．