2022届北京市西城区第一六一中高三下学期开学数学试题含解析

2022届北京市西城区第一六一中高三下学期开学数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合一元二次不等式的解法,求出集合B,根据集合的并集运算求得答案.

【详解】 ,

故,

故选:C

2．在复平面内，复数对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】求出复数对应的点即可得出.

【详解】复数对应的点为，在第二象限.

故选：B.

3．已知双曲线的离心率为，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】由双曲线中离心率公式和，即可求解.

【详解】由双曲线可知，

因为，所以.

故选：A

【点睛】本题主要考查双曲线离心率问题，解题的关键是熟练掌握离心率公式，属于基础题.

4．在平面直角坐标系中，角以为始边，且.把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意可得，再利用诱导公式计算可得.

【详解】依题意，因为，所以.

故选：A

5．若直线是圆的一条对称轴，则的值为（    ）

A． B．-1 C．2 D．1

【答案】D

【分析】由题意可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程可求出的值

【详解】由，得，所以圆心为，

因为直线是圆的一条对称轴，

所以直线过圆心，

所以，得，

故选：D

6．设直线的方向向量为，的法向量为，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】因为，所以或，再利用充分必要条件的定义判断得解.

【详解】解：因为，所以，

所以或.

当时，成立，所以“”是“”的充分条件；

当时，不一定成立，所以“”是“”的非必要条件.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

7．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（，），大气压强随海拔高度的变化规律是，是海平面大气压强.已知在某高山，两处测得的大气压强分别为，，，那么，两处的海拔高度的差约为（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，两处的海拔高度分别为，，由可得关于与的关系式，整理求得得答案．

【详解】解：设，两处的海拔高度分别为，，

则，

，

得．

，两处的海拔高度的差约为．

故选：D

8．某校举办高三“成人仪式”活动，需要从3个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目和歌唱类节目至少有一个被选中的不同选法种数是（    ）

A．10 B．35 C．45 D．60

【答案】B

【分析】根据题意，按是否入选分3种情况讨论，求出每种情况下的选法数目，由加法原理计算可得答案．

【详解】根据题意，分3种情况讨论：

①入选而没有入选，有种选法；

②没有入选而入选，有种选法；

③都入选，有种选法，则有种选法.

故选：B．

9．抛物线：的焦点为.对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】由抛物线的定义可得当与准线垂直时，为等腰三角形，又因为线段的垂直平分线交准线于点此时为等腰三角形，所以点与重合，即可得为等边三角形，利用即可求解.

【详解】

当与准线垂直时，由抛物线的定义可得，此时为等腰三角形，

作线段的垂直平分线交准线于点，则，

此时为等腰三角形，

因为若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，

所以与重合，所以，所以，

所以为等边三角形，设，，则，,

则，，

所以，整理可得：，

解得：或（舍）

所以则点的横坐标为.

故选：B.

10．在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（    ）

A．在正方形内一定存在一点，使得

B．在正方形内一定存在一点，使得

C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面

D．在正方形内一定存在一点，使得平面

【答案】A

【分析】对于选项A，当是的中位线时，可判断A选项；对于选项B，假设存在，则平面，或者平面，进而与已知矛盾判断B选项；对于选项C，假设存在，则可得到平面平面，进而由矛盾判断C选项；对于选项D，假设存在，则可得到平面平面，进而已知矛盾判断D选项.

【详解】对于选项A，连接、交于点P，连接、交于点Q，连接、，

因为是的中位线，所以，故A项正确；

对于选项B，在正方形内如果存在一点Q，使得，由于平面，所以平面，或者平面，而P、Q在平面的两侧，与平面相交，故B项错误；

对于选项C，在正方形内如果存在一点Q，使得平面平面，由于平面平面，所以平面平面，而平面与平面相交于点，故C项错误；

对于选项D，在正方形内如果存在一点Q，使得平面，由于平面，所以平面平面，而P、Q在平面的两侧，所以平面与平面相交，故D项错误．

故选：A

二、填空题

11．在的展开式中，的系数为_____________.（用数字作答）

【答案】.

【分析】结合二项式展开式的通项公式，令即可求出结果.

【详解】由题意知，令，则，

故答案为：.

12．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）.配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为_____.

【答案】5

【分析】由题意得，每个周期内的总费用为，由此求得每个周期内每天的平均费用，再根据基本不等式即可求出答案．

【详解】解：每个周期内的总费用为，

∴每个周期内每天的平均费用为

，

当且仅当即时取等号，

故答案为：5．

【点睛】本题主要考查等差数列的应用，考查基本不等式求最值，属于中档题．

三、双空题

13．在中，，，则________；________.

【答案】     6    

【分析】根据的余弦定理列出关于的方程，由此求解出的值；先根据二倍角公式将变形为，然后根据正弦定理以及的值即可计算出的值.

【详解】因为，所以，

所以，所以（舍去），

所以，

故答案为：；.

【点睛】关键点点睛：解本题第二空的关键是通过正弦二倍角公式先转化为单倍角的三角函数，然后结合正弦定理将正弦值之比转化为边长之比，对于公式运用以及转化计算有着较高要求.

14．已知为等差数列，为其前项和，若，，则公差_________，的最大值为_________．

【答案】         

【分析】根据已知条件可求得的值，求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.

【详解】，即，解得，

所以，，

当或时，取得最大值.

故答案为：；.

15．向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是__；向量，所张成的平行四边形的面积是__．

【答案】     ##     3

【分析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取，，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．

【详解】如图所示，建立直角坐标系，不妨取，，

则．

向量，所张成的平行四边形的面积

．

故答案分别为：，3．

【点睛】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

四、解答题

16．已知是函数的一个零点.

(1)求实数的值；

(2)求单调递减区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用函数的零点的定义，求得实数的值．

（2）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得 的单调递减区间．

【详解】（1）解：因为，所以

由题意可知，即 ，

即 ，解得．

（2）解：由（1）可得，

函数的递减区间为．

令，得，

所以的单调递减区间为．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，，E为PB中点，_____，

求证：四边形ABCD是直角梯形，并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．

从①CD⊥BC；②BC∥平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答．

【答案】答案见解析.

【解析】选择①．

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD．求解三角形得CD⊥PD．再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AD．进一步得到AD∥BC．可得四边形ABCD是直角梯形．过A作AD的垂线交BC于点M．以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz．求出平面PCD的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线AE与平面PCD所成的角的正弦值．

选择②．

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD．求解三角形得CD⊥PD．再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AD．再由BC∥平面PAD，得BC∥AD，则四边形ABCD是直角梯形．直线AE与平面PCD所成角的正弦值同①．

【详解】选择①．

先证四边形ABCD是直角梯形．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD．

∵PA＝AD＝CD＝2，∴．

又∵，∴CD2+PD2＝PC2，得CD⊥PD．

又∵PA∩PD＝P，

∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AD．

又∵CD⊥BC，∴AD∥BC．

∴四边形ABCD是直角梯形．

再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．

过A作AD的垂线交BC于点M．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AM，PA⊥AD．

如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．

则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

∵E为PB的中点，∴E（1，，1）．

∴，，．

设平面PCD的法向量为，则

，令y＝1，得．

设直线AE与平面PCD所成的角为α，

∴sinα＝|cos|．

∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为．

选择②．

先证四边形ABCD是直角梯形．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD．

∵PA＝AD＝CD＝2，∴．

∵，CD2+PD2＝PC2，得CD⊥PD．

∵PA∩PD＝P，∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AD．

∵BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴BC∥AD，则四边形ABCD是直角梯形．

再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．

同上①．

【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之线面角的求法，属于中档题.

18．某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图所示

(1)从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；

(2)从2011年至2020年中任选两年，设为选出的两年中动画影片时长小于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望；

(3)将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，，，试比较，，的大小．（只需写出结论）

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)

【分析】（1）由统计图表知10年有6年时间动画影片时长大于纪录影片时长，由此可得概率；

（2）的所有可能取值为0，1，2，计算出各概率，可得分布列，由期望公式计算出期望；

（3）根据统计图表中的数据计算出方差后可得．

【详解】（1）从2011年至2020年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年，2015年，2017年，2018年，2019年和2020年，共6年．

记从2011年至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件，

则．

（2）的所有可能取值为0，1，2．

；；．

所以的分布列为：

数学期望．

（3）科教影片所记录时长波动较大，方差最大，动画影片、纪录影片的时长需计算出方差才能确定．

.

.

．

所以．

19．已知函数.

（I）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在处取得极小值，求实数a的取值范围.

【答案】（I）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）当时，利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的导数，时，和，并讨论与0,1的大小关系，求实数的取值范围.

【详解】（I）当时，.

所以，

所以，   

因为.  

所以切线方程为.

（Ⅱ）函数的定义域为.

因为  

所以.

令，即，解得或.  

（1）当时，当x变化时，的变化状态如下表：

所以当时，取得极小值.

所以成立.

（2）当时，当x变化时，的变化状态如下表：

所以当时，取得极小值.

所以成立.

（3）当时，在上恒成立，

所以函数在上单调递增，没有板小值，不成立.

（4）当时，当x变化时，的变化状态如下表：

所以当时，取得极大值.

所以不成立.

综上所述，.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据极值点求的取值范围，本题容易求出导函数的零点和，但需讨论的范围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.

20．已知椭圆的长轴长为4，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过点且斜率为k的直线与椭圆C交于两点，线段的垂直平分线交x轴于点D，判断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.

【答案】（I）；（Ⅱ）是，4.

【解析】（Ⅰ）根据题中条件，由椭圆的简单性质，列出方程组求解，得出，，即可得到椭圆方程；

（Ⅱ）先得到，联立直线与椭圆方程，设，根据韦达定理，以及弦长公式，得到，以及线段的中点坐标，讨论和两种情况，求出，进而可求出结果.

【详解】（Ⅰ）依题意得

解得，，

故椭圆C的方程为；

（II）是定值.

由已知得直线.

由消去，整理得.

所以，

设，则，，

所以

，

则，

因为，

所以线段的中点为.  

（1）当时，，.所以.

（2）当时，线段的垂直平分线方程为，

令，得，即，

所以，

所以，

综上所述，为定值4.

【点睛】关键点点睛：

求解本题第二问的关键在于联立直线与椭圆方程，根据韦达定理以及弦长公式表示出，再由题中条件，求出，即可得出的值.（求解时要注意讨论斜率的取值）

21．对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有：

（i ）；

（ii ）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数.

(1)设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数；

(2)设数列的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值；

(3)设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值.

【答案】(1)30；2是数列的4阶系数．

(2)26

(3)26

【分析】（1）根据阶系数的定义进行判断；

（2）根据4阶系数的定义列出相应的等量关系，进行求解；

（3）根据阶系数的定义建立方程，构造函数，根据函数性质得到不等式组，进行求解．

【详解】（1）因数列通项公式为，所以数列为等比数列，且，

得．

数列通项公式为，所以当时，

,

所以2是数列的4阶系数．

（2）因为数列的阶系数为3，所以当时，存在，使成立．

设等差数列的前项和为，则,

令，则,

所以，,

设等差数列的前项和为，，

则,

令，则,

所以，

当时，，

当时，，

则，解得．

（3）设数列为等差数列，满足，2均为数列的阶系数，，

则存在，使

成立．

设数列的公差为，构造函数．

由已知得

，

所以，函数至少有三个零点，，，

由函数可知为偶数，且满足，

得，

所以，解得，

构造等差数列为：，，，，38，

可知当时命题成立，即的最大值为26．

【点睛】本题主要考查数列的综合运用，根据阶系数的定义建立方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．